Лекция 11 § 11.1. Интегрирование функции комплексного переменного. Пусть на

задана кривая AB – ориентированная, незамкнутая, кусочно-гладкая, без самопересечений.
Задание кривой

z(t) эквивалентно следующему:

AB произвольным образом:

Найдем разности двух составляющих комплексного числа.

На каждом из

участков выберем произвольные точки

числе и на дуге AB определена комплексная функция f(z). Найдем

ее значения в точках:
и составим сумму вида: - это интегральная сумма.

дуги AB и выбора точек , то этот

предел называют интегралом по дуге AB и обозначают:

непрерывна на некоторой кривой L, которая является ориентируемой, кусочно-гладкой, незамкнутой,

тогда интеграл по дуге L от этой функции существует.
Доказательство
Рассмотрим интегральную сумму

число можно представить в виде

Перемножим эти выражения

(1)

в виде:

(2)

Перейдем к пределу в выражении (2), получим:

точке u и v (т.к задание f(z) равносильно заданию u

и v)
В правой части (3) – интегральные суммы для криволинейных интегралов 2 рода
Из непрерывности u и v следует, что существуют криволинейные интегралы 2 рода как предел своих интегральных сумм.

(3) существует и равен соответствующему криволинейному интегралу, то существует и

предел левой части (3) и можем записать

(4)


(4) может использоваться и для вычисления интегралов от ФКП.

различающиеся только ориентацией, то:



2)

3)

4)

М – действительное число
l –

длина дуги L

заменой переменной.

Пусть функция f(z) задана в некоторой односвязной

области D на комплексной плоскости.
Если существует функция F(z) в области D, такая что F(z) = f(z), то F(z) называется первообразной для функции f(z).

D, то для нее существует первообразная F(z), определенная на D,

которая задается формулой:



Замечание 1: В отличии от функции действительного переменного функцию комплексного переменного необходимо дифференцировать в замкнутой односвязной области для существования первообразной.

интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области =0,

то в этом случае первообразная так же существует.

Замечание 3: Две первообразные ФКП отличаются на константу.

z1, z0 произвольные точки D, а F(z) какая либо первообразная

для f(z), то



Теорема (интегрирование по частям)
Если f(z) и (z) дифференцируемы в односвязной области D, z1, z0 – точки, принадлежащие D, то

собой
параболу y=x2,
движение по AB
осуществляется
от A(1,1) к B(0,0).
Для ФКП, при

дифференцировании в области D, можно использовать таблицу интегралов:


и т.д.

i2xy

u v
тогда:

замкнутой области D, то интеграл от этой функции по любому

замкнутому контуру, лежащему в этой области = 0, то есть:


L - произвольный контур.
Доказательство.
Так как f(z) аналитична в области D, значит она дифференцируема в односвязной области D; из дифференцируемости следует существование интеграла в области D по любой кривой.

замкнутый контур, в области D, тогда

(1)

формула Грина

Из аналитичности f(z) следует дифференцируемость в области. Применим к криволинейному интегралу 2-го рода, стоящему в правой части (1) формулу Грина:

0

0



D* - область, лежащая внутри L
Из условий Коши-Римана имеем, что подынтегральное выражение = 0.
Значит интеграл от аналитической односвязной функции = 0 по любому замкнутому контуру.
Если область D не является односвязной теорему в этой формулировки применить нельзя