Харьковский национальный университет им В.Н.Каразина

исходу. Овидий






Кафедра теплофизики и молекулярной физики

1974. – 480с.
Курс высшей математики, Смирнов В.И., 2-й т., М.,

Наука, 1974. – 656с.
Введение в математические основы САПР: Д. М. Ушаков — Санкт-Петербург, ДМК Пресс, 2012 г.- 208 с.
Введение в современные САПР: Владимир Малюх — Москва, ДМК Пресс, 2014 г.- 192 с.
Любые книги по Solid Works

геометрических объектов и ее характеристики.
Вариационный геометрический решатель.
Способы алгебраического моделирования геометрической

задачи.
Решение систем уравнений.

координаты и
размеры ее элементов.

Параметрические геометрические модели - размеры

и
положение каждого примитива или конструктивного
элемента могут быть изменены.

Преимущество: возможность быстрого получения по
существующей модели изделия его модификации.

модификация
параметров реализуется путем полного или частичного
повторения операций, хранящихся

в дереве построения,
с новыми значениями параметров.

Constructive Solid Geometry –
построение новых объектов путем
операций объединения,
пересечение и вычитания более
простых объектов (при этом эти
объекты считаются
сплошными, а не только границей).

ребер и
граней геометрической модели логическим или параметрическим
отношением.

Примеры

ограничений:
инцидентность точки и кривой,
касание кривой и поверхности,
параллельность двух прямых,
расстояние между двумя точками,
угол между плоскостями и др.

Ограничение - декларативная (а не конструктивная)
конструкция - оно не задает никакой процедуры расположения
одного геометрического элемента относительно другого.

называется вариационной.

Традиционный набор параметров геометрической модели –
размеры и

координаты конструктивных элементов

Дополнительный набор - параметры ограничений -
величины длин и углов.

Для удовлетворения ограничениям вариационной модели
используются специальные символьные и численные
алгоритмы.

эскизов;
создание трехмерных сборок.

Эскиз (sketch) - основа для создания большинства

конструктивных элементов в системах твердотельного
моделирования.

При проектировании механизмов (сборок) – задаются
ограничения на взаимное расположение деталей сборки –
ограничения сборки.

объектов ( задача
удовлетворения геометрическим ограничениям) на
плоскости (2D) или

в пространстве (3D) задается:

набором объектов (каждый объект характеризуется своим типом и начальными значениями параметров);
набором логических и параметрических ограничений (для параметрических ограничений задаются требуемые значения параметров).

окружности, эллипсы и
параметрические кривые.
Для трехмерных задач - плюс плоскости,

аналитические
и параметрические поверхности.

Параметры объектов: координаты и размеры.
Пример.
Для двумерного эллипса являются координаты его
центра, направление главной полуоси и радиусы
полуосей
Для эллипсоида необходимо также задать направление
нормали плоскости эллипса.

параметрическое
ограничение расстояния задаются между двумя любыми
объектами (однотипными или

разнотипными).

Ограничения параллельности, касания и заданного угла
могут задаваться только между направленными объектами.

Направленные - все объекты кроме точки, окружности и
сферы.

абсолютная и
относительная фиксация.

Абсолютная фиксация запрещает изменение положения
или ориентации

объекта в пространстве задачи.

Относительная фиксация группирует несколько объектов
между собой, запрещая им менять относительные
расстояния и углы (жесткие множества).

такое определение
параметров ее объектов, которое удовлетворяет всем заданным
ограничениям.

Любая геометрическая задача или ее часть может иметь
конечное число решений;
бесконечное число решений;
не иметь решений вообще.

Задача без решений называется переопределенной.
Задача с конечным множеством решений называется хорошо
определенной
Задача с бесконечным множеством решений –
недоопределенной

удаление ограничения не приводит к появлению новых
решений задачи, такое ограничение

называется избыточным.

Сингулярность - свойство не структурное (синтаксическое),
но численное - бесконечно малое изменение параметра (или
группы параметров) ведет к изменению структуры
пространства ее решений.

вариационном моделировании, называется
геометрическим решателем.
Функции решателя геометрической задачи:
размещение геометрических объектов

в соответствии с заданными ограничениями;
диагностика пере-, недо- и хорошо определенных частей задачи, а также расчет степеней свободы геометрических объектов;
динамическое перемещение геометрических объектов в соответствии с наложенными ограничениями;
автоматическое наложение минимального набора ограничений.

-
разработка D-Cubed - дочерняя компания Siemens PLM
Software. Имеет

две версии - 2D и 3D.

Решатель LGS (LEDAS Geometric Solver) –
производство российской компании ЛЕДАС.
Имеет две версии (2D и 3D) и различные конфигурации

моделирование.

вещественных координат, которые полностью описывают его положение на плоскости или

в пространстве;
каждое ограничение представляется одним или несколькими уравнениями.
Пример. Ограничение расстояния между точками
P1(x1, y1), P2(x2, y2):
(x1-x2)2+(y1-y2)2-d2=0,
где d – параметр ограничения расстояния.

пропорционально числу геометрических объектов;
количество уравнений прямо пропорциональным числу ограничений.

Недостаток: для одной и той же задачи в разных системах
координат могут быть получены разные решения

объектом не абсолютных, а относительных координат.
Преимущество: количество относительных координат
можно существенно

сократить.

Пример. Положение точки, инцидентной некоторой прямой, можно
описать единственным вещественным параметром, задающим
позицию точки в системе координат прямой.

Вывод:
экономия двух переменных;
нет необходимости в генерации двух лишних уравнений для ограничений инцидентности точки и прямой

пространства и метрического тензора.

Элементы трехмерного аффинного пространства – точки
и

вектора.

Метрические ограничения - длины и угла.

и векторов;
задается операцией откладывания точки от другой точки с помощью

вектора;
задается обратной операцией вычисления вектора, соединяющего две точки.
множество векторов должно образовывать евклидово пространство (линейное пространство со скалярным произведением).

–
квадратная симметрическая матрица, элементами
которой являются скалярные произведения (vi;

vj).

Свойства метрического тензора:
симметричность;
неотрицательность диагональных элементов (они равны квадратам длин векторов);
ранг, не превосходящий размерность пространства;
если сумма некоторых векторов равна нулю, то сумма соответствующих им элементов в любой строке (столбце) метрического тензора тоже равна нулю.

представляется в виде произведения его длины (она будет переменной алгебраической

задачи) и единичного вектора.
Из всего набора единичных векторов выбираются три (для 2D – два) базовых, углы между которыми зафиксированы.
Все остальные векторы выражаются через выбранный базис
v=v1e1+v2e2+v3e3.

добавить три (два для 2D)
неизвестных коэффициента, связанных уравнением


В

наборе векторов ищется независимый набор циклов векторов, сумма которых (некоторые из слагаемых, возможно, взяты с обратным знаком) равна нулю.
Для каждого цикла генерируются три (два в 2D) уравнения - сумма коэффициентов соответствующих векторов в разложении по базисному вектору равна нулю.

v – единичные вектора с углом α между ними.
Векторы с

разложением по базису (e1, e2, e3):
u=u1e1+u2e2+u3e3,
v=v1e1+v2e2+v3e3.
Тогда

u1v1+u2v2+u3v3=cos α .

ростом размера задачи.

Что делать? Применять символьные методы упрощения
систем уравнений:
Методы

подстановки;
Методы декомпозиции.

Традиционный метод решения систем нелинейных
уравнений – метод Ньютона-Рафсона – линейная
аппроксимация гладкой функции F: Rn —> Rm в
окрестности текущей точки х(k):
F(x) =F(х(k)) +JF(х(k))(x - х(k)),

JF(х(k)) – матрица Якоби функции F, вычисленная в точке х(k)