Информатика

Числа с плавающей запятой — один из возможных способов представления

действительных чисел, который является компромиссом между точностью и диапазоном принимаемых значений.
Число с плавающей запятой состоит из набора отдельных двоичных разрядов, условно разделенных на так называемые знак (англ. sign), порядок (англ. exponent) и мантиссу (англ. mantis).
В наиболее распространённом формате (стандарт IEEE 754) число с плавающей запятой представляется в виде набора битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа (0 — если число положительное, 1— если число отрицательное).
При этом порядок записывается как целое число в коде со сдвигом, а мантисса — в нормализованном виде, своей дробной частью в двоичной системе счисления.

Представление вещественных чисел

точкой. Порядок и мантисса — целые числа, которые вместе со

знаком дают представление числа с плавающей запятой в следующем виде:

Представление вещественных чисел

где S — знак, B— основание, P— порядок, а M— мантисса.

(-1)S*M*BP

точкой, когда целая и вещественная части хранятся отдельно.
Например, на

целую часть отводится всегда X бит и на дробную отводится всегда Y бит.
Такой способ в архитектурах процессоров не присутствует. Отдаётся предпочтение числам с плавающей запятой, как компромиссу между диапазоном допустимых значений и точностью.

Представление вещественных чисел

такая форма, в которой мантисса (без учёта знака) в десятичной

системе находится на полуинтервале [0,1).
Такая форма записи имеет недостаток: некоторые числа записываются неоднозначно, поэтому распространена также другая форма записи — нормализованная (англ. normalized), в которой мантисса десятичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 10 (не включительно), а мантисса двоичного числа принимает значения от 1 (включительно) до 2 (не включительно).

Нормальная форма

находится ровно один знак.
В такой форме любое число записывается

единственным образом.
Так как старший двоичный разряд (целая часть) мантиссы вещественного числа в нормализованном виде всегда равен «1», то его можно не записывать, сэкономив таким образом один бит, что и используется в стандарте IEEE 754.
В позиционных системах счисления с основанием большим, чем 2 (в троичной, четверичной и др.), этого замечательного свойства нет (ведь целая часть там может быть не только единицей).

Представление вещественных чисел

double 3.4E–4932 … 3.4E+4932 10

Представление вещественных чисел

Поэтому для его представления зарезервированы специальные значения мантиссы и порядка

— число считается нулём, если все его биты, кроме знакового, равны нулю.
При этом в зависимости от значения бита знака ноль может быть как положительным, так и отрицательным.

Число 0

является результатом арифметических операций, если во время их выполнения произошла

ошибка (примеры см. ниже).
В IEEE 754 NaN представлен как число, в котором все двоичные разряды порядка — единицы, а мантисса не нулевая.
Любая операция с NaN возвращает NaN. При желании в мантиссу можно записывать информацию, которую программа сможет интерпретировать. Стандартом это не оговорено и мантисса чаще всего игнорируется.

Неопределенность (NaN)

близкий к правильному результат вычисления в случае переполнения.
Согласно стандарту

IEEE 754 число с плавающей запятой считается равным бесконечности, если все двоичные разряды его порядка — единицы, а мантисса равна нулю.
Знак бесконечности определяется знаковым битом числа.

Бесконечности

необходимо перемножить их мантиссы, сложить порядки, округлить и нормализовать полученное

число.
Соответственно, чтобы произвести деление нужно разделить мантиссу делимого на мантиссу делителя и вычесть из порядка делимого порядок делителя. Затем точно так же округлить мантиссу результата и привести его к нормализованной форме.

Умножение и деление

в приведении их к одному порядку.
Сначала выбирается оптимальный порядок,

затем мантиссы обоих чисел представляются в соответствии с новым порядком, затем над ними производится сложение/вычитание, мантисса результата округляется и, если нужно, результат приводится к нормализированной форме.

Сложение и вычитание