Квантовые алгоритмы Монте-Карло. Проблема знака Проблема знака. Winding numbers. Связь фермионного знака и winding numbers

алгоритмы Монте-Карло. Проблема знака

от оператора физической величины необходимо суммировать отношение двух знакопеременных рядов;

при уменьшении температуры статистические ошибки получаемых при расчете величин сильно возрастают, а при некоторой низкой температуре вычисления становятся невозможны
Одним из источников проблемы знака является положительный знак матричных элементов возмущения
Проблема знака возникает также из-за антисимметрии фермионной волновой функции

заполнения
Траектории частиц могут пересекаться и накладываться друг на друга,

образуя многократное заполнение узлов
В выражениях для вероятностей переходов отсутствует проблема знака, что связано с симметрией бозонной волновой функции

неотрицательным числам заполнения – к фиктивным бозонам

XXZ-модель Гейзенберга с анизотропным

по одному из направлений взаимодействием:


Проблема знака для спиновых моделей Гейзенберга связана со знаком обменного интеграла при поперечной компоненте взаимодействия. Однако фундаментальные свойства основного состояния определяет параллельная компонента взаимодействия, матричные элементы которой диагональны

траектории частицы по координатной или временной оси – winding numbers

– всегда остается фиксированным
Конфигурации с ненулевыми winding numbers также имеют ненулевой вес
Выражения для сверхтекучей плотности связано с квадратичной флуктуацией числа закруток

любой системы траекторий, помимо знака, связанного со знаком матричных элементов

возмущения, имеет дополнительный знак, возникающий из-за антисимметрии волновой функции фермионов относительно перестановок частиц
Антисимметрия волновых функций и тождественность частиц в ферми-системах являются причиной стандартного антикоммутационного соотношения в представлении вторичного квантования:


При сквозной нумерации узлов в системе это приводит к известному выражению для матричных элементов операторов рождения и уничтожения:

от нумерации узлов и отражает исключительно топологию системы мировых линий
Полученные

результаты будут справедливы и для квантовых методов МК в непрерывном времени

разрывов траекторий:

Для одномерной периодической системы всегда реализуется W=1, поэтому в

этом случае нет фермионной проблемы знака
Конфигурации с двумя разрывами: