Математическое моделирование АСР

служит эффективным инструментом решения теоретических и практических задач в области

автоматического регулирования. Методы математического моделирования используются на всех этапах «жизни» системы: при исследовании объектов, подлежащих автоматизации, при синтезе АСР, при анализе работы систем в процессе эксплуатации.
Значительный вклад в развитие теории автоматического регулирования внесли российские ученые. Так концепция опорно-возмущенного движения, предложенная А.К. Ляпуновым, является основой решения вопросов устойчивости АСР, выбора нужного закона регулирования, анализа работы систем.

любых переменных, в том числе и регулируемого параметра, может быть

представлено двумя составляющими:
функцией, характеризующей базовое (опорное) состояние регулируемого параметра, и функцией возмущенного движения, которая отражает динамику отклонений переменной от базового значения.

математического описания возмущенного движения пригодны обычные дифференциальные уравнения и линеаризованные

зависимости, что существенно упрощает решение задач методами математического моделирования.

представлены определенными сочетаниями типовых динамических звеньев.
Любой объект можно представить

взаимодействующим с внешней средой с помощью входов и выходов. Входы – это возможные воздействия на объект, выходы – это результаты его работы. Например, для электродвигателя входами могут быть напряжение питания и нагрузка, а выходами – частота вращения вала, температура.
При изменении состояния входа меняется внутреннее состояние объекта и, как следствие, состояние выхода:

математической зависимости, с помощью которой можно описать переходный процесс в

отдельной части системы;
- это математическая модель, описывающая характер преобразования , выполняемого реальными элементами АСР, которые могут различаться по своим функциям, принципам действия, конструкции, используемой энергии и т.д. (общее – только характер преобразования).

Количество и разновидности используемых звеньев определяются назначением системы и динамическими свойствами ее основных элементов.

предпосылках.

1. Звено отражает динамику передачи воздействия только от одного входа

к одному выходу.
2. Звено отражает динамику передачи воздействия только в одну сторону – от входа к выходу.

это обычно бывает, то применяется обратная связь, которая может быть

отрицательной или положительной, постоянно действующей («жесткой») или же постепенно исчезающей к концу переходного процесса («гибкой»).
При алгебраическом сложении передаваемых в системе сигналов используется принцип суперпозиции (результирующий эффект равен сумме эффектов отдельных воздействий), что справедливо лишь для линейных систем.

х(τ) – входная величина;
y(τ) -выходная величина;

aᵢ, bᵢ –постоянные коэффициенты;
τ – время.

они могли описывать переходные процессы с помощью дифференциальных уравнений не

выше второго порядка (n ≤ 2, такое звено называется элементарным, если оно не может быть разбито на более простые).

(усилительное)
Интегрирующее
Идеальное дифференцирующее
Реальное дифференцирующее
Инерционное (апериодическое) 1-го порядка
Чистого запаздывания

нормирующие преобразователи, механические передачи (например, зубчатые), рычаги и т.д.
Из общего

дифференциального уравнения (1) ему соответствует:

После преобразования уравнение принимает вид:


где К – коэффициент передачи звена.

механизмы, интегральные регуляторы, астатические объекты регулирования…
Из общего дифференциального уравнения (1)

ему соответствует:


После преобразования уравнение принимает вид:

либо

где Тᵤ – постоянная времени интегрирования.

в законах регулирования.

После преобразования уравнение принимает вид:


где Т – постоянная

времени дифференцирования.

в законах регулирования.

После преобразования уравнение принимает вид:


где Т – постоянная

времени дифференцирования.

в законах регулирования.

После преобразования уравнение принимает вид:


где Т – постоянная

времени дифференцирования.

объектов с самовыравниванием, некоторых датчиков, RC-контуров.
После преобразования уравнение принимает вид:



где

Т – постоянная времени;
К – коэффициент передачи.

элементах АСР (в первую очередь – в объектах регулирования).
После преобразования

уравнение принимает вид:


где τ₃ – время запаздывания.

Лапласа - интегральное преобразование, связывающее функцию F(p) комплексного переменного (изображение) с функцией f(τ) действительного переменного

(оригинал).
f(τ) называют оригиналом преобразования Лапласа, а F(p) - изображением преобразования Лапласа. 

есть, если известно f(τ), то всегда можно узнать F(p), и наоборот, если

известно F(p), то всегда можно получить f(τ).

Применение преобразования Лапласа к дифференциальному уравнению n-го порядка (1) даст его изображение:

(2)

уравнения (2) можно выразить изображение выходной величины Y(p):



Дробь, связывающая изображения

по Лапласу выходной и входной величин получила название передаточной функции W(p):

звеньев, системы), к которой она относится.
Формальное определение передаточной функции соответствует

выражению



Передаточная функция – это отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению входной.

можно получить их передаточные функции:

правила для основных видов соединений звеньев:
последовательного ;

- параллельного ;

-встречно-параллельного (соединения

с обратной связью) .

Передаточные функции комбинаций звеньев и систем

функций звеньев:






Для n звеньев:

функций звеньев:






Для n звеньев:

положительной обратной связи
«+» при отрицательной обратной связи

W(p) = 1/(Tи∙p)

пропорционально-интегрального
W(p) = Кр∙(1 + 1/(Tи∙p)

пропорционально-интегрально-дифференциального
W(p)

= Кр∙(1 + 1/(Tи∙p) +Tд∙p)

запаздыванием:


Передаточная функция замкнутой АСР в режиме стабилизации:



Передаточная функция условно разомкнутой

АСР: