Физический эксперимент. Статистическая обработка результатов физического эксперимента

измерения
Погрешность косвенного измерения
Пример измерений и статистической обработки результатов измерений

физической величины. Значение физической величины – это ее оценка в

Измерение – нахождение значения физической величины с помощью специальных технических средств (измерительных приборов).
Измерения могут быть прямыми, при которых значение физической величины находят непосредственно из опытных данных (показания измерительных приборов), и косвенными, при которых значение физической величины рассчитывают на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми путем прямых измерений.

Основное качество измерения – его точность. Оценка точности результата измерения – неотъемлемая часть эксперимента. Эту оценку можно сделать, найдя погрешность измерения.

значением, идеальным образом отражающим соответствующие свойства объекта.
Однако, несовершенство

Действительным значением физической величины называют значение физической величины, найденное экспериментальным путем. Это значение должно быть достаточно близко к истинному значению, чтобы быть использованным вместо него.

При многократных измерениях в качестве действительного значения физической величины принимают среднее арифметическое значение результатов измерений.

значения.
При многократных измерениях оценка погрешности производится следующим

Доверительный интервал

1.Проводят серию из n измерений.

2.Вычисляют среднее арифметическое значение результатов измерений.

3.Используя методы математической статистики и теории вероятностей определяют ширину доверительного интервала, о котором известно, что истинное значение измеряемой физической величины лежит в его пределах с заданной вероятностью.

4.Абсолютную погрешность принимают равной половине ширины доверительного интервала.

5.Значение измеренной физической величины записывают в виде

Эта запись эквивалентна утверждению, что истинное значение находится в пределах доверительного интервала:

измерения
Эксперимента

различают абсолютную и относительную погрешности.
Абсолютная погрешность –

При многократных измерениях

где x – истинное значение; – среднее арифметическое значение.

Относительная погрешность – отношение абсолютной погрешности измерения к измеренному значению физической величины:

- безразмерная величина,

- в процентах

либо

Систематическая погрешность – составляющая погрешности измерения, остающаяся постоянной или

Случайная погрешность – составляющая погрешности, изменяющаяся случайным (непредсказуемым) образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Грубая погрешность (промах) – погрешность, существенно превышающая ожидаемую при данных условиях погрешность.
Как правило, это связано с грубой ошибкой экспериментатора.

– составляющая погрешности измерений, зависящая от несовершенства метода измерений, несовершенства

Погрешность эксперимента – совокупность погрешностей, связанных непосредственно с измерениями. Это погрешность отсчитывания показаний приборов, погрешность интерполяции, погрешность от параллакса и т.п.

Погрешность средств измерения – инструментальная погрешность. Она зависит от погрешностей, связанных с принципом действия и точностью изготовления применяемых измерительных приборов. Включает в себя как систематическую, так и случайную составляющие.

погрешности.
Погрешность средств измерений рассчитывают так:
Погрешность прямого измерения

Данные об измерительных приборах записывают в таблицу спецификации измерительных приборов, которая является неотъемлемой частью протокола измерений.

Таблица 1. Спецификация измерительных приборов

Для многократных измерений

Для однократных измерений

непрерывным отсчетом (линейка, транспортир и т.п.) предел допускаемой инструментальной погрешности

Для измерительных приборов с дополнительной шкалой − нониусом (штангенциркуль, микрометр и т.п.) предел допускаемой инструментальной погрешности принимается равным цене деления нониуса.

Для измерительных приборов со скачущей стрелкой (секундомер) предел допускаемой инструментальной погрешности принимается равным цене деления шкалы.

Для цифровых приборов для каждого предела измерения в паспорте приводится формула для определения относительной или абсолютной погрешности.

доверительной вероятности P и числа измерений n; − среднее

Случайная погрешность проявляется в разбросе экспериментальных данных при измерении одной и той же физической величины при одинаковых условиях и рассчитывается по формуле Стьюдента:

Р называется вероятность, с которой доверительный интервал накрывает случайное отклонение

х

Δ xсл

Доверительный интервал

Еще один фактор, влияющий на ширину доверительного интервала – надежность данной серии экспериментов, чем больше число измерений n, тем более надежным является эксперимент и тем меньше ширина доверительного интервала.

Число измерений следует выбирать таким, чтобы случайная погрешность была меньше погрешности средств измерения.

физической величины y находят из соотношения y = f(x1, x2,

Абсолютная погрешность косвенного измерения определяется по формуле

где Δxi – погрешности прямых измерений; −частные производные.

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

При косвенном измерении искомое значение физической величины рассчитывают используя известную зависимость (формулу) между этой величиной и другими величинами, определяемыми путем прямых измерений.

В формулу кроме результатов прямых измерений могут входить также физические постоянные, табличные значения и данные экспериментальной установки.

погрешности
Пример:



Если искомая величина определяется суммой
ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

функций
то в этом случае удобно сначала вывести формулу и вычислить

Пример:

ПОГРЕШНОСТЬ КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ

и затем абсолютную погрешность

как правило, определены весьма точно. Например π = 3,14159…, число

Учет погрешностей трансцендентных и иррациональных величин

Обычно в расчетную формулу подставляют округленные значения таких величин:

Если при этом взять на одну значащую цифру больше, чем число значащих цифр в результатах прямых измерений, то относительная погрешность округления будет заведомо много меньше относительной погрешности прямых измерений. В таком случае данное число можно считать точным и его погрешностью пренебречь.

πr2.
Если взять π = 3,142 , то

В результате прямых измерений получено значение радиуса
r = (1,35 ± 0,03) см.

Учет погрешностей трансцендентных и иррациональных величин

В этом случае число π можно считать точным и относительную погрешность площади рассчитать по формуле

Формула для определения относительной погрешности имеет вид

равной половине единицы последнего разряда значения, приведенного в таблице или

Учет погрешностей физических постоянных,
табличных значений, данных установок

Δm = ±0,05 г

τ = 123,02 с,

Δτ = ± 0,005 с

Δl = ± 0,5 мм

т = 123,4 г

l = 123 мм,

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 – это цифры.

− 65,32 − это число.

Число состоит из знака, цифр и разделителя.

Половина единицы разряда сотых – 0,005

цилиндра радиусом R и высотой h.

h
R
Радиус цилиндра задан R

Таблица 1. Спецификация измерительных приборов

Данные установки:

R = 18 мм;

ΔR = ± 0,5 мм.

Объем рассчитываем по формуле:

пять раз с помощью штангенциркуля. Результаты измерений запишем в табл.2.

по среднему значению h (возьмем число π = 3,14 –

По результатам измерений определим среднее значение h:

Таблица 2. Измерение высоты образующей цилиндра

пренебречь.
Выведем из расчетной формулы
формулу для вычисления относительной погрешности :

измерения:
Случайную погрешность Δhсл вычисляем по формуле
Для доверительной

Δhсл = 0,34 мм

Результирующая абсолютная погрешность:

формуле:
Вычислим абсолютную погрешность измерения объема цилиндра:
ΔV = δVVср = 0,065·12411,792

Vср = 12411,792 мм3.

Как правильно округлить значение погрешности и среднего значения?

Вычислим относительную погрешность измерения высоты и радиуса цилиндра:

то значение погрешности округляется до одной значащей цифры.
1,037 ≈ 1,0

Правила

Сначала округляется значение абсолютной погрешности:

– если первая значащая цифра 1 или 2, то значение погрешности округляется до двух значащих цифр;

0,235 ≈ 0,24

0,502

165,43 ≈ 1,7⋅102

0, 125

0,045 ≈ 0,05

7,434 ≈ 7

735,32 ≈ 7⋅102

13,85

Округляем до двух цифр

14

3,85

Округляем до одной цифры

4

≈ 0,13

≈ 0,5

в среднем значении должна стоять в том же разряде, что

(123,072 ± 1,04) ≈ (123,1 ± 1,0)

Правила округления результатов измерений

(467,202 ± 0,502) ≈ (467,2 ± 0,5)

(1234,5 ± 165,4) ≈ (1,23 ± 0,17)⋅103

163,25

Среднее значение:

163,248 мм

Погрешность:

0,235 мм

0,24 мм

163,25 мм

l = (

± 0,24

) мм

12411,792 мм3

8·102 мм3

124·102 мм3
V = (124 ± 8)·102 мм3,
Р =

Запишем окончательный результат измерения объема цилиндра:

V = (12,4 ± 0,8) см3,

или

Р = 0,95