Комбинаторика

в соответствии с данными условиями.
Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова

«combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход немецким философом, математиком Лейбницем, который в 1666 году опубликовал свой труд «Рассуждения о комбинаторном искусстве».

веке. В жизни привилегированных слоев общества большое место занимали азартные

игры.
В карты и кости выигрывались и проигрывались золото, бриллианты, дворцы и имения. Широко были распространены всевозможные лотереи.

Поэтому первые комбинаторные задачи касались азартных игр

Б. Паскаль

П.Ферма

Вероятности различных случайных событий в ряде азартных игр вычислили французские математики
17 века Пьер Ферма и Блез Паскаль. Они использовали метод, который был назван комбинаторным анализом или комбинаторикой.

Комбинаторика – это искусство подсчета числа различных комбинаций, соединений, сочетаний, перестановок тех или иных элементов некоторых множеств

стороны в поисках Змея Горыныча?
Четыре стороны фиксированы – юг, север,
запад,

восток или 1, 2, 3, 4. Порядок расхождения по ним задает нумерацию четырех богатырей числами 1, 2, 3, 4.
Таких нумераций имеется 4! = 24

P4 =

Задача

них два элемента , учитывая их порядок, то такой выбор

можно произвести n(n – 1) способами

Определение 3

Число всех выборов k элементов из n данных с учетом их порядка обозначают И называют числом размещений из n элементов по k . Число всех выборов k

трех видов ягод
n=3, k=2
Решение:
Ответ: из двух видов ягод по

2 можно составить 3 сочетания

Задача

12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и

трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение:

Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:

Необходимо вычислить .

Применив равенство , упростим вычисления:

Решение:

Задачи

на танец?
Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и

ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:

Ответ: 360 способами

Задачи

треугольника Паскаля (пользуясь операцией сложения).
Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в

том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше.

Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:

Треугольника Паскаля

событием


Событие, которое может произойти, а может и не

произойти, называется случайным событием

Закономерности случайных событий изучает специальный раздел математики, который называется –
теорией вероятностей

количеств N (А) тех исходов испытания, при которых
произойдёт событие

А;

Найти частное ; оно и будет равно вероятности события А

Найти число N всех возможных исходов данного испытания;

Вероятность события А принято обозначать P(А)

P(А) =

Классическая вероятностная схема

определенных человека будут сидеть рядом. Тогда число всевозможных исходов
Ответ:

Буквы т м

Число благоприятных исходов

Задача. Семь пчел вылетели из улья. Какова вероятность того, что две определенных пчелы будут лететь рядом?

числа тех исходов, в результате которых наступает событие А, к

общему числу ( равновозможных между собой) исходов этого испытания.

классическое определение вероятности

Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет:
а) одно очко; б) более 3 очков?

а) Р=

б) больше трех очков,
т.е. 4, 5, 6. значит

Р=

множество В состоит из k элементов, а пересечение А ∩

В
Состоит из m элементов, то объединение А U В состоит
Из (n+k-m) элементов

Определение

Суммой событий A и B называется событие, которое наступает в том и только в том случае, когда происходит или событие А, или событие В. Обозначение : A + B.

Произведением двух событий A и B называется событие, которое наступает в том и только в том случае, когда одновременно происходят и событие А, и событие В. Обозначение : АВ.

Событием, противоположным событию A, называется событие, обозначаемое A и состоящее в том, что в результате опыта событие A не наступит.

сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность произведения этих событий.

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Следствие 1

P(A + B) = P(A) + P(B).

Следствие 2

Вероятность суммы конечного числа попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Вероятность вытащить красный мяч



Вероятность вытащить зеленый мяч

Вероятность вытащить коричневый мяч



Т.к. эти три события несовместны, то пользуясь теоремой сложения вероятностей определим вероятность того, что мяч окажется цветным (не белым):

Задача. В ящике лежат мячи: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один мяч. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что мяч окажется цветным (не белым) ?

событие В – попадание второго стрелка, событие С – попадание

хотя бы одного из стрелков.
Тогда, очевидно: С = А + В. Поскольку события А и В совместны, то по теореме сложения вероятностей имеем:
P(C) = P(A)+ P(B)− P(AB)

а, учитывая независимость событий А и В, получаем
P(C) = P(A)+ P(B)− P(A)P(B) .
Подставляя из условия задачи, что
P(А) = 0,8, P(B) = 0,6, получаем:

P(C) = 0,8 + 0,6 – 0,8 0,6 = 0,92.

Задача Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0,8, а для
второго – 0,6. Стрелки независимо друг от друга сделают по одному выстрелу
Какова вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один из стрелков?

Решение.

3
Р(А) + Р(А) = 1
Следствие 4
Следствие 5
Для нахождения вероятности противоположного

события следует из единицы вычесть вероятность самого события

Если из единицы вычесть вероятность противоположного события, то получится вероятность самого события

Р(А) = 1 – Р(А)

Р(А) = 1 – Р(А)

и пусть это испытание независимым образом
повторяют n раз. Тогда:
Вероятность

того, что событие А наступит в каждом
из n повторений, равна p n степень;
2) Вероятность того , что событие А наступит хотя бы в
одном из n повторений, равна 1 – (1 – p)n степ