Функции и их свойства y y = f( x ) 0 x

в соответствие число у, то говорят, что на этом множестве

задана функция у(х).

y = f(x)

При этом х называют независимой переменной или аргументом,
а у – зависимой переменной или функцией.

всех значений, которые может принимать ее аргумент.

Обозначается D(y)

Множество значений (или

область значений) функции – это множество всех значений переменной у.

Обозначается E(y)

помощью графика);
табличный (с помощью таблицы значений);
словесный

(правило задания функции описывается словами).

Способы задания функции:

Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких,

что х1 < x2, выполняется условие f(x1) < f(x2).

Функцию y = f(x) называют убывающей на множестве Х, если для любых двух элементов из этого множества, таких, что х1 < x2, выполняется условие f(x1) > f(x2).

(Функцию называют возрастающей, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции)

(Функцию называют убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции)

множестве Х, если существует число m, такое, что для любого

значения х ∊ Х, выполняется неравенство
f(x) > m.

Функцию y = f(x) называют ограниченной сверху на множестве Х, если существует число M, такое, что для любого значения х ∊ Х, выполняется неравенство
f(x) < M.

Если функция ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной

функции y = f(x) на множестве Х, если:
существует число хо

∊ Х такое, что f(хo) = m;
для любого значения х ∊ Х выполняется неравенство
f(x) ≥ f(xo).

Число М называют наибольшим значением функции y = f(x) на множестве Х, если:
существует число хо ∊ Х такое, что f(хo) = М;
для любого значения х ∊ Х выполняется неравенство
f(x) ≤ f(xo).

Х называют четной, если для любого значения х из множества

Х выполняется равенство f(-x) = f(x).

Функцию y = f(x), х ∊ Х называют нечетной, если для любого значения х из множества Х выполняется равенство f(–x) = – f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек

которой (кроме самой точки хо) выполняется неравенство
f(x) < f(xo).

Точку хо называют точкой минимума функции y = f(x), если у этой точки существует окрестность, для всех точек которой (кроме самой точки хо) выполняется неравенство
f(x) > f(xo).

Точки максимума и минимума объединяют общим названием – точки экстремума

Х имеет период Т, если для любого х ∊ Х

выполняется равенство
f(x – Т) = f(x) = f(x + T).

Функцию, имеющую отличный от нуля период называют периодической.

Если функция y = f(x), х ∊ Х имеет период Т, то любое число, кратное Т (т.е. число вида kT, k ∊ Z), также является ее периодом.

у(х)), абсциссы которых равны значениям независимой переменной из области определения

этой функции, а ординаты – соответствующим значениям функции.

x (абсцисса)

(ордината) y

y = f(x)

0

= (–; +).
E(f) = (–; +).
Если b = 0,

то функция нечетная.
а) Нули функции: (– b/k; 0);
б) точка пересечения с Оу: (0; b).
а) возрастает, если k > 0;
б) убывает, если k < 0.
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на множестве (–; +).

+).
E(f) = (–; 0)  (0; +).
Функция нечетная.
а) Нули функции:

нет;
б) точка пересечения с Оу: нет.
а) если k < 0, то (–; 0) и (0; +) – промежутки возрастания функции;
б) если k > 0, то (–; 0) и (0; +) – промежутки убывания функции.
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на каждом из промежутков
(–; 0) и (0; +).

Обратная пропорциональность

(–; +).
E(f) = [0; +).
Функция четная.
а) Нули функции: (0; 0);

б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
а) [0; +) – промежуток возрастания функции;
б) (–; 0] – промежуток убывания функции.
Ограничена снизу, не ограничена сверху.
а) унаим. = 0;
б) унаиб. – не существует.
Непрерывна на множестве (–; +).
Выпукла вниз.

Квадратичная функция y=kx2

(–; +).
E(f) = (–; 0].
Функция четная.
а) Нули функции: (0; 0);

б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
а) [0; +) – промежуток убывания функции;
б) (–; 0] – промежуток возрастания функции.
Ограничена сверху, не ограничена снизу.
а) унаиб. = 0;
б) унаим. – не существует.
Непрерывна на множестве (–; +).
Выпукла вверх.

Квадратичная функция y=kx2

ни нечетная.
а) Нули функции: (0; 0);
б) точка

пересечения с Оу: (0; 0).
[0; +) – промежуток возрастания функции.
Ограничена снизу, не ограничена сверху.
а) унаим. = 0;
б) унаиб. – не существует.
Непрерывна на множестве [0; +).
Выпукла вверх.

(–; +).
Функция нечетная.
а) Нули функции: (0; 0);

б) точка пересечения с Оу: (0; 0).
Возрастает на множестве (–; +).
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на множестве (–; +).

Кубическая функция y=x3

ни нечетная.
а) Нули функции: (0; 0);
б) точка

пересечения с Оу: (0; 0).
[0; +) – промежуток возрастания функции.
Ограничена снизу, не ограничена сверху.
а) унаим. = 0;
б) унаиб. – не существует.
Непрерывна на множестве [0; +).
Выпукла вверх.

функции: (0; 0);
б) точка пересечения с Оу:

(0; 0).
Возрастает на множестве (–; +).
Не ограничена ни снизу, ни сверху.
Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Функция непрерывна на множестве (–; +).