Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Избранные вопросы теории многогранников Ростов-на-Дону 2010г
Содержание
- 1. Избранные вопросы теории многогранников Ростов-на-Дону 2010г
- 2. Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, —
- 3. Многогранники в природе (кристаллы и вирусы)
- 4. Икосаэдро-додекаэдрическая структура Земли В земной коре как
- 5. Многогранники в искусстве
- 6. Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX
- 7. Вклад ученых в теорию многогранниковПлатон (427–347 до
- 8. Архимедовы тела Существует семейство тел, родственных Платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники
- 9. Кеплер Иоганн (1571-1630г) – немецкий астроном В
- 10. Виды выпуклых многогранниковТетраэдр Октаэдр Гексаэдр (куб)
- 11. Икосаэдр Додекаэдр Икосододекаэдр
- 12. Виды невыпуклых многогранниковЗвёздчатый октаэдр Большой додекаэдр Соединение пяти октаэдров
- 13. Теорема Эйлера для простых многогранников
- 14. Теорема Рассмотрим два известных многогранника: тетраэдр
- 15. В последнем столбце таблицы вычисляется
- 16. Доказательство теоремы Эйлера Пусть ∑ -
- 17. Вырежем из поверхности сферы S0
- 18. Ребро АВ и грань α
- 19. Теорема Эйлера.Общий случай
- 20. Обобщенная теорема Эйлера∑ - произвольная поверхность, L
- 21. Возникают интересные вопросы:Зависит ли величина ЭL(∑) от
- 22. Ответ на первый вопрос: Не зависит.
- 23. Ответ на второй вопрос: Поверхности с
- 24. Следствие из теоремы Эйлера Если все
- 25. Спасибо за внимание
- 26. Скачать презентанцию
Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии. Л. А. Люстерник
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных
глав геометрии.
Л. А. Люстерник
Слайд 4Икосаэдро-додекаэдрическая структура Земли
В земной коре как бы проступают проекции
вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62
их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления.
Слайд 6Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются графические
фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972)
Голландский художник, родившийся в Леувардене.
Слайд 7Вклад ученых в теорию многогранников
Платон (427–347 до н.э.)
Одним из
существенных черт его учения является рассмотрение идеальных объектов - абстракций.
куб
тетраэдр
октаэдр
додекаэдр
икосаэдр
Слайд 8Архимедовы тела
Существует семейство тел, родственных Платоновым - это полуправильные
выпуклые многогранники
Слайд 9Кеплер Иоганн (1571-1630г) – немецкий астроном
В 1596 году Кеплер
предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а
в нее вписывается икосаэдр
Слайд 12Виды невыпуклых многогранников
Звёздчатый октаэдр
Большой додекаэдр
Соединение пяти
октаэдров
Слайд 14Теорема
Рассмотрим два известных многогранника: тетраэдр и куб. Обозначим:
В – вершины многогранника, Р – ребра, Г – грани.
Составим следующую таблицу:
Слайд 15 В последнем столбце таблицы вычисляется величина Э, которая
равна В + Г – Р. Таким образом, имеет место
равенство:В + Г – Р = 2.
Оно называется формулой Эйлера для многогранников.
Слайд 16Доказательство теоремы Эйлера
Пусть ∑ - поверхность простого многогранника,
В(∑), Г(∑) и Р(∑). Тогда Э(∑) = В(∑) + Г(∑)
- Р(∑). Доказать, что Э(∑) = 2.Введем обозначения S0 – поверхность некоторой сферы; L0 – криволинейная сетка; Р(S0), Г(S0), В(S0) – ребра, грани и вершины поверхности S0.
Э(S0)=Г(S0)+ В(S0)- Р(S0)= Э(∑)
Слайд 17 Вырежем из поверхности сферы S0 одну грань и
гомеоморфно деформируем полученную сферу в плоскую область (рис.
1,а). Вследствие деформации сферы сетка L0 на S0 трансформируется в некоторую сетку L1 на ∑1. ТогдаЭ(∑0)=Э(∑1)+1 (*)
Для нахождения Э(∑1) будем последовательно упрощать область ∑1, убирая ребра, грани и вершины так, чтобы на каждом этапе величина Э=В+Г-Р не менялась.
Слайд 18 Ребро АВ и грань α принадлежит поверхности ∑1.
Для ∑2 выполняется Э(∑2)=Э(∑1). Далее удалим из ∑2 ребро АС
и грань β (рис. 1,б). Для ∑3 выполняется Э(∑3)=Э(∑2). После k-го шага придем к области ∑k+1, являющейся многоугольником. Поэтому Э(∑k+1)=1. значит,Э(∑1)= Э(∑k+1)=1
и в силу (*) Э(∑0)=2
Слайд 20Обобщенная теорема Эйлера
∑ - произвольная поверхность, L – криволинейная сетка.
Пусть ВL(∑), ГL(∑) и РL(∑) суть числа вершин, граней и
ребер сетки L. Тогда ЭL(∑)= ВL(∑)+ ГL(∑)-РL(∑).
Слайд 21Возникают интересные вопросы:
Зависит ли величина ЭL(∑) от выбора сетки L;
Будут
ли все поверхности ∑ с одним и тем же значением
Э(∑) гомеоморфны друг другу.
Слайд 22Ответ на первый вопрос:
Не зависит. ЭL(∑) определяется ∑
и, значит, ЭL(∑)= Э(∑).
Рассмотрим произвольные сетки L1 и
L2, L3 получается наложением сеток L1 и L2 друг на друга. Тогда, рассматривая сетку L3 как произошедшую из L1 и аккуратно подсчитывая образованные грани, ребра и вершины, получаем 
Слайд 23Ответ на второй вопрос:
Поверхности с одним и тем
же значением Э(∑) гомеоморфны друг другу. Поверхности с различными значениями
Э(∑) не могут быть гомеоморфны друг другу, так как при гомеоморфных отображениях величин Э(∑) сохраняется.
Слайд 24Следствие из теоремы Эйлера
Если все грани выпуклого многогранника
суть треугольники, причем в некоторых вершинах они сходятся по шесть,
а во всех остальных по пять граней, то вершин, в которых сходятся пять граней, будет ровно двенадцать.
