Факультет прикладной информатики

сложных процентов.
2. Соотношение роста по простым и сложным процентам.
3.

Начисление сложных процентов несколько раз в году.
4. Наращение по сложным процентам при дробном количестве периодов начисления.
5. Определение срока, формулы удвоения и правила приближенного счета.

долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются, а присоединяются к

сумме долга, для наращения применяют, сложные проценты.
База для начисления сложных процентов (в отличие от простых) не остается постоянной — она увеличивается с каждым шагом во времени, и процесс роста первоначальной суммы долга происходит с ускорением. Наращение по сложным процентам можно представить как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простой процент на один период начисления.

Факультет прикладной информатики

начисляются и капитализируются один раз в году, т. е. применяется

сложная годовая ставка наращения. Очевидно, что в конце первого года проценты равны величине Pi, а наращенная сумма составит:
S1 =P (1+i),
К концу второго года составит:
S2 =S1 (1+i)=P (1+i)(1+i)=P (1+i)2
S3 =S2 (1+i)=P (1+i)2(1+i)=P (1+i)3 и т.д.
В конце n-го года наращенная сумма будет равна:
S=P (1+i)n ,
где: P – первоначальная сумма долга,
S – наращенная сумма,
n – срок, число лет наращения,
i – ставка наращения по сложным процентам,

Величину 1+i называют сложным декурсивным коэффициентом.
Величину q=(1+i)n называют множителем наращения по сложным процентам – он показывает конечную стоимость одной денежной единицы, вложенной под сложные проценты декурсивно. Значения этого множителя для различных значений i и целых чисел n приводятся в таблицах сложных процентов.

наращенной суммы (до последней копейки, рубля, тысячи и т.д.), как правило,

до последней денежной единицы (обычно в таблицах – шесть знаков после запятой).

Пример:
Какой величины достигнет долг, равный 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 12% годовых (проценты капитализируются 1 раз в год).
S=1000000(1+0,12)5=1 000 0001,762341683=1 762 341,68 руб.

наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения.

Соотношение множителей наращения по простым и сложным годовым ставкам процентов при одинаковой абсолютной величине ставок зависит от срока ссуды:
- для срока меньше года (n<1):
(1+n i)>(1+i)n,
- для срока больше года (n>1):
(1+n i)<(1+i)n,
-для срока равного году (n=1):
(1+ni)=(1+i)n, если временная база 365(366) дней.
(1+ni)<(1+i)n если временная база 360 дней.

показано на рисунке ниже:

функцией
Угол наклона касательной к графику функции так же, как и

для графика роста по простым процентам, зависит от базы начисления процентов и процентной ставки. Так как база начисления сложных процентов постоянно растет, то растет и угол наклона касательных, соответствующих большему значению времени.
Угол наклона касательной a1 < a2, так как момент времени n1 < n2.

(i=12%)

условиях проценты капитализируются обычно не один, а несколько раз в

году – по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневное начисление процентов.
Формула S=P(1+i)n получена для годовой процентной ставки и срока, измеряемого в годах. Однако, её можно применить и при других периодах начисления.
В этих случаях:
i - ставка за период начисления,
n - число таких периодов.
Если i-ставка за полугодие, то n-число полугодий,
Если i-ставка за квартал, то n-число кварталов и т.д.

при росте по сложной ставке 12% годовых (проценты капитализируются ежеквартально).
S=P(1+i)n,
где

i- ставка наращения за квартал,
n- число кварталов.
i=12:4=3%, т. е.0,03
n=54кв.=20 кварталов
S=1000000(1+0.03)20=10000001,806111235=1806111,24 руб.

период, а годовая ставка, и одновременно указывается период начисления процентов,

как в предыдущем примере «12% годовых с поквартальным начислением процентов».
Пусть годовая ставка равна j, а число периодов начисления в году равно m.
Таким образом, каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной.
Формула наращения примет вид:
S=P (1+j/m)m·n,
где m – число периодов начисления в году,
j – номинальная годовая ставка процента,

проценты с ежегодной капитализацией
сложные проценты с полугодовой капитализацией
сложные проценты с

ежеквартальной капитализацией

сложные проценты с ежемесячной капитализацией

по бухгалтерскому учету Андрей Платонович Пелёнкин выпустил книгу «Новый прибор

«счеты сложных процентов», а через два года еще одну, «Применение «счетов сложных процентов» к определению логарифмов чисел и чисел по их логарифмам», на ту же тему.
Андрей Платонович Пелёнкин, черноморский казак, уроженец Азовского уезда, окончив Артиллерийскую Михайловскую академию работал техником на Сестрорецком заводе, позже "был призван к сооружению на Васильевском острове казенного патронного завода". После отставки поступил на службу в Дворянский банк, а позже "на Государственную службу по министерству финансов на должность фабричного инспектора в Петербурге". Опубликовал работы о закалке стали, а также книгу "Рациональная теория бухгалтерских счетов», состоя в отставке напечатал 2 работы: о неверности 2-го закона Киргофа и о вычислении сложных процентов и срочных уплат. Умер в 1907 г. Источник: histpol.pl.ua›pages/content.php…

унтер-офицерский специальный класс Петровского Полтавского кадетского корпуса перешел в 3

специальный класс Михайловского артиллерийского училища [Константиновского военного училища], по окончании которого прямо перешел в Михайловскую артиллерийскую академию и окончил техническое ее отделение по 1 разряду. По окончании академии поступил на службу техником на Сестрорецкий оружейный завод, где показал себя талантливым и трудолюбивым работником. В это время напечатал в оружейном сборнике первые свои труды о закалке стали и о производительности работы новых автоматических станков при выделке ручного оружия. Через 2 года службы своей на Сестрорецком оружейном заводе, Андрей Платонович, как талантливый артиллерист, был призван к сооружению на Васильевском острове казенного патронного завода, который настолько хорошо устроил и организовал там все работы, что на этот завод были командированы из Франции молодые артиллеристы, для обучения патронному делу.
К этому времени относится напечатанная его работа — о цельнотянутых латунных патронных гильзах.

был оставить военную службу и несколько времени жил в Перми

и Варшаве, а затем, в конце 70-х годов, вновь возвратился в Петербург и поступил на службу в Дворянский банк, откуда вскоре вышел в отставку.
Состоя в отставке Андрей Платонович напечатал 2 работы: о неверности 2-го закона Киргофа и о вычислении сложных процентов и срочных уплат.
В 80-х годах Андрей Платонович снова поступил на Государственную службу по министерству финансов на должность фабричного инспектора в Петербурге, в каковой и оставался до самой смерти.
Во время службы фабричным инспектором он напечатал несколько статей по поводу расчетов страховых обществ с клиентами. Благодаря своим выдающимся способностям и наблюдательности, Андрей Платонович быстро ориентировался в каждом техническом вопросе и, анализируя условия его, находил те практические пути и приемы, которые всегда приводили его к верному успеху.
Его прямая и честная натура не терпела никаких сделок с совестью; единственным путем для приобретения средств к жизни неизменно служил ему честный труд, которому всецело преданный, Андрей Платонович оставался верным до гробовой доски.

случаев, когда n не является целым числом, множитель наращения определяется

двумя способами:
1. на основе общего метода:
(1+i)n=(1+i) na (1+i) nb (3)
2. на основе смешанного (комбинированного) метода:
(1+i)n=(1+i) na (1+nbi), (4)
т. е. за целое количество периодов начисления – по сложной ставке, за дробную часть – по простой процентной ставке.
Где n=na+nb
na- целое число периодов,
nb- дробная часть периода.

что величина множителя наращения по второму способу больше, чем по

первому: (1+i) na (1+nbi (1+i) na (1+i) nb
В практике некоторых финансовых организаций предусматривается начисление процентов только за целые периоды начисления.
Пример:
Кредит в размере 30 тыс. руб. выдан на срок 3 года и 160 дней под 6,5% годовых, проценты начисляются 1 раз в год.
Если предусмотрен смешанный метод начисления процентов
S = 30000(1 + 0,065)3 (1 + 160:3650,065) = 37271,04 руб.


Если проценты начисляются только за целые периоды начисления, то
S=300001,0653=36234,49

с точки зрения сущности начисления процентов является приблизительным. Погрешность вычислений

будет тем больше, чем больше значения входящих в формулу величин. Этот метод дает меньший, чем в действительности результат.
При внимательном рассмотрении можно увидеть, что на практике обычно используется смешанный метод, поскольку капитализация процентов до истечения срока реинвестирования производиться не может. Тем не менее, даже в солидных изданиях можно встретить изложение и того, и другого методов. Здесь уместно вспомнить слова великого Эйнштейна: «Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос».

69», «правило 70», «правило 71», «правило 72», )

Альберт Эйнштейн назвал

исчисление сложного процента роста доходов «величайшим математическим открытием в истории человечества».

Как определить, когда ваши деньги вырастут в 2 раза?

ПРАВИЛО 72.
Чтобы определить, за какое время количество ваших денег удвоится, можно воспользоваться так называемым «правилом 72».  Просто разделите число 72 на процентную ставку. Например, если вы вложили деньги под 8% годовых, разделив 72 на восемь, вы получите число девять. Это значит, что вам понадобится девять лет, чтобы удвоить свой вклад при годовой ставке в 8%.
Кто-то подсчитал, что один доллар, вложенный под 3 % во времена Христа, сейчас стоил бы половину всех имеющихся в мире денег.
24 доллара, выплаченные голландцами местным индейцам за остров Манхэттен, если бы их положили в то время под 5 % годовых, сегодня стоили бы более 2,2 миллиарда долларов.

(приближённой) оценки срока, в течение которого величина вырастет вдвое при

постоянном росте на некоторый процент.

Согласно «правилу семидесяти»

где   — годовая ставка инфляции,  
— срок (в годах) удвоения цен.

срок n. Разделим обе части уравнения на P: S/P = (1+i)n

. Пролагорифмируем обе части уравнения, получим: n=log1+i (S/P). При использовании натуральных логарифмов получим: ln (S/P) = n ln(1+i) n = ln (S/P) / ln(1+i) При малых значениях i значение ln(1+i) ≈ i Поэтому n ≈ ln (S/P):i При S/P = 2 имеем ln ≈ 0,7 (0,693147), поэтому n ≈ 70:i

точным при использовании малых процентов среди целых чисел является числитель

69. Вместо 70 % также используются числа от 69 % до 72 %. Таким образом, упоминаются «правило 69», «правило 70», «правило 71», «правило 72».
Две кривые, задаваемые этими функциями, достаточно хорошо совпадают (см. рисунок).

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12) и потому более

удобен для использования в качестве делимого по сравнению с более точным значением 69 и более лёгким для запоминания значением 70. По этой причине правило используется как в виде «Правило 70», так и «Правило 72» (но и также «Правило 69»).

Первое упоминание о правиле содержится у Луки Пачоли в его математическом труде "Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности» (1494 г.). Пачоли не приводит расчёт и не объясняет данное правило, что позволяет сделать вывод о том, что оно было известно и ранее.

если только годовое значение инфляции не превышает 1,01%.
При ставке 2%

точная формула и «правило семидесяти» дают идентичные результаты.
Относительная погрешность начиная со ставки 2 % и выше непрерывно растёт, достигая 9,86% при ставке 25% .

также для любых других процессов.

Примеры использования :
Оценка срока, в течение

которого цены упадут вдвое в результате дефляции, если за год они падают на определенное значение процентов.
Оценка срока, в течение которого ВВП удвоится при заданном темпе экономического роста.
Оценка срока, в течение которого удвоится вклад в банке при заданной процентной ставке.
Закон радиоактивного распада: за тысячелетие количество радиоактивного материала в слитке падает на определенное значение процентов. Через какое время количество радиоактивного материала сократится вдвое?

Срок при этом не обязательно исчисляется в годах; нужно только, чтобы коэффициент говорил об изменении величины за ту же единицу времени, в каких измеряется период удвоения .
Кроме того, величина может уменьшаться на за единицу времени. Тогда, конечно, оценивается срок не удвоения величины, а уменьшения её вдвое.

внимание