Концепция аналитического сигнал в радиотехнике

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №4

Факультет фундаментальной подготовки

Кафедра теоретических основ связи и радиотехники (ТОС и Р)
располагается на 6-м этаже
В аудиториях №607, №609, №611, 613.

Дисциплина
Радиотехнические цепи
и сигналы
Лектор:
Заведующий кафедрой
Шумаков Павел Петрович

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №4

Лекция № 4
Концепция аналитического сигнал в радиотехнике.

Учебные вопросы:
Свертка сигналов.
Квадратурный и cопряженный сигнал.
Аналитический сигнал и его спектр.
Преобразование Гильберта.

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №4

Литература:

Стр. 44..46; 47..50; 76..84.

Используя MathCAD , рассчитать и построить АКФ двумя способами:

1) по определению АКФ;
2) с использованием ОПФ от энергетического спектра ;

для импульсных сигналов:

Четные номера : треугольный и косинусоидальный .

Нечетные номера : пилообразный и SINC-образный (5).

«Теоретических основ связи и радиотехники»
РТЦ и С

Лекция #4

Сигнал на выходе линейной системы

ЛС
(фильтр)

δ(t)

g(t)

s(t)

y(t)=s(t) g(t)

ИМПУЛЬСНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

СВЕРТКА

ННУ

Частотная характеристика линейной системы

Вопрос 1. Свертка сигналов

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №4

Под сверткой понимается математическая операция , которая выполняется в соответствии со следующим алгоритмом:
Второй сигнал отображается зеркально симметрично.
Второй сигнал задерживается по времени от – ∞ до +∞ .
Для каждого времени задержки находится произведение с первым сигналом.
Результаты произведений , полученные при каждом времени задержки суммируются.

Свертка двух сигналов во временной и частотной области

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №4

Выполнение свертки в частотной области

X

s(t)

g(t)

S(jω)

G(jω)

y(t)

ППФ

ППФ

ОПФ

Если второй сигнал является зеркальной комплексно-сопряженной копией первого сигнала , то результатом свертки таких сигналов является АКФ сигнала.

Согласно свойства преобразования Фурье свертке во временной области соответствует перемножение спектров двух сигналов в частотной области.

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №4

Математический и Физический спектр непериодического сигнала

Сопоставим комплексную и амплитудно фазовую формы ОПФ
Учитывая чётность модуля S(ω) и нечётность фазы φ(ω), обратное преобразование Фурье можно записать следующим образом

№4
Вопрос 2. Квадратурный и сопряженный сигналы

Лекция №4




ОПФ
ОПФ
+w
-w
О
sc(t)
ss(t)

S(jw)
Сигнал, сопряженный с вещественным сигналом.
s(t)

квадратурное дополнение аналитического сигнала.

и сигналы. Лекция №4

мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием Гильберта.

Вещественный

сигнал и его квадратурное дополнение связаны преобразованием Гильберта
Преобразование Гильберта есть свертка сигнала и ядра 1/πt

№4
Реальная и мнимая части спектра произвольных каузальных сигналов связаны преобразованием

Гильберта.

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №5

Лекция № 5
Дискретные сигналы в радиотехнике.
Учебные вопросы:
Дискретизация аналогового сигнала.
Теорема Котельникова.
Дискретное преобразование Фурье. 

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №5

Литература:

Стр. 188..191; 192..197; 197..202.

Используя MathCAD , рассчитать и построить линейную и круговую свертку двух дискретных сигналов :

Четные номера : 5 и 13 значный код Баркера.

Нечетные номера : 7 и 11 значный код Баркера.

«Теоретических основ связи и радиотехники»
Шумаков П.П. Радиотехнические цепи и сигналы.

Лекция №5

Вопрос №1. Дискретизация аналогового сигнала

least significant bit (LSB)
Наименьший значащий бит

и сигналы. Лекция №5

Амплитудно-импульсная модуляция (АИМ)

сигналы. Лекция №5

Широтно-импульсная модуляция (ШИМ)

Время-импульсная модуляция (ВИМ)

№5
Дискретизированный сигнал – последовательность дельта-функций , взвешенных значениями дискретных отсчетов
Х
+
Решетчатая

функция отсчетов
- периодический сигнал

Лекция №5
Обобщенный ряд Фурье по системе базисных (ортогональных) функций Котельникова

Лекция №5
Восстановление аналогового сигнала по дискретным отсчетам.
Спектральная плотность базисных функций

Котельникова.

ППФ

и сигналы. Лекция №5
Восстановление аналогового сигнала по его дискретным отсчетам

ведется весовым суммированием базисных функций Котельникова имеющих вид SIN(x)/x.

Для получения базисных функций Котельникова необходимо радиотехническое устройство (фильтр) , которое в ответ на дискретный отсчет Sk выдает сигнал вида SIN(x)/Х.
Так как дискретный отсчет является эквивалентом дельта функции , то реакция на него будет являться импульсной характеристикой фильтра.
Следовательно восстанавливающий фильтр должен иметь импульсную характеристику вида SIN(x)/x.

преобразования Фурье , таким устройством должен быть низкочастотный фильтр с

идеальной (прямоугольной ) АЧХ и линейной ФЧХ, частота среза которого равна половине частоты дискретизации аналогового сигнала

Восстанавливающий фильтр

ППФ

Импульсная характеристика фильтра связана с его частотной характеристикой преобразованием Фурье.

функция отсчетов - периодический сигнал, который можно разложить в ряд

Фурье с коэффициентами:

Ряд Фурье для решетчатой функции отсчетов:

Новая модель дискретизированного сигнала

Фурье для дискретизированного сигнала
Спектр дискретизированного сигнала при правильном выборе интервала

дискретизации

при не правильном выборе интервала дискретизации

и сигналы. Лекция №5
Алиасинг — одна из главных проблем при аналого-цифровом

преобразовании видео- и аудиосигналов. Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные его составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени приводит к его искажениям. Для предотвращения этого эффекта частота дискретизации должна быть достаточно высокой и сигнал должен быть надлежащим образом отфильтрован перед оцифровкой.

Антиэлайзинговый
фильтр

АЦП

Аналоговый
сигнал

Цифровой
сигнал

Импульсы дискретизации

(свертка дискретных сигналов)
Длина первого N отсчетов, длина второго M отсчетов
Круговая

(циклическая )Дискретная свертка
Обе последовательности имеют одинаковую длину N отсчетов
Чтобы выровнять длину последовательностей их дополняют нулями до длины
M+N-1.

с помощью циклической свертки
Линейная свертка = дополнить сигналы нулями и

сделать циклическую свертку

можно поступить и при расчете линейной свертки через циклическую.
Рассмотрим пример.

Пусть  , а   . Прямое вычисление линейной свертки потребует   (12 миллионов) операций умножения и сложения.
Дополним каждую из последовательностей до 8192 отсчетов нулями и применим алгоритм БПФ с прореживание по времени, тогда на вычисление одного БПФ потребуется  операций комплексного умножения или 428000 операций действительного умножения. Таких блоков БПФ будет всего 3 штуки, плюс надо учесть 8192 комплексных умножений спектров, итого   , что почти в 7.5 раз ниже чем если бы мы считали линейную свертку в лоб

быть выполнена через ДПФ (БПФ) гораздо быстрее