Комплексные числа

Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Действительная и мнимая часть,

модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексных чисел. Арифметические действия над комплексными числами в разных формах записи. Комплексно сопряженные числа. Возведение в натуральную степень (формула Муавра). Основная теорема алгебры.

чисел

А·Х + В=0 (А≠0) –

разрешимы на
множестве рац.чисел
Х²=2 или Х³=5 - корни - иррациональные
числа

Х+5=2

действительных корней нет

, что
i²=-1



А + В· i
ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

что i²= -1
А – действительная часть
В – мнимая часть
i

– мнимая единица

А + В· i

= Z
Комплексно сопряженные числа.
Z = A + B i=

cos φ + i Z sin φ =
= r (cos

φ+ i sin φ)

Для Z=0 аргумент не определяется

cosφ+i

sinφ

Z1= r1 (cos φ1+ i sin φ1)
Z2= r2(cos φ2+ i

sin φ2)
Z1 ·Z2= r1r2[cos( φ1+ φ2)+isin ( φ1+ φ2)]

Произведение
(A+iB) · (C+iD)=
(AC-BD)+(AD+BC)i

φ)]²=
r² (cos2 φ+ i sin 2φ)
Z³= Z²·Z=[r

(cos φ+ i sin φ)]²·r (cos φ+
i sin φ)= r³ (cos3 φ+ i sin 3φ)

Формула Муавра

Для любого Z= r (cos φ+ i sin φ)≠0 и любого натурального числа n

(обозначается ), если

(*)
Из данного определения вытекает, что каждое решение уравнения
является корнем степени n из числа ω.

Z= r (cos φ+ i sin φ)

ω= ρ(cos ψ+ i sin ψ)

Вторая формула Муавра

алгебраическое уравнение степени n имеет в множестве комплексных чисел ровно

n-корней.

Теорема Гаусса: каждое алгебраическое уравнение имеет в множестве комплексных чисел по крайне мере один корень

Z1 +Z2
Z1 · Z2 = Z1 ·Z2
Z1 ·(Z2 + Z3

)= Z1 · Z2+ Z1 · Z3

(Z1 + Z2 )+Z3 = Z1 +(Z2+Z3)

(Z1 · Z2 ) · Z3 = Z1 ·(Z2 · Z3)

операция, обратная сложению:
Z+ Z2 +(- Z2 )= Z1 +(- Z2

)

Z= Z1 - Z2 –разность

Деление – операция, обратная умножению:

Z · Z2 = Z1

Разделив обе части на Z2 получим:

и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г,
Колмагоров А.Н., Абрамов, Дудицин/

Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г
НикольскийС.М., Потапов Н.К, и др. Алгебра и начала анализа 10-11кл, Просвещение 2005г