Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность.

математики МАТЕМАТИКА_2сем Часть 2. Классическое определение вероятности. Геометрическая вероятность. Бодряков Владимир Юрьевич, д.ф.-м.н.,

проф. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru

Екатеринбург - 2013 - 2014

Алгебра и математический анализ. 11 кл.: Учеб. пособие для шк.

и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Мнемозина, 2001. – 288 с.
Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2003. – 383 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с.
Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. – 144 с.
http://http://wwwhttp://www.school.edu.ru
http://school-collection.edu.ru
Бунимович Е.А., Булычев В.А., Калманович В.В. Вероятность и статистика в школьном курсе математики (ИУМК). Методическое пособие для учителя. – М., 2008. – 139 с. – Режим доступа: http://school-collection.edu.rБунимович Е.А., Булычев В.А., Калманович В.В. Вероятность и статистика в школьном курсе математики (ИУМК). Методическое пособие для учителя. – М., 2008. – 139 с. – Режим доступа: http://school-collection.edu.ru
http://http://wwwhttp://www.http://www.fipihttp://www.fipi.ru

является изучение вероятностных закономерностей однородных случайных событий.
К основным понятиям ТВ

относятся испытание, событие, вероятность.
Определение: Под испытанием (синонимы: опыт, эксперимент) будем понимать любой процесс, происходящий вокруг нас при осуществлении некоторой совокупности условий S. Результаты испытаний называют событиями. Т.о., событие есть результат испытания.
Наблюдаемое множество событий можно подразделить на следующие три непересекающиеся типа (подмножества): достоверные, невозможные и случайные.
Определение: Достоверным называют событие, которое при данном испытании обязательно произойдет, если будет осуществлена необходимая совокупность условий S. Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет при совокупности условий S. Случайным называют событие, которое при условиях S может либо произойти, либо не произойти.

на несовместные и совместные.
Определение: Случайные события называются несовместными (взаимоисключающими), если

появление одного из них исключает появление других в том же испытании. Если появление одного событие не исключает появление другого в том же испытании, то события называют совместными.
Исключительно важную роль в ТВ играет понятие полной группы событий.
Определение: Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате испытания обязательно появится, но только одно, из них.
Исключительно важную роль в ТВ играет также понятие равновозможности (равновероятности) событий.
Определение. События называются равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
З а м е ч а н и е. Основанием для заключения о равновозможности событий могут служить соображения геометрической симметрии, физической однородности и т.п.

событием (или исходом), если оно «неразложимо» в данном испытании на

более простые события или такое «разложение» не имеет смысла в данной задаче.
Определение: Множество всех элементарных событий (исходов), связанных с данным опытом, называют пространством (множеством) элементарных событий, которое отождествляется с достоверным событием.
Пространство элементарных событий традиционно обозначают символом Ω = {ω1; ω2; …; ωn}, где ω1; ω2; …; ωn − элементарные события, составляющие в совокупности пространство элементарных событий Ω. Исходы ω1; ω2; …; ωn следует понимать как элементарные непересекающиеся подмножества множества Ω, играющего роль универсального множества.
Интересующее исследователя событие A ⊂ Ω можно рассматривать как m – элементное подмножество (m ≤ n) пространства (множества) элементарных исходов из Ω: A = {ωk1; ωk2; …; ωkm}.

– случайные события – как множества. Сопоставим некоторые теоретико-множественные понятия

с понятиями ТВ:

элементарных событий конечно:
Ω = {ω1; ω2; …; ωn},
где ω1;

ω2; …; ωn - элементарные события, составляющие в совокупности пространство элементарных событий Ω, имеют вероятности, соответственно, p1; p2; …; pn. В силу того, что событие Ω достоверно, его вероятность равна единице:
P(Ω) = P(ω1) + P(ω2) + … + P(ωn) = p1 + p2 + … + pn = 1.
Предположим, что в силу некоторых условий, вероятности всех элементарных событий ω1; ω2; …; ωn одинаковы и равны p: p1 = p2 = … = pn = p. В этом случае, P(Ω) = n⋅p = 1, откуда p = 1/n.
Пусть интересующему исследователя событию A ⊂ Ω отвечает m исходов (m ≤ n) из Ω: ωk1; ωk2; …; ωkm. Тогда вероятность события A равна (по определению):
P(A) = m/n.

необходимость в априорном предположении о равновероятности элементарных событий, составляющих пространство

элементарных событий Ω. Далеко не всегда такое предположение удается убедительно обосновать. В этом случае приходится прибегать к альтернативным способам определения вероятности.
Определение: Относительной частотой w(A) события A называют отношение числа испытаний m, в которых событие появилось, к числу n произведенных испытаний. Формально,
w(A) = m/n.
Длительные наблюдения показали, что при проведении достаточно большого числа вероятностных экспериментов в воспроизводимых условиях S относительная частота w(A) обнаруживает свойство устойчивости (стабилизации), стремясь к некоторому постоянному пределу.

Бюффона – Пирсона по бросанию монеты:




Определение: Число, около которого группируются

относительные частоты при увеличении числа испытаний, (формально при n → ∞) называют статистической вероятностью рассматриваемого события A:
P(A) = limw(A) = lim(m/n) при n → ∞.
З а м е ч а н и е. Для существования статистической вероятности события A требуется: (а) принципиальная возможность производить неограниченное число испытаний в воспроизводимых условиях S; (б) наблюдаемая устойчивость относительных частот w(A).

4-хзначном номере случайно выбранного в большом городе автомобиля сумма первых

двух цифр равна сумме двух последних.
Задача 2. Из 28 костей домино случайно выбираются две. Найти вероятность того, что из них можно составить цепочку согласно правилам игры.
Задача 3. В записанном телефонном номере три последние цифры стерлись. Найти вероятность того, что по крайней мере две из них совпадают.
Задача 4. Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0, 1, 2, случайно выбирается одна. Найти вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 4 единицы.
Задача 5. Из ящика, содержащего шары с номерами 1, 2, 3, 4 вынимают по одному все шары. Найти вероятность того, что хотя бы у одного шара порядковый номер совпадет с собственным.

расставлено 10 книг, среди которых находится трехтомник Фихтенгольца. Найти вероятность

того, что эти три тома стоят в порядке возрастания.
Задача 7. Колода из 36 карт хорошо перемешана. Найти вероятность того, что четыре туза расположены рядом.
Задача 8. В конверте среди 100 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлечены 10 карточек. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
Задача 9. В группе 13 студентов, среди которых 8 отличников. Наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди них 5 отличников.
Задача 10. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков является простым числом.

12 человек. Найти вероятность того, что дни рождения каждого из

них приходятся на разные месяцы года.
Задача 12. «Галилео и солдат». К Галилео Галилею пришел солдат и спросил, что в сумме выпадает чаще при бросании трех игральных костей: 9 очков или 10? Что ответил Галилей?
Задача 13. Две примерно равносильные футбольные команды A и B играют между собой в минитурнир из пяти игр. Победившей в турнире считается команда, первой набравшая 3 очка (ничьих нет). Оцените шансы на победу каждой из команд, если известно, что первую игру выиграла команда A.
Задача 14. «О безумной старухе». В 4-хместное купе поезда входят пассажиры с билетами. Первый занимает с равной вероятностью любое из четырех мест. Вошедший вторым занимает свое место, если оно свободно; в противном случае – с равной вероятностью любое из незанятых мест. Также поступает и третий пассажир. Какова вероятность того, что пассажир, вошедший четвертым, займет свое место?
Задача 15. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков делится на четыре.

0,389.
Задача 3. 7/25 = 0,28.
Задача 4. 13440/59049 ≈ 0,228.
Задача 5.

15/24 = 5/8 = 0,625.
Задача 6. 1/6 ≈ 0,167 (тома не обязательно стоят рядом).
Задача 7. 33/58905 = 1/1785 ≈ 0,00056.
Задача 8. 1/10 = 0,1.
Задача 9. 56/143 ≈ 0,392.
Задача 10. 15/36 = 5/12 = 0,417.

в рамках схемы с конечным числом исходов. Это подходит для

изучения вероятностных закономерностей поведения дискретных случайных величин (д.с.в.), однако, не годится для изучения непрерывных случайных величин (н.с.в.).
П р и м е р. Рассмотрим задачу, позволяющую понять схему перехода от классического определения вероятности к геометрической вероятности.


На отрезок AB длины L случайным образом брошена точка M с координатой x (0 ≤ x ≤ L). Найти вероятность того, что точка M(x) попадет в промежуток [L/2; 3L/4] (событие F).

A

B

0

L

L/2

3L/4

M(x)

ΔL

решении задачи будем предполагать что вероятность попадания точки равномерна по

всему отрезку, т.е. не зависит от места в пределах отрезка на которое попадет точка.
Разобьём данный отрезок длиной L на короткие участки длиной ΔL. Будем считать, что число таких участков
n = L/ΔL
велико, но конечно, и вероятность попасть на каждый из таких участков в пределах отрезка AB одна и та же. Иными словами, ситуация аналогична классической схеме с конечным числом равновероятных исходов. Вероятность попасть в промежуток [L/2; 3L/4] длиной 3L/4 − L/2 = L/4 пропорциональна числу m покрывающих промежутков, т.е.
m = (L/4)/ΔL .
Вероятность события F равна:
P(F) = m/n = (L/4)/L = 1/4.
Ответ: P(F) = 1/4.

(или их систем), заметив, что длины отрезков, стоящих в числителе

и знаменателе выражения для P(F) есть не что иное как меры соответствующих линейных множеств Ω = [0; L] и F = [L/2; 3L/4].
Определение: Пусть интересующему исследователя событию F ⊂ Ω отвечает попадание точки в область F − подмножество пространства всех возможных исходов Ω. Тогда геометрическая вероятность события F равна (по определению):
P(F) = μ(F)/μ(Ω),
где μ(F) и μ(Ω) − меры множеств F и Ω, соответственно.
Мера множества это:
Длина промежутка − для линейных множеств;
Площадь фигуры − для множеств на плоскости;
Объем тела − для множеств в пространстве.

наудачу выбраны две точки K и M. Найти вероятность того,

что точка K будет ближе к M, чем к точке А.
Задача 17. В круге радиуса R наудачу проведена хорда. Найти вероятность того, что длина хорды не более R.
Задача 18. На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?
Задача 19. На плоскость, уложенную равносторонними треугольными плитками со стороной 12 см уронили монету радиусом 1 см. Какова вероятность того, что монета не пересечет ни одну из стыковых линий?.
Задача 20. Два парохода должны подойти к одному причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ждать освобождения причала, если время стоянки одного – 1 час, а другого – 2 часа.

образом выбраны две точки A и B. Найти вероятность того,

что площадь большего из полученных секторов превышает площадь меньшего, но не более чем в 3 раза.
Задача 22. Задуманы два действительных неотрицательных числа, меньшие 10. Найти вероятность того, что их сумма не меньше 10, а сумма их квадратов не больше 100?
Задача 23. В интервале времени [0; T] в случайный момент t1 появляется сигнал длительности Δt1. Приемник включается в случайный момент t2 ∈ [0; Т] на время Δt2. Найти вероятность обнаружения сигнала.
Задача 24. Пассажир может воспользоваться трамваями двух маршрутов, следующих с интервалами 5 и 7 мин. Найти вероятность того, что придя на остановку в случайный момент времени, пассажир будет ждать не дольше 2-х минут.
Задача 25. Палочка длиной 20 см случайным образом ломается в двух местах. Какова вероятность того, что из трех полученных кусочков можно будет составить треугольник?.

брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного

в круг правильного треугольника.
Задача 27. Два лица могут прийти к месту встречи равновозможно в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.
Задача 28. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность того, что произведение x⋅y будет не больше единицы, а частное y/x не больше двух.
Задача 29. В детектор поступают короткие сигналы от двух независимых устройств, равновозможные в любой момент промежутка времени T. Сигналы воспринимаются детектором как различные, если промежуток времени между их поступлением превышает время τ. Найти вероятность того, что детектор различит поступившие сигналы.
Задача 30. На окружности случайным образом проведена хорда. Найти вероятность того, что площадь большего сегмента превышает площадь меньшего по крайней мере вдвое.

0,333.
Задача 18. 1/4 = 0,25.
Задача 19. (1 − √3/6)2 ≈

0,506.
Задача 20. 69,5/576 ≈ 0,121.
Задача 21. 1/2 = 0,5.
Задача 22. (π – 2)/4 ≈ 0,285.
Задача 23. [½(T−Δt1)2 + ½(T−Δt2)2 ]/T2.
Задача 24. 16/25 = 0,64.
Задача 25. 1/4 = 0,25.