фракталы, нелинейная динамика

В принципе методы получения фрактальных структур ничем не отличаются от

обычных технологических методов микро и нанотехнологии. Более того, фрактальные структуры зачастую получаются не только без всяких особых ухищрений, но и самопроизвольно.
Поскольку эти структуры существенно отличаются от того, что рассчитывали получить технологи, то они всегда объявлялись браком и служили объектом борьбы и уничтожения, вместо того, чтобы служить предметом исследования и источником различных, в том числе и нобелевских премий. Но, безусловно, получение фрактальных структур имеет свои нюансы и тонкости.

в атмосфере аргона при давлении 0,25 - 10 торр и

собирают образовавшийся конденсат металлических частиц в виде фрактальных образований.
Осадок имеет пористую структуру и основной объем его занимают поры.
Средний радиус частиц в этих образованиях возрастает с увеличением давления аргона.
Фрактальная размерность агрегатов лежит обычно в пределах 1,75 - 1,9 при давлении аргона в 0,9 - 8 торр, средний радиус частиц - менее 0,8 нм.

смеси в горящем пламени, если обеспечиваются условия конденсации и образования

твердых частиц.
Этот метод используется для получения фрактальных агрегатов Si02 путем сжигания в водородно-кислородном пламени SiH4.
Образующийся при сжигании порошок содержит фрактальные агрегаты, состоящие из частиц с радиусом в пределах 8 - 10 нм. Фрактальная размерность агрегатов D = 1,8 - 2,0.

Полученные путем конденсации в газовой среде фрактальные агрегаты имеют очень высокую степень пористости. Объемная доля твердого вещества обычно составляет 10-2 - 10-4.
Определение каких-либо свойств твердого тела становится при этом чрезвычайно затруднительным и в большинстве случаев даже невозможным. Поэтому актуальным является поиск способов и методов создания в твердых телах управляемой фрактальной структуры.

структуры в металле при возрастающих степенях деформации, приводящих к созданию

ячеистой структуры.
В начальной стадии пластической деформации образуется значительное количество дислокаций, равномерно распределенных по объему. При более высоких степенях деформации образуются скопления в виде клубков и рыхлых стенок ячеек.
В конце концов, образуется четко выраженная ячеистая структура. Считается, что скопления дислокаций, формирующие стенки ячеек, являются фракталами, размерность которых сначала увеличивается от D = 1 (равномерное распределение дислокаций) до 1 < D < 2 (рыхлые скопления), а затем достигает D = 2 (геометрические стенки ячейки).

к классу аэрогелей и представляющие собой макроскопическое твердое тело, состоящее

из связанных между собой микрочастиц, образующих жесткий каркас, который занимает лишь малую часть общего объема.
В названии "аэро" (воздух) отражен малый удельный вес вещества. Способ производства аэрогеля SiO2 был разработан в 30-х годах двадцатого столетия.

выделяется одно из веществ (SiO2) из раствора в твердую фазу

в виде микроскопических частичек на многих центрах конденсации.
Диаметр таких микрочастиц на порядок и более превышает диаметр входящих в ее состав молекул.
Растущая микрочастица должна приобретать заряд, который препятствует присоединению к ней молекул Si02, которые сами заряжены.
Такой процесс возможен всего лишь в небольшом интервале кислотности раствора.

между собой твердых частиц, причем объем, занимаемый частицами, составляет малую

часть объема аэрогеля.
Практически весь его объем приходится на пустоты — поры.
Характерный размер отдельных частиц, входящих в состав аэрогеля, обычно порядка нескольких нм.
Простейшая модель аэрогеля может быть построена из сферических частиц близкого радиуса, причем связь между ними осуществляется, когда частицы практически касаются друг друга.
В этом случае удельная площадь внутренней поверхности аэрогеля S выражается через радиус частиц r0.
В частности, для аэрогеля двуокиси кремния при ρ0 = 2,2 г/см3 при r0 = 2 нм имеем S = 700 м2/г.
Для большинства реальных образцов аэрогеля двуокиси кремния S находится в пределах 300—1000 м2/г.

себя большое число отдельных частиц, в рамках рассматриваемой модели он

представляет собой фрактальный кластер.
Такая структура определяется механизмом образования аэрогеля, рост которого обусловлен слипанием отдельных частиц, движущихся в растворе.

отдельных частиц, определяющее структуру аэрогеля. Оно идет достаточно медленно, ибо

зависит от диффузии микрочастиц в растворе. Очень важное значение имеет последняя стадия процесса формирования аэрогеля, связанная с удалением жидкости, находящейся в его порах.
Молекулы жидкости создают высокие давления в порах. Расчеты показывают, что в порах аэрогеля Si02 диаметром 2 нм молекулы воды создают давление порядка 20 кбар. Высушивание аэрогеля на воздухе или в вакууме создает большие внутренние напряжения в каркасе, приводящие к его разрушению. Высушенный таким образом аэрогель получил название ксерогеля.
Чтобы предотвратить разрушение структуры каркаса аэрогеля, воду в порах заменяют этиловым спиртом (какое варварство!), молекулы которого создают меньшее напряжение, а удаление спирта облегчается благодаря более низким, чем у воды, критическим точкам. После этого аэрогель высушивается в автоклаве.

рентгеновского излучения, оказалась равной D = 2,12 ± 0,05.

Радиус частиц находится в пределах 4 - 10 нм, а максимальный размер пор 35 - 120 нм.
Наиболее характерным свойством аэрогеля является гигантский объем внутренних пор. Поэтому аэрогель можно использовать для хранения различных веществ в виде так называемого наноконтейнера.
В частности, аэрогели Аl2О3 и SiO2 могут быть использованы для хранения компонент ракетного топлива: азотной кислоты, оксидов азота и диметилгидразина.
Аэрогель SiO2 является прозрачным веществом с низкой теплопроводностью, поэтому его можно использовать в качестве прозрачных теплоизолирующих стен и перегородок, например в космических кораблях.

в чем-то сходным с аэрогелем являются фрактальные нити, полученные при

лазерном облучении металлических поверхностей.

Фрактальные нити являются аналогами аэрогелей, но в отличие от аэрогелей фрактальные нити анизотропны, ибо образуются во внешнем поле (диаметр нити в эксперименте составляет 30 - 40 мкм, их длина - несколько сантиметров).

является своеобразным состоянием вещества.
Это состояние по своему

удельному весу соответствует газам, а по поведению - жидкостям и твердым телам.
Фрактальный клубок в силу жесткости конструкции обладает поверхностным натяжением, однако из-за малого удельного веса поверхностное натяжение относительно невелико.
Поэтому вблизи отверстия сферическая форма поверхности фрактального клубка нарушается; из него вырывается цилиндрическая струя, с помощью которой все вещество перетекает по другую сторону отверстия.
Там вдали от отверстия под действием поверхностного натяжения восстанавливается сферическая форма системы.

взаимодействия с внешней средой все системы (от маленького забитого вируса

до наглой гигантской звездной Метагалактики) делятся на открытые и закрытые.
Открытая система обменивается с внешней средой веществом, энергией и информацией, вследствие чего в ней происходят различные процессы, изменяющие ее состояние во времени.
Такая система, во-первых, находится в положении далеком от равновесия, поскольку обмен веществом, энергией и информацией с внешней средой все время изменяет ее состояние и она просто не успевает должным образом отрелаксировать.
Во-вторых, она эволюционирует, и если процессы, в ней происходящие, необратимы во времени, то эволюция может протекать различным образом в зависимости от изменения начальных параметров системы.

закрытыми, они эволюционируют с уменьшением энтропии до момента прекращения своего

существования и с ее увеличением после наступления этого во многом прискорбного факта (грубо говоря, начинают разлагаться после смерти - но это не изысканная формулировка).
Переход к изучению открытых систем означает также ломку сложившихся научных стереотипов и косных систем мышления, тесно связанных с их биологическими носителями и соответствующими материальными и социальными благами.

а если на такую систему и подается какое-то возмущение, то

интересуются только двумя состояниями - до возмущения и после него, когда система придет в равновесие.
Переходной процесс, эволюция системы даже в таком маленьком временном интервале внимания не заслуживали, что очень странно, т.к. пример истинной закрытой системы отыскать практически невозможно.

инвариантности, то описание процессов, происходящих в открытых системах отличается от

такового для закрытых (изолированных).
Для описания закрытой системы используются уравнения, обратимые во времени и, соответственно, обратимы во времени все происходящие в ней процессы.
В открытых системах происходящие процессы не обратимы во времени, для них характерна так называемая стрела времени.
Представления о стреле времени, процессах самоорганизации и принципах науки синергетики были развиты нашим соотечественником, ныне покойным нобелевским лауреатом Ильей Романовичем Пригожиным.

понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие

состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени и задан оператор, описывающий эволюцию начального состояния во времени.
Это система любой природы (физической, химической, биологической и даже социальной или экономической), состояние которой изменяется во времени, дискретно или непрерывно.
Описание динамических систем в смысле задания оператора эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д.
Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы.

линейные и нелинейные.
Геометрическим образом линейной функции на

плоскости будет прямая линия, а геометрическим образом нелинейной функции - любая кривая.

Нелинейные функции изменчивы и неповторимы.
То, что точно описывает характерные особенности одного класса нелинейных функций может быть абсолютно неприменимо к другому их классу.

краеугольный камень предыдущей, классической физики - принцип суперпозиции, позволявший конструировать

любую задачу как набор частных решений, к примеру всем известная кусочно-линейная аппроксимация.
Для забывших или не выучивших: принцип суперпозиции - это допущение, согласно которому в случае, если составляющие сложного процесса воздействия взаимно не влияют друг на друга результирующий эффект будет представлять собой сумму эффектов, вызываемых каждым воздействием в отдельности.

наличие выбора из альтернатив путей и определенного темпа эволюции, а

также необратимость эволюционных процессов.
Нелинейность в математическом смысле означает определенный вид математических уравнений (нелинейные дифференциальные уравнения), содержащих искомые величины в степенях, больше единицы или коэффициенты, зависящие от свойств среды.

и т. д.), будущее объекта однозначно детерминированное и его можно

предсказать, зная прошлое объекта (исходные данные для моделирования).
Фракталы применяются в том случае, когда объект имеет несколько вариантов развития и состояние системы определяется положением, в котором она находится на данный момент, что является попыткой смоделировать хаотичное развитие.

математика (она уже есть), но и не заскорузлое мышление и

способность воспринимать новое и непривычное.
Однако самое болезненное для большинства, так сказать пик формы - это соединение в "одном флаконе" нелинейных и открытых систем.
Речь идёт о системах, имеющих выход и вход, то есть обменивающихся с окружающей средой потоками энтропии (энергии, вещества, информации), благодаря этому система оказывается выведенной из состояния термодинамического равновесия, то есть оказывается неравновесной.
В таких системах происходят необратимые процессы, которые могут самопроизвольно протекать только в одном определённом направлении.
Нелинейность означает, что распространяющиеся через систему потоки энтропии изменяют её параметры тем в большей мере, чем интенсивней эти потоки.

дифференциальные равнения.
Они имеют не одно, а несколько

возможных решений, а это означает, что система может эволюционировать несколькими путями.
Изменение параметров системы способно вызывать ветвление пути эволюции.
Построением математических и компьютерных моделей процессов в системах любой природы, в том числе и нелинейных, занимается возникшая в прошлом веке наука синергетика.
А также изучением условий, механизмов, типов переходов структуры, выяснением свойств структуры и хаоса, их связи с процедурами обработки информации, возможности управления сложными системами посредством стимулирования оптимальных процессов самоорганизации и др.

некоторое пороговое значение, при котором компенсируются потери энергии в системе,

в ней образуются пространственно-временные структуры, т.е. происходит самоорганизация.

энергия накачки мала, его атомы испускают свет несогласованно, создавая излучение,

характеристики которого изменяются хаотически.
Достижение порогового значения приводит - скачком - к возникновению упорядоченной структуры, то есть волны когерентного излучения, характеристики которой постоянны. Иначе говоря, имеет место переход хаос-структура.
Дальнейший рост подводимой к лазерному веществу энергии при условии сильных её потерь способен вызвать переход структура-хаос.
Существенно, что такой хаос, называемый динамическим или детерминированным, структурен, то есть обладает той или иной степенью упорядоченности.

параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан эволюционный

оператор, позволяющий решать задачу определения изменения состояния во времени.

разному, в зависимости от того, какой аспект ее эволюции представляет

интерес для исследователя.
Если интерес представляет конфигурация системы, ее положение в эвклидовом пространстве или состав, то принято пользоваться конфигурационным пространством, в котором каждая точка описывает какую-то конфигурацию системы.
Но для описания эволюции системы во времени информации, содержащейся в конфигурационном пространстве, недостаточно.
Пространство, каждая точка которого соответствует состоянию динамической системы, называется фазовым пространством.

какой-либо другой характеристики системы - пусть количества вещества С, которым

система обменивается с окружающим миром.
По оси абсцисс положение системы в эвклидовом пространстве.
Тогда по оси у можем отложить либо изменения в энергии системы Е, что мы и сделали, или информации, что мы не сделали, так как не захотели, вернее, не смогли.
Потому, что для информации в трехмерном фазовом пространстве места не осталось.

(это в жизни лучше не читать газет и не смотреть

в ящик для идиотов) - точно так же, как игнорирование обмена веществом или энергией.
Из этого следует весьма печальный вывод, что для описания системы даже в самом общем виде не хватает трехкоординатной эвклидовой сетки, а оперировать с большим числом координат в эвклидовом пространстве мы не умеем.
Поэтому реальную полноценную нелинейную открытую систему даже в самом общем виде наглядно описать невозможно, а только с помощью математических уравнений.

Эволюция системы началась для нас с временной точки t=0, но

поскольку система уже располагалась в пространстве и имела в своем составе какое-то вещество, и обладала какой-то энергией и информацией, то развитие системы (эволюция) пойдет не из начала координат.
В каждый последующий момент времени за счет обмена с внешней средой веществом и энергией система будет перемещаться в фазовом пространстве (и в эвклидовом тоже, но лишь как составляющей фазового, т.е. каждая новая совокупность всех трех координат в эвклидовом пространстве в фазовом пространстве будет отображаться одной точкой, но учет эвклидова пространства автоматически делает фазовое пространство континууминальным, т.е. непрерывным).

что фазовая траектория начинает эволюционировать вокруг некоей области притяжения, называемой

аттрактором, как это и показано на графике.
Если траектория при t→∞ будет описывать такую фигуру ни разу не пересекаясь сама с собой, то такой аттрактор будет именоваться странным.
Река и мячик

состоянием и в одних случаях возмущающие факторы влияют на режим

функционирования системы незначительно, а в других - приводят к резкому отличию характера возмущенного движения по сравнению с исходным.
В первом случае состояние системы устойчиво, во втором - нет.

их математическом описании приводит к дифференциальным уравнениям, зависящим от параметров.

Изменение параметра может вызвать потерю устойчивости одним режимом движения и переход системы в другое состояние.
Это явление называется бифуркацией, а значение параметра, при котором оно происходит, - точкой бифуркации.
Особо интересны такие бифуркации, в результате которых при прохождении точки бифуркации в системе возникают новые устойчивые режимы движения.

системы похожи друг на друга и могут анализироваться с помощью

математического аппарата интегрального и дифференциального исчисления (математического анализа).
Поэтому, когда Пуанкаре открыл неинтегрируемость целого класса систем, это было настоящим шоком.
Сам Пуанкаре называл их отвратительными и кошмарными. Оказалось, что таких систем множество (например, траектория броуновского движения частицы).
В этом случае аппарат дифференциальных уравнений становится непригодным, и необходимо переходить к вероятностным методам исследования.
В силу открытия свойства неинтегрируемости некоторые положения классической динамики, оказались несостоятельными.

возрастанием энтропии, — является конечным пунктом всякой эволюции.

Создавая неклассическую термодинамику И. Пригожин доказал, что существуют структуры, в которых возрастание энтропии может быть компенсировано ее оттоком в окружающую среду.
Такие структуры получили название "диссипативных".
На этой основе появилось новое научное направление - синергетика.

перехода от беспорядка к порядку, теория диссипативных структур вводит понятие

бифуркации (bifurcus, лат. - двузубый).
Согласно теории бифуркации, прошлое состояние системы исчезает скачком в силу накопления в системе флуктуации (fluctus, лат. - бурлящий).
В любой системе имеют место флуктуации, связанные со сбоями в функционировании ее элементов, с поломками в структурных образованиях.
Флуктуации необходимы и присутствуют в любой системе, но вместе с тем их появления означают нарушения в способе существования системы: отклонения от статистически среднего.

значение порога устойчивости термодинамической ветви.
Это точка ветвления путей

эволюции открытой нелинейной системы, как в общем виде это показано на рисунке, где по оси абсцисс отложены некоторые временные промежутки, а по оси ординат изменение какой-либо характеристики системы.
С точки зрения математики бифуркация означает ветвление решений нелинейного дифференциального уравнения.
Если есть бифуркация, то существует и вероятность. Следовательно, необратимость ведет к вероятности.
Таким образом, вероятность обнаруживается через бифуркацию, потому что изначально неизвестно, по какой ветви будет развиваться система.

показывают, что: поведение системы по мере эволюции все более становится

непредсказуемым; чем сложнее система, тем, тем быстрее происходит переход в область недетерминированного поведения; чем длительнее процесс, тем более жестким требованиям должно удовлетворять исходное состояние системы.

домашнего кота. В качестве переменных величин, характеризующих эту систему, выбраны

"рост кота" и "вес кота". Изменение этих переменных с течением времени изображено на рисунке. Сначала, будучи котенком, кот имеет маленький рост и маленький вес (точка О). Затем, по мере развития и эволюции кота, рост и вес увеличиваются (точки 1-4 на графиках роста и веса), кот достигает пика эволюции - расцвета сил (точка 5).

После этого рост кота уже не изменяется, а вот его вес уменьшается, что связано с его старением и дряхлением (точки 6-9). Если же отложить по одной оси рост, а по другой - вес кота, то каждая точка на плоскости (рост; вес) будет однозначно характеризовать состояние системы "домашний кот" в фазовой плоскости. При увеличении переменных величин, характеризующих состояние системы, фазовая плоскость превратилась бы в фазовое пространство.

Эволюция системы "домашний кот"

теорией детерминированного хаоса потребуется несколько курсов лекций на последнем году

магистерской подготовки, чему не бывать.
Посему перейдем к очень краткому знакомству с элементной базой микроэлектроники.