Кафедра Динамики полета и систем управления 20 20 г. Лекция 2. Уравнение

2020 г.

Лекция 2.
Уравнение Эйлера

О. Л. Старинова

Самарский государственный аэрокосмический университет

достигает при

слабого экстремума, если , такое что J(y)- J(y0) сохраняет знак при всех .

Функционал J(y), достигает при сильного экстремума, если , такое что J(y)- J(y0) сохраняет знак при всех .

А в точку В, против ветра за min время.
Ответ:

Кривая AB доставляет слабый min времeни движения.
Однако пилообразная траектории движения доставляют сильный, глобальный min

при достигал экстремума, необходимо, чтобы

его вариация (если она существует) обращалась в ноль (2.1)

Рассмотрим для определенности минимум:
(2.2)
для всех достаточно малых .
По определению вариации
(2.3)
Знак выражения (2.3) определяется знаком .
Но - линейный функционал, поэтому
. Тогда если
выражение (2.3) может быть, как положительным, так и отрицательным, т.е. экстремум в данном случае невозможен. Поэтому

изменением (вариацией) функции y(x) и её производной y’(x):

, (2.5)

Вычислим вариацию функционала как линейную часть его приращения. Для этого разложим F(x, y0+y0, y0+y) в ряд Тейлора в окрестности экстремальной функции y0 с удержанием только линейных членов, а затем проинтегрируем по частям:

функционала (2.4) заданы фиксированные граничные условия:

(2.7)

то задача называется простейшей задачей

вариационного исчисления.

формуле для первой вариации функционала (2.6) и граничным условиям (2.7),

экстремум функционала (2.4) достигается при выполнении следующих условий:

(2.8)

(2.9)

Уравнение (2.9) называется уравнением Эйлера.
Экстремалью называется интегральная кривая (решение) дифференциального уравнения Эйлера.
Все экстремали одной задачи образуют поле экстремалей.

Эйлера для этого функционала.





Соответствующее характеристическое уравнение и его корни:

экстремалей, показанное на рисунке.

выполнение граничных условий:



Определяем произвольные постоянные в MathCad:

частное решение уравнения Эйлера имеет вид:

(2.10)

Утверждение 1. Если подынтегральная функция
не зависит от y, то уравнение Эйлера примет вид:

или (2.11)

, ,

Согласно (2.11)



Т.е. , следовательно

постоянные, из граничных условий:

Окончательно получаем решение:

этом случае, по формуле (2.10)



Умножив это уравнение на

получим:






(2.12)

Время движения по кривой под действием силы тяжести имеет вид:



Подынтегральное

выражение не зависит от x. Поэтому уравнение Эйлера имеет вид (2.12).

порядка:


Решением которого, с учетом нулевых начальных условия, является параметрически

заданная кривая - брахостохнона:

Эйлера обращается в
алгебраическое уравнение, задающее одну кривую.



В этом случае в

решении нет произвольных постоянных и оно может не удовлетворять граничным условиям.

Поэтому, если граничные условия выполняются, то получена экстремаль, если нет, то нет и решений у данной вариационной задачи c заданными граничными условиями.

Эйлера.
Для своего варианта функционалов a), b), c) найти поле экстремалей

в виде функции с двумя произвольными постоянными.
Найти постоянные, обеспечивающие выполнение граничных условий. Построить экстремали, удовлетворяющие граничным условиям.
Вычислить значения функционалов на этих экстремалях и при небольшом изменении функции. Определить максимум или минимум доставляют функционалу найденные экстремали.
4. Оформить отчет.