Элементы теории вероятностей

ком. 420.

Вероятность, ее свойства.

от их конкретной природы и дающая методы количественной оценки влияния

случайных факторов на различные процессы.

на игральной кости;
выигрышные номера в лотерее и т.д.

которое может быть повторено с соблюдением одних и тех же

условий неограниченное число раз), которое в данном случае заключается в выпадении герба при бросании монеты;

кол-во появлений события А в “ ”-опытах;
-частота появления события А в “ ”-опытах.

неограниченном увеличении числа испытаний называется статистической вероятностью, т.е.

или
элементарным событием.
Обозначение элементарного исхода:
Пример 1: Самый простой эксперимент

имеет два исхода. Бросание монеты, где исходами являются выпадение “герба” или “решки”.

исходов (событий). В примере 1: пространство элементарных событий состоит из

двух точек. ={0;1}. ={}.

игральной кости один раз – пример эксперимента с большим числом

исходов: ={1;2;3;4;5;6}
Пример 3: Бросание игральной кости один раз и выпадение более 4-х очков-состоит из двух элементарных событий А={5};В={6}.

 для некоторого эксперимента. Проведение эксперимента сводится к наблюдению элементарного

исхода . Если А, то говорят, что произошло событие А. Если же это не так, то говорят, что событие А не произошло (то есть А).

АВ это А или В
(АВ)(А)(В)
Операция “”-“или”

(выпадение единицы или тройки); и В={1;3;4} (выпадение единицы, тройки, четвёрки).
Здесь:

АВ={1;3;4}.

что произошли события “А и В” одновременно, т.е.
(АВ)(A)(B)
где символ

“” означает “и”
Здесь: АВ={1;3} (из примера 4)

событии В (A B), если любое элементарное событие из А

входит и в В.
Здесь АВ (из примера 4)
События А и В совпадают или равны (А=В) если АВ и ВА.
События А и В называются несовместными, если АВ=.

события А={1;3}; В={3;5}; С={5;6}. Здесь: АВ={3}; AC=. AB={1;3;5}; AC={1;3;5;6}.
Пример

6: Из чисел 1,2,3….100 наудачу выбирается одно число. Рассмотрим события: А={выбранное число делится на 2}, В={выбранное число делится на 6}. Тогда событие А является следствием события В (так как числа, делящиеся на 6 делятся и на 2), т.е. B ).

(или противоположное к А) называется событие, состоящее из тех элементарных

событий, которые не входят в А.
Здесь (из примера 5):

называть событие, состоящее из тех элементарных событий, которые входят в

А, но не входят в В.
Здесь (из примера 5):
С\В={6}; C\A=C,
так как СА=.

событий A или B, называется объединением или суммой событий и

обозначается АВ . Событие АВ состоит из элементарных исходов, входящих в A или B.

событием (оно происходит всегда, когда происходит эксперимент, так как 

 ).
Событие, которое никогда не происходит, т.е. отвечающее пустому множеству , называется невозможным

то

есть нужно показать, что и .

Пусть

И обратно:

т.е. .

и

, то
Аналогично, если
и ,то

следует .
Пусть , тогда
Или
Это означает, что
Таким образом,

Пусть


И обратно, равенство
следует на основе таких

же рассуждений, как и в предыдущем случае

множество), -Некоторая система подмножеств множества
называется алгеброй, если

выполнены следующие аксиомы:
А1.
А2.Если и
А3. Если

элементы этого множества можно занумеровать в бесконечную последовательность
Для счётного множества

событий {Ai} операции пересечения и объединения событий определяются так же, как и для конечного числа событий: событие, заключающееся в осуществлении хотя бы одного из событий
- событие, заключающееся в осуществлении хотя бы одного из событий

событие, заключающееся в осуществлении всех событий одновременно

алгебра событий.
Вероятностью события А называют числовую функцию Р(А),

определённую на алгебре событий . Эта функция отображает множество , состоящее из событий в множество действительных чисел из отрезка [0,1], т.е.
и удовлетворяет следующим аксиомам:
Р1. Для любого события Р(А)≥0 ( )
Р2.Вероятность достоверного события
Р3.Для несовм. событий:
Тройка объектов , где - непустое пространство элементарных исходов, -алгебра событий, Р-вероятность, называется вероятностным пространством.

называется вероятностным пространством.
Вероятностное

пространство называется дискретным, если пространство элементарных исходов
конечно или счётно.
Вероятность определена для каждого одноточечного подмножества :



при этом , где -элементарные исходы,
свершение которых означают свершение события А.

т.к.

, то

,
Так как события и несовместны, то
, но тогда


4. Если , то
Это свойство следует из аксиомы Р1: и предыдущего свойства, т.к.

, то по предыдущему свойству
И по аксиоме 1 имеем:

6. Для произвольных событий А и В:
имеет место равенство:
Пусть . Тогда
так как и ;
, так как и .
Отсюда и . Далее получаем:

#

неравенство:
Это свойство следует из аксиомы 1 и предыдущего свойства

#

осуществиться (исходы равновероятны). В таком случае этим исходам естественно поставить

в соответствие одинаковые вероятности. Рассмотрим пространство элементарных исходов , где
. В силу того, что

из аксиом Р2, Р3 вытекает: ,
поэтому , где –число
элементарных исходов эксперимента.

образуют полную группу попарно несовместных

событий, если и .
Например, при бросании монеты событиями являются: (выпадение «орла»), (выпадение «решки»). И
Аналогично, при бросании игральной кости, имеем: – выпадение нечётного числа очков, – выпадение чётного числа очков. При этом , то есть рассматриваемые события образуют полную группу:

, а каждый из исходов равновероятен, т.е. , свершение события А есть свершение элементарных исходов: , т.е. событие А состоит из элементарных исходов . Тогда, согласно классической схеме вероятность события А есть число .
Пример: В урне имеется « » белых и« » красных шаров. Извлекается из урны 1 шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?
Все исходы равновероятны, их всего . Событию благоприятствуют из исходов, поэтому, на основании теоремы имеем