Лекция 1 4. Первообразная и неопределённый интеграл, основные свойства

следующую задачу: задана функция и требуется найти ее производную. Теперь

будем рассматривать обратную задачу: будем находить функцию по заданной ее производной.

функции f (x) на промежутке X, если  x 

X (F(x) = f (x)). Пример: y = x2. F1(x) = x3/3 F1(x) = (x3/3) = (1/3)(x3) = (1/3)3x2 = x2. F2(x) = x3/3 + 1 F3(x) = x3/3 – 5,5 И вообще: F(x) = x3/3 + с, где с = const при любом с будет первообразной.

первообразной функции f (x), то и любая функция вида F(x)

+ с тоже будет первообразной при любом с.
Возникает вопрос: а могут ли быть первообразные другого вида? Как показывает следующая теорема – нет.
Теорема (о первообразной). Пусть F(x) – первообразная функции f(x) на промежутке X, Ф(х) – какая-то другая функция. Ф(х) является первообразной f(x) на X тогда и только тогда, когда Ф(х) = F(x) + с, на Х, где с = const.

F(х)) = Ф(х) - F(х) = f(x) - f(x) =

0 xX,
таким образом, этой функции  0 на Х. По критерию постоянства заключаем, что
Ф(х) - F(х)  с на Х. Отсюда Ф(х) = F(x) + с на Х.
Достаточность. Пусть F(x) – первообразная функции f(x) и Ф(х) = F(x) + с, тогда
Ф(х) = [F(x) + с] = F(х) = f(x) и, стало быть, Ф(х) тоже производная на этом промежутке.
Ч.т.д.

вида F(x) + с, где с – произвольная постоянная (могущая

принимать любые вещественные значения), называется неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке.
Обозначается:  f (x)dx = F(x) + с.
При этом f(x) называют подынтегральной функцией, а f(x)dx – подынтегральным выражением.
Таким образом, неопределенный интеграл есть семейство функций, а именно – множество всех первообразных функции f(x).

+ c, (  -1)

= lnx + c,

axdx = + c,

exdx = ex + c,
sinxdx = -cosx + c,
cosxdx = sinx + c,

tgx + c,

=

- ctgx + c,

том, что производная правой части равна подынтегральной функции.
Докажем формулу 4.

=

lnx + c.

Требуется доказать: (lnx) = .

а) Пусть x > 0. Тогда: (lnx) = (lnx) = .

b) Пусть x < 0. Тогда: (lnx) = (ln(-x)) = .

(символы d и  взаимно уничтожаются).
Доказательство

d  f(x)dx = [

f(x)dx]dx = f(x)dx.
Ч.т.д.

от дифференциала функции равен этой функции + с. Таким образом,

символы  и d взаимно уничтожаются.

Доказательство

df(x) = f (x)dх = f(x) + c.
Ч.т.д.

0) - свойство однородности. Константу можно выносить за знак неопределенного

интеграла.
Доказательство
Достаточно убедиться в том, что производная левой части равна производной правой части (в этом случае и в левой и в правой частях будет одно и тоже семейство первообразных).
[af(x)dx] = аf(x) (по первому свойству).
[af(x)dx] = a [f(x)dx] = аf(x).
Ч.т.д.

(x)  g(x)]dx =  f (x)dx  g(x)dx.
Доказательство
Достаточно показать,

что производная левой части равна производной правой части (в этом случае и в левой и в правой частях будет одно и тоже семейство первообразных).
{[ f (x)  g(x)]} = f (x)  g(x).
[ f (x)dx  g(x)dx] = [f(x)dx]  [g(x)dx] =
= f (x)  g(x).
Ч.т.д.

2. Вычисление интегралов называ-ется интегрированием.

заключается в следующем:
 f (x)dх с помощью подстановки x =

(t)
приводят к другому, более простому для вычисления, то есть подбирают функцию
x = (t) так, чтобы
 f ((t))d(t) =  f ((t))(t)dt
был более простым для вычисления.

t = (х), тогда:
 f ((х))d(х) = F((х)) + c,
или
f

((х))(х)dх = F((х)) + c,
функции f, ,  считаем непрерывными.
Доказательство
Достаточно проверить, что:
[F((х))] = f ((х))(х)
Действительно,
Fx = Fttx =* f (t)(t) = f ((х))(х).
* справедливо так как по условию F() первообразная для f (х). Ч.т.д.

=
= t4/4 + с = (1/4)sin4x + с.
Замечание 3.

На шаге (*) мы осуществили так называемое внесение функции под знак дифференциала.
Пример 2.

= lnxdlnx = [lnx = t] = tdt =

= t2/2 + с = (1/2)ln2x + с.

а именно, можно написать, что:
 f (t)dtt = (x) =

 f ((x))(x)dx
Для удобства поменяем x и t местами:
 f (x)dxx = (t) =  f ((t))(t)dt
Будем предполагать, что существует обратная функция x = (t)  t = -1(x).
Таким образом, получим следующее:
 f (x)dx =  f ((t))(t)dtt = -1(x)

 f (x)dx с помощью подстановки x = (t) нужно

под знаком интеграла вместо x везде подставить (t) (в подынтегральной функции, а также вместо dx мы подставляем (t)dt).
Вычисляем полученный интеграл, зависящий от t. Ответ получаем в терминах переменной t. Чтобы получить окончательный результат, нужно перейти к прежней переменной x исходя из самой подстановки.

подстановки.
Метод подстановки – один из самых сильных методов интегрирования.

Пример 3.

(2х

+ 3)10dх = = (1/2)t10dt =



= (1/2)t11/11 + с = (1/22) (2х + 3)11 + с.

И внесением константы под знак дифференциала: