Разделы презентаций

Функции и их свойства. Графики функций. Предел функции. Непрерывность функции

Содержание

Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр Военно-медицинской академии и старейшая кафедра физики в России (образована в 1795 г.).

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1
ЛЕКЦИЯ № 1

по дисциплине «Математика»
на тему: «Функции и их свойства.

Графики функций. Предел функции. Непрерывность функции»

для курсантов I курса по

военной специальности «Фармация»

ВОЕННО–МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ имени С.М. Кирова Кафедра биологической и медицинской физики

ЛЕКЦИЯ № 1по дисциплине «Математика»на тему: «Функции и их свойства. Графики функций. Предел функции. Непрерывность функции» для курсантов

Слайд 2Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр

Военно-медицинской академии и старейшая кафедра физики в России (образована в

1795 г.).


Кафедра биологической и медицинской физики — одна из первых кафедр Военно-медицинской академии и старейшая кафедра физики в

Слайд 3Здание Естественно-исторического института

Здание Естественно-исторического института

Слайд 4
Первым профессором кафедры стал Василий Владимирович Петров (1761—1834) — знаменитый

русский ученый-естествоиспытатель, заложивший основы преподавания экспериментальной физики в России.

Первым профессором кафедры стал Василий Владимирович Петров (1761—1834) — знаменитый русский ученый-естествоиспытатель, заложивший основы преподавания экспериментальной физики

Слайд 5
1. Определение функции, числовых промежутков и окрестностей точек. Некоторые свойства

функций и их графиков.

1. Определение функции, числовых промежутков и окрестностей точек. Некоторые свойства функций и их графиков.

Слайд 6Пусть X, У — некоторые множества, элемента­ми которых являются некоторые

числа. Если каждому числу х Є X по некоторому закону

или правилу f ставится в соответствие число у Є У, то говорят, что на множестве X задана числовая функция f и записывают эту функциональную зависимость формулой
у = f(x).

Определение:

Пусть X, У — некоторые множества, элемента­ми которых являются некоторые числа. Если каждому числу х Є X

Слайд 7

Переменная х называется независимой переменной или аргументом, а переменная у

называется зависимой переменной (от х) или функцией.


Переменная х называется независимой переменной или аргументом, а переменная у называется зависимой переменной (от х) или функцией.

Слайд 8Множество X — область изменения аргумента — называется областью определения

функции. Множество У, содержащее все значения, которые принимает у, называется

областью изменения функции.


Множество X — область изменения аргумента — называется областью определения функции. Множество У, содержащее все значения, которые

Слайд 9


Множества X и Y часто являются конечными или бесконечными промежутками:


Множества X и Y часто являются конечными или бесконечными промежутками:

Слайд 10а) конечные промежутки:
Открытый интервал (a,b): множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам

a < x < b или (a,b) ↔ (a

x < b), где знак эквивалентности;
Замкнутый интервал (или отрезок) [a,b]: [a,b] ↔ (a≤ x ≤ b);
Полуоткрытые интервалы (a,b] и [a,b): (a,b] ↔ (a< x ≤ b) или [a,b) ↔ (a≤ x < b).


а) конечные промежутки:Открытый интервал (a,b): множество вещественных чисел, удовлетворяющих неравенствам a < x < b или (a,b)

Слайд 11

б) бесконечные промежутки:
(-∞, +∞) = R – множество всех вещественных

чисел.
Аналогично, возможны промежутки (а,+∞), (-∞, а) и т.д.
Числа а

и b называются левым и правым концами этих промежутков.



б) бесконечные промежутки:(-∞, +∞) = R – множество всех вещественных чисел. Аналогично, возможны промежутки (а,+∞), (-∞, а)

Слайд 12
Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой).

Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a,b), содержащий точку х0;

интервал (х0 – ε, х0 + ε), где ε > 0, симметричный относительно х0, называется ε-окрестностью точки х0.


Пусть x0 – любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х0 называется любой интервал (a,b),

Слайд 131) Графический.
Правило, по которому можно находить у, зная х, может

быть задано графиком функции.
Графиком функции в декартовой прямоугольной системе

координат называется множество всех точек, абсциссы которых являются значениями аргумента, а ординаты - соответствующими значениями функции.

Способы задания функции:

1) Графический.Правило, по которому можно находить у, зная х, может быть задано графиком функции. Графиком функции в

Слайд 14Пример. Графиком функции у = х2 является парабола, ось симметрии

которой совпадает с положительной полуосью ординат, а вершина с началом

координат.


Пример. Графиком функции у = х2 является парабола, ось симметрии которой совпадает с положительной полуосью ординат, а

Слайд 15Функцию можно задавать также с помощью таблицы или формулы (аналитически).
2)

Табличный способ применяется на практике при обработке результатов наблюдений приближенных

значений функции.
3) Аналитический способ задания функции является наиболее удобным для полного исследования функции при помощи методов математического анализа.


Функцию можно задавать также с помощью таблицы или формулы (аналитически).2) Табличный способ применяется на практике при обработке

Слайд 16

Основные характеристики функции: монотонность, ограниченность, четность (нечетность), периодичность.

Основные характеристики функции: монотонность, ограниченность, четность (нечетность), периодичность.

Слайд 17Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в интервале, если большему значению

аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции.
График возрастающей

на интервале (а,b) функции, если его рассматривать слева направо, поднимается вверх, а для убывающей функции — опускается вниз.



Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) в интервале, если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее)

Слайд 19Определение. Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает (убывает), называется

интервалом возрастания (убывания). Как интервал возрастания, так и интервал убывания

называют интервалами монотонности функции, а функцию в этом интервале — монотонной функцией.


Определение. Интервал независимой переменной, в котором функция возрастает (убывает), называется интервалом возрастания (убывания). Как интервал возрастания, так

Слайд 20Определение.
Функция называется четной, если при изменении знака допустимого аргумента

значение функции не изменяется.
Функция называется нечетной, если при изменении

знака допустимого аргумента значение функции меняет знак на противоположный.


Определение. Функция называется четной, если при изменении знака допустимого аргумента значение функции не изменяется. Функция называется нечетной,

Слайд 21
Таким образом, если функция f(x) — четная, то для всех

х из ее области определения должно выполняться равенство f(-x)=f(x), как

это происходит, например, при f(x) = x2, а если f(x) — нечетная, то f(-x) = -f(x) для любого х из области определения функции, как, например, в случае f(x)= x3.


Таким образом, если функция f(x) — четная, то для всех х из ее области определения должно выполняться

Слайд 22Четные или нечетные функции должны быть обязательно определены в области,

симметричной относительно начала координат.
При этом график четной функции симметричен относительно

оси абсцисс, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.


Четные или нечетные функции должны быть обязательно определены в области, симметричной относительно начала координат.При этом график четной

Слайд 23
Не все функции являются четными либо нечетными; функции, не являющиеся

ни четными, ни нечетными, будем называть функциями общего вида.


Не все функции являются четными либо нечетными; функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, будем называть функциями

Слайд 24Определение.
Функция f(x) называется периодической, если существует такое положительное число

а, что f(x + a) = f(x) = f(x -

а) для любого х из ООФ (точки х, х + а, х -а относятся к области определения функции).
При этом наименьшее положительное а с таким свойством (если таковое существует) называется периодом функции.


Определение. Функция f(x) называется периодической, если существует такое положительное число а, что f(x + a) = f(x)

Слайд 25Примером периодической функции служит определенная на всей оси функция
у

= cos x, период которой равен 2π.



Примером периодической функции служит определенная на всей оси функция у = cos x, период которой равен 2π.

Слайд 262. Сложная функция. Обратная функция.

2. Сложная функция. Обратная функция.

Слайд 27Определение. Сложной функцией называется функция, аргумент которой также является функцией,

т.е. F(x) = f(φ(x)).
Чтобы сосчитать значение в точке х сложной

функции f(φ(x)), составленной из функций f и φ, следует сна­чала найти частное значение u= φ(х) внутренней функции φ, а затем подставить его в качестве аргумента во внешнюю функцию f.


Определение. Сложной функцией называется функция, аргумент которой также является функцией, т.е. F(x) = f(φ(x)).Чтобы сосчитать значение в

Слайд 28При этом область определения функции F(x) следует выбирать таким образом,

чтобы промежуточное множество U, с одной стороны, было областью значений

функции φ(х), а с другой стороны, являлось областью определения функции f(u).



При этом область определения функции F(x) следует выбирать таким образом, чтобы промежуточное множество U, с одной стороны,

Слайд 29
Пример. Рассмотрим сложную функцию
у = lg(1- x2). Здесь у

= f(u) = lgu, в то время как u =

φ(х) = 1- х2.
Областью определения функции у является интервал (-1,1), в котором как функция φ(x), так и функция f(u) имеют смысл.


Пример. Рассмотрим сложную функцию у = lg(1- x2). Здесь у = f(u) = lgu, в то время

Слайд 30Рассмотрим функцию с областью определения X и областью значений Y.

Предположим, что каждому значению у ε Y соответствует одна определенная

точка
х ε X, такая что у = f(x). Тогда существует функция φ, переводящая любое у ε Y
в х ε X, удовлетворяющее вышеуказанному свойству у = f(x).

Обратная функция

Рассмотрим функцию с областью определения X и областью значений Y. Предположим, что каждому значению у ε Y

Слайд 31
Функции f и φ с вышеперечисленными свойствами называются взаимно-обратными, а

функция φ называется обратной по отношению к f. С учетом

того что символ х соответствует, как правило, независимой переменной, обычно вместо записи х = φ(у) используют запись у = φ(х).


Функции f и φ с вышеперечисленными свойствами называются взаимно-обратными, а функция φ называется обратной по отношению к

Слайд 32Между графиками функций у = f(x) и
у = φ(х)

имеется простая связь: график обратной функции у = φ(х) симметричен

графику данной функции у = f(x) относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.


Между графиками функций у = f(x) и у = φ(х) имеется простая связь: график обратной функции у

Слайд 343. Элементарные функции. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.

3. Элементарные функции. Тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции.

Слайд 35Определение. Основными элементарными функциями являются:
1) степенная функция: у = хn,

где n — действительное число, х > 0 (в некоторых

случаях, в частности при натуральном n, степенная функция определена на всей оси);


Определение. Основными элементарными функциями являются:1) степенная функция: у = хn, где n — действительное число, х >

Слайд 362) показательная функция: у = ах, где а>0, a≠ 1;

Х = R;


2) показательная функция: у = ах, где а>0, a≠ 1; Х = R;

Слайд 383) логарифмическая функция: у = loga x, где основание логарифма

а > 0, а ≠ 1,
и X = (0,

+∞);


3) логарифмическая функция: у = loga x, где основание логарифма а > 0, а ≠ 1, и

Слайд 394) тригонометрические функции:
у = sin х, у = cos

x, у = tg x и у = ctg x;


4) тригонометрические функции: у = sin х, у = cos x, у = tg x и у

Слайд 415) обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у =

arcos х, у = arctg х и
у = arcctg

х.


5) обратные тригонометрические функции: у = arcsin х, у = arcos х, у = arctg х и

Слайд 42Пример. Пусть задана функция
f(x) =

,
определенная при всех значениях х, кроме
х = 1.


(Отметим, что эта функция не эквивалентна функции f(x) = x +1, получаемой при сокращении правой части на х – 1, так как эти функции имеют разные области определения).

4. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Специальные пределы



Пример. Пусть задана функция f(x) = , определенная при всех значениях х, кроме

Слайд 43Исследуем поведение функции при значениях х, мало отличающихся от 1.

Для этого составим таблицу значений функции в интересующем нас интервале:



Исследуем поведение функции при значениях х, мало отличающихся от 1. Для этого составим таблицу значений функции в

Слайд 44Чем ближе х приближается к 1, тем ближе значения f(x)

к 2.
В подобных случаях говорят, что число 2 является

пределом функции f(x) при х, стремящемся к 1
(или более кратко: f(x) →2 при х → 1).


Чем ближе х приближается к 1, тем ближе значения f(x) к 2. В подобных случаях говорят, что

Слайд 45Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0,

кроме, может быть, самой точки x0.
Число b называется пределом

функции в точке x0 (или при х → x0), если для любого положительного ε, как бы мало оно не было, можно найти такое положительное δ, что для всех x ≠ x0, удовлетворяющих неравенству |x - x0| < δ, выполняется неравенство |f(x) - b | <ε.

Записывают так: lim f(x) = b.
x→x0


Определение. Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0, кроме, может быть, самой точки x0. Число

Слайд 46

В приводимых ниже теоремах будем считать, что функции f(x) и

g(x) имеют общую область определения, содержащую точку x0, и обладают

пределами в этой точке.

Основные теоремы о пределах:

В приводимых ниже теоремах будем считать, что функции f(x) и g(x) имеют общую область определения, содержащую точку

Слайд 47Теорема 1 (о единственности предела функции). Функция не может иметь

более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны

в некоторой окрестности точки x0, за исключением, может быть, самой точки x0, то либо они имеют один и тот же предел при x → x0, либо обе не имеют предела в этой точке.


Теорема 1 (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.Следствие. Если две функции f(x)

Слайд 48Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в

точке x0, то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме

пределов слагаемых, т.е.



Теорема 2. Если функции f(x) и  g(x) имеют пределы в точке x0, то:1) предел алгебраической суммы функций

Слайд 492) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.


2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.

Слайд 50Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному от деления

предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен

нулю, т.е.



Теорема 3. Предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел

Слайд 51Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.




Следствие 2. Постоянный

множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Слайд 52Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.


Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Слайд 53Для решения примеров используются следующие пределы:


(первый классический предел)


(второй классический предел)

Специальные

пределы






Для решения примеров используются следующие пределы:(первый классический предел)(второй классический предел)Специальные пределы

Слайд 54При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:


При решении примеров полезно иметь в виду следующие равенства:

Слайд 55Рассмотрим функцию у = f(х), определенную в интервале [а, b].


Пусть х0 и х — два произвольных значения из этого

интервала. Обозначим х -х0 = Δх, откуда х = х0 + Δх.
Говорят, что для перехода от значения аргумента х0 к значению х первоначальному значению придано приращение Δх.

5. Непрерывность функций

Рассмотрим функцию у = f(х), определенную в интервале [а, b]. Пусть х0 и х — два произвольных

Слайд 56Приращением Δу функции у = f(х), соответствующим приращению Δх аргумента

х в точке х0,
называется разность Δy = f(x0 +

Δx)-f(x0).

Определение. Функция f(х) непрерывна в

точке х = х0, если lim f(х) = f(х0).
x→x0


Приращением Δу функции у = f(х), соответствующим приращению Δх аргумента х в точке х0, называется разность Δy

Слайд 57Второе определение непрерывности функции:
Функция называется непрерывной в данной точке, если

в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое

приращение функции,

т. е. lim Δу = 0.
Δx→0


Второе определение непрерывности функции:Функция называется непрерывной в данной точке, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента

Слайд 58Определение. Функция f(x) называется непрерывной в интервале, если эта функция

непрерывна в каждой точке этого интервала.
Для функции, непрерывной в интервале


(а, b), для каждого значения x0 интервала (а,b) выполнено равенство

lim Δу = 0.
Δx→0


Определение. Функция f(x) называется непрерывной в интервале, если эта функция непрерывна в каждой точке этого интервала.Для функции,

Слайд 59Непрерывность функции в точке x0 равносильна ее непрерывности в этой

точке одновременно слева и справа, то есть должны выполняться следующие

четыре условия непрерывности:
1. f(x) должна быть определена в некоторой окрестности точки x0.
2. Должны существовать конечные пределы слева и справа:
lim f(x) и lim f(x)
x→x0-0 x→x0+0
3. Эти пределы слева и справа должны быть равны:

lim f(x) = lim f(x) = А
x→x0-0 x→x0+0
4. Эти пределы должны быть равны значению функции в точке x0, т. е. А = f(x0).


Непрерывность функции в точке x0 равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно слева и справа, то есть

Слайд 60Если в точке x0 не выполняется хотя бы одно условие,

то в этой точке функция терпит разрыв, а сама эта

точка называется точкой разрыва.
В качестве конкретного примера функции, имеющей точку разрыва, рассмотрим изменение биомассы микроорганизмов, чувствительных к температурным колебаниям.



Если в точке x0 не выполняется хотя бы одно условие, то в этой точке функция терпит разрыв,

Слайд 62Пусть x0 является внутренней точкой отрезка [а, b]. Если существуют

конечные пределы f(x) при стремлении x к x0 слева и

справа, но нарушены условия 3 или 4, то точку x0 называют точкой разрыва первого рода.
Если хотя бы один из пределов слева или справа бесконечен или его вовсе нет, тогда говорят о разрыве второго рода.

Классификация точек разрыва

Пусть x0 является внутренней точкой отрезка [а, b]. Если существуют конечные пределы f(x) при стремлении x к

Похожие презентации

Тліючий розряд Тліючий розряд 248
Законодательная база в области защиты интеллектуальной собственности Баурова Законодательная база в области защиты интеллектуальной собственности Баурова 277
Критерии определения отклоняющегося поведения Критерии определения отклоняющегося поведения 177
РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ Алгоритм принятия ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ О РОССИЙСКАЯ ТАМОЖЕННАЯ АКАДЕМИЯ Алгоритм принятия ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ О 185
Проблемы и перспективы развития логистики в РФ Проблемы и перспективы развития логистики в РФ 266
Модули Модули 198
ЛЕКЦИЯ ЛЕКЦИЯ 183
Доступ к данным при помощи EF Доступ к данным при помощи EF 232
Сопротивление материалов Сопротивление материалов 225
Характеристика відмови від надання аудиторського висновку Характеристика відмови від надання аудиторського висновку 356
( 1941-1945 ) Ұлы Отан соғысы жылдарындағы Қазақстан ( 1941-1945 ) Ұлы Отан соғысы жылдарындағы Қазақстан 887
Осип Эмильевич Мандельштам Осип Эмильевич Мандельштам 377
Открытый урок «Логические операции» Открытый урок «Логические операции» 381
Глава 7. Системная технология изменений Глава 7. Системная технология изменений 199
Стандартизация и сертификация продукции, работ и услуг общественного питания Стандартизация и сертификация продукции, работ и услуг общественного питания 261
Домашнее задание § 11Задание на стр. 55 с 1-10 §11 ЦЕНТРАЛЬНАЯ РОССИЯ Домашнее задание § 11Задание на стр. 55 с 1-10 §11 ЦЕНТРАЛЬНАЯ РОССИЯ 184
КОЛЕННЫЙ СУСТАВ КОЛЕННЫЙ СУСТАВ 975
Современные системы физической культуры ученицы 10Акласса Сизенко Виктории Современные системы физической культуры ученицы 10Акласса Сизенко Виктории 190
Интересный факт Интересный факт 162
Дефицит импорта некоторых вин и коньяков из-за нового закона об их Дефицит импорта некоторых вин и коньяков из-за нового закона об их 150

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика