Лекция 14

индукции. Электронный механизм возникновения индукционного тока в металлах.
4.6. Примеры применения

закона электромагнитной индукции.
4.7. Явление самоиндукции. Индуктивность проводников.
4.8. Пример вычисления индуктивности. Индуктивность соленоида.
4.9. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих индуктивность. Экстратоки замыкания и размыкания.
4.10. Энергия магнитного поля. Плотность энергии.

индукции. Электронный механизм возникновения индукционного тока в металлах.
Явление электромагнитной индукции

было открыто в 1831г. Майклом Фарадеем (Faraday M., 1791-1867), установившим, что в любом замкнутом проводящем контуре при изменении потока магнитной индукции через поверхность, ограниченную этим контуром, возникает электрический ток, названный им индукционным. Величина индукционного тока не зависит от способа, которым вызывается изменение потока магнитной индукции ФВ, но определяется скоростью ее изменения, то есть значением dФВ/dt. При изменении знака dФВ/dt меняется также направление индукционного тока.
Э.Х.Ленц (1804-1865) установил правило, согласно которому индукционный ток в контуре всегда направлен так, что создаваемый им магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром,
стремится препятствовать тому изменению
магнитного потока, которое вызвало появление
этого тока.

Явление электромагнитной индукции свидетельствует о том, что при изменении магнитного

потока в контуре возникает ЭДС индукции εi , величина и направление которой зависят от скорости изменения этого потока. Проанализировав результаты опытов Фарадея, Максвелл (Maxwell J., 1831-1879) придал основному закону электромагнитной индукции следующий современный вид:


Знак «-» в этой формуле соответствует правилу Ленца и означает, что направление ЭДС εi и направление скорости изменения потока магнитной индукции dФВ/dt связаны между собой правилом левого винта. Подчеркнем, что говоря о «направлении» скалярных величин εi и dФВ/dt, нужно понимать этот термин в том же смысле, какой вкладывается, например, в понятие направления тока.
Поток индукции магнитного поля через поверхность S, ограниченную контуром проводника определяется выражением:

.

Единицей измерения потока магнитной индукции в СИ является вебер: 1Вб = Т∙м2. При скорости изменения потока индукции, равной 1Вб/с, в контуре индуцируется ЭДС, равная 1В.

.
Отсюда видно, что появление ЭДС индукции и соответственно индукционного тока в проводящем контуре может быть вызвано каждой из двух причин: 1) в неподвижном контуре – за счет изменения во времени индукции магнитного поля; 2) в движущемся проводнике – за счет пересечения силовых линий магнитного поля..
В первом случае изменяющееся со временем магнитное поле порождает вихревое электрическое поле , силовые линии которого замкнуты и сцеплены с силовыми линиями магнитного поля. Под действием поля носители заряда в проводнике приходят в движение – возникает индукционный ток.
Во втором случае находящиеся в проводнике носители заряда движутся вместе с проводником в магнитном поле, при этом на каждый из зарядов действует сила Лоренца , направление которой перпендикулярно векторам и . Под действием этой силы заряды приходят в движение, что и вызывает появление индукционного тока.

ток в проводнике направлен в сторону, противоположную движению электронов. Легко

видеть, что магнитное поле индукционного тока внутри замкнутого контура направлено против внешнего поля, что находится в полном соответствии с правилом Ленца. Очевидно, что мы получим тот же результат, если носителями тока будут положительные заряды (например, «дырки» в полупроводниках р - типа).

основного закона электромагнитной индукции Фарадея.
Движение проводника в однородном магнитном поле

2) Вращение проводника в однородном магнитном поле

первичной обмотке, через витки вторичной обмотки есть:

.
Полагая, что сила тока в первичной обмотке изменяется по закону , находим искомую ЭДС, наводимую во вторичной обмотке:

.
Амплитудное (максимальное) значение ЭДС равно:
.

1

2

его собственное магнитное поле также изменяется. Вместе с ним изменяется

и поток магнитной индукции, пронизывающий поверхность, охваченную контуром проводника. В результате в этом контуре индуцируется ЭДС. Это явление называется явлением самоиндукции.
В соответствии с законом Био-Савара-Лапласа индукция магнитного поля В пропорциональна силе тока I в проводнике. Отсюда следует, что поток магнитной индукции ФВ и сила тока I также пропорциональны друг другу:

Коэффициент пропорциональности L называют индуктивностью проводника. За единицу индуктивности в СИ принимают индуктивность такого проводника, у которого при силе тока 1А создается поток магнитной индукции, равный 1Вб. Эту единицу называют Генри, Гн.
Индуктивность проводника зависит от его формы и размеров, а также от магнитных свойств окружающей его среды (магнитной проницаемости μ). Заметим при этом, что линейная зависимость между ФВ и I остается справедливой и в том случае, когда μ зависит от напряженности магнитного поля Н, а значит, от I (например, ферромагнитная среда). В этом случае индуктивность L также зависит от I.

силы тока в проводнике, есть:

.
Или, записав , будем иметь:

.
В том случае, когда среда не является ферромагнитной L=const, тогда:


Последняя формула дает возможность определить индуктивность L как коэффициент пропорциональности между скоростью изменения силы тока в проводнике и возникающей вследствие этого ЭДС самоиндукции.

собой ток I и поток ФВ, индуктивность проводника определяется выражением:



Применим

эту формулу для расчета индуктивности прямого длинного соленоида. Имеем:



Поток магнитной индукции через один виток катушки ; через все N витков поток равен:
.
Поделив это выражение на I , находим искомую индуктивность соленоида:


где - число витков на единицу длины; V = SL - объем соленоида.
Если магнитная проницаемость μ сердечника зависит от H (силы тока I), что имеет место, когда сердечником соленоида является, например, железный или ферритовый стержень, то L будет зависеть от I. Это свойство индуктивности используют, в частности, в различных устройствах релейной защиты электрических цепей при токовых перегрузках.

и размыкания.
При всяком изменении силы тока в каком-либо контуре в

нем возникает ЭДС самоиндукции, которая вызывает появление в этом контуре дополнительных токов, называемых экстратоками. По правилу Ленца экстратоки, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменению тока, текущего в цепи. В схеме опыта, приведенной на рисунке, при замыкании ключа (положение 1) в катушке возникает экстраток замыкания, направление которого противоположно нарастающему току батареи. При этом часть экстратока замыкания ответвляется на батарею, а часть на гальванометр, где его направление совпадает с направлением тока батареи – гальванометр дает дополнительный отброс вправо.
При размыкании ключа (положение 2) магнитный поток в катушке начнет
исчезать. В ней возникнет экстраток размыкания, который будет препятствовать убыванию магнитного потока, то есть будет направлен в катушке в ту же сторону, что и убывающий ток. При этом экстраток размыкания теперь целиком проходит через гальванометр, где его направление противоположно направлению первоначального тока
– гальванометр дает отброс влево.

1 – замыкание ключа:

2 - размыкание ключа:

мгновенно, а постепенно. Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из источника ЭДС

ε, катушки индуктивности L и сопротивления R. При размыкании ключа в образующейся замкнутой цепи помимо ЭДС будет действовать ЭДС ε самоиндукции . По второму правилу Кирхгофа можем написать:
или в виде
.
Решением полученного дифференциального уравнения, полагая, что в начальный момент времени t = 0 ток отсутствовал I(0)=0, является функция:
,
где .
График этой функции приведен на рисунке (кривая 1). Видим, что установление тока в цепи происходит не мгновенно, а с некоторым запаздыванием. Характерное время называется временем ретардации (запаздывания, задержки).

1

2

сопротивление R (источник ЭДС ε при этом блокируется). Теперь в

цепи действует только ЭДС самоиндукции , и по закону Ома:
или в виде
.
Решением этого уравнения, считая, что в начальный момент времени t = 0 ток имел максимальное значение, равное I0, является функция:
.
График ее приведен на рисунке (кривая 2). Видим, что исчезновение тока в цепи происходит не мгновенно, но с запаздыванием.
Характерное время называется в этом случае временем релаксации (восстановления).

приведена на рисунке, после размыкания ключа через гальванометр некоторое время

течет убывающий ток. Работа этого тока равна работе сторонних сил, роль которых выполняет ЭДС самоиндукции , действующая в контуре. Пусть за время dt по цепи переносится заряд dq. Работа тока самоиндукции по перемещению этого заряда есть:
.
Проинтегрировав это выражение в пределах от I до 0, получим полную работу тока:
.
Совершение этой работы сопровождается исчезновением магнитного поля, которое первоначально существовало в соленоиде и окружающем его пространстве. Остается заключить, что магнитное поле является носителем той энергии, за счет которой производится работа тока, идущая на изменение внутренней энергии проводников – их нагревание. Таким образом, проводник, имеющий индуктивность L, обладает энергией
.

заменим индуктивность соленоида ее выражением

. Далее, замечая, что напряженность магнитного поля соленоида , приходим к формуле:

.
Полученному выражению для энергии магнитного поля можно придать другой вид, если учесть, что :


Плотность энергии магнитного поля получим, поделив это выражение на объем V, занятый полем:


Если магнитное поле неоднородно, то чтобы найти энергию поля в некотором объеме V , нужно вычислить интеграл:
.