ЛЕКЦИЯ 1 Соответствия между множествами. Отображения и их виды

В={b1, b2,...}. Тогда пары (ai, bj ) задают соответствие между

множествами А и В, если указано правило f, по которому для элемента ai множества А выбирается элемент bj из множества В.
Например, соответствие между элементами множеств и задает точечное множество (xi, yj ) координат точек на плоскости; русско-английский словарь устанавливает соответствие значений и написаний слов русского и английского языков.

е. f:A→B, состоит из пар вида (a; b), где
Для

некоторого элемента а множества А поставлен в соответствие некоторый элемент b из множества B, который называется образом элемента а и записывается b = f(a).

х1 образом является у1
Для элемента у2 прообразом является х2

В — множество
точек плоскости,
f

— соответствие
«парабола а имеет вершину в точке в»,
Тогда образ параболы f(a) — точка, являющаяся ее вершиной,
Прообраз точки b – это f-1(b), который состоит из всех парабол аi с вершиной в точке b

соответствия и обозначается f(A), если f(A) состоит из образов всех

элементов множества А. Запись:
Прообраз множества В при некотором соответствии f называют областью определения этого соответствия и обозначают f-1(B), т.е.
f-1 является обратным соответствием для f.

найдется один и только один

его образ из множества В.

Соответствие,
но не отображение

Отображение

(функции) одного множества на другое.

Функцией f , действующей из

множества X в множество Y (f: X Y) называется правило или закон, по которому каждому элементу xX ставится в соответствие один и только один элемент yY.

которое отображается (область определения данного отображения D(f));
• множество, в

(на) которое отображается данная область определения (множество значений этого отображения E(f));
• закон или соответствие между этими множествами, по которому для элементов первого множества (прообразов, аргументов) выбраны элементы (образы) из второго множества.
Приняты записи или f: A  В.

Например, у=2х-5.
2. Для задания отображения множеств табличным способом принято строить

таблицу, в которой первую строку составляют элементы области определения (прообразы вида а), а вторую строку — их образы, т. е. элементы вида  (х) при отображении  : а   (а), где

(диаграммами или графами). Их называют ориентированный граф.
Пример графического задания

отображения множества А ={а1, а2, а3 } в В = {b1, b2, b3, b4, b5 }.

По мощности они делятся на сюръективные и инъективные

множества В соответствует единственный элемент множества А, называется взаимно-однозначным соответствием

между двумя множествами, или биекцией. Биекция – это одновременно сюръекция и инъекция.

отображение.

Это обозначается следующим образом:
A ~ B.

Тогда отображение f -1, при котором каждому элементу множества В

ставится в соответствие его прообраз из множества А, называется обратным отображением для f и записывается
или f -1:ВА.
Так как одному образу при биекции соответствует в точности один прообраз, обратное отображение будет определено всюду на В и однозначно (отсюда название).
Для биекции принята запись:

имеют одинаковое количество элементов.

Говорят, что они равночислены, равномощны, или

эквивалентны.

его квадрат.
Отображение хх2 не является взаимно-однозначным соответствием, так как

для любого образа у=х2 можно найти два прообраза в области определения:
х = +у и х = -у.
Например, числа 3 и -3 имеют один и тот же квадрат число 9. Значит, это сюръекция.

слов английского и русского языков. Такое соответствие не является однозначным,

так как каждому английскому понятию соответствуют различные варианты перевода на русский язык (синонимы в русском языке, и наоборот. Это сюръекция.

чисел в различных системах счисления, шифрованные сообщения) являются чаще всего

примерами взаимно-однозначного соответствия между множествами. Каждой букве и цифре соответствует одна комбинация точек и тире в азбуке Морзе.

отображений?