Лекция 3 Математическое обеспечение САПР

назначению и способам реализации.
Понятие модели и моделирования.

Классификация моделей.
Методика получения математических моделей элементов САПР.
Формализованные методы поиска технических решений.
Оптимизационные методы (линейного программирования, нелинейного программирования, целочисленного программирования) и примеры их использования в архитектурных задачах.

на 2 части:
математические методы и построенные на их основе

математические модели, описывающие объекты проектирования (специфичны в различных САПР и зависят от проектируемых объектов);
формализованное описание технологии автоматизированного проектирования (требует формализации всей логики проектного процесса, в том числе и логики взаимодействия проектировщиков друг с другом на основании использования средств автоматизации.).
При совершенствовании и развитии процесса проектирования необходимо для его описания использовать системный подход.

описание тех или иных свойств реального объекта или процесса.
Под моделированием

– построение модели, отображающей структуру, характер и другие свойства исследуемого оригинала.
Классификация моделей

Модели

Идеальные

Материальные

Семантические

Математические

Графические

Пространственные

Физические

Аналоговые

Информационные

Абстрактные

Конкретные

Вероятностные

Детерминированные

Графы

Матрицы

Блок-схемы

специально созданные или отобранные человеком объекты, которые физически воспроизводят те

или иные свойства и связи, характерные для исследуемого процесса, объекта или явления (например, макет объекта).
Идеальные модели представляют собой мысленные конструкции, теоретические схемы, воспроизводящие в идеальной форме свойства и связи исследуемого объекта или процесса. Эти модели фиксируются при помощи отдельных знаков, чертежей и других материальных средств.
Важнейшей особенностью любой модели является ее сходство с оригиналом в одном из строго зафиксированных и обоснованных отношений.

называют словесные описания свойств исследуемых явлений (свойств объектов, процессов).
Математическая модель

– совокупность математических объектов (чисел, переменных, матриц, множеств и т.п.) и отношений между ними, которая адекватно отображает исследуемые свойства объекта или процесса.
Графическая модель – условное графическое отображение свойств объекта, конкретных параметров (чертежи) и структурных связей (абстрактных). Графические модели могут описывать не только структурные, но и функциональные и информационные аспекты объектов и процессов.

свойства объектов и процессов с целью их аналитического и экспериментального

исследования.
Все процессы имеют вероятностный характер, однако для удобства управления математической моделью ее принято считать детерминированной.
Имитационное моделирование представляет собой максимальное приближение процесса, выполняемого компьютером, к традиционному процессу на основе эвристического алгоритма. Эвристика – метод, основанный на неформальных, интуитивных соображениях. В большинстве случаев этот метод позволяет сокращать число просматриваемых вариантов при поиске решения задачи, причем этот прием не гарантирует наилучшее решение.

содержания объекта или процесса осуществляется на этапе формализации задачи.
С информационной

точки зрения проектирование есть процесс преобразования входной информации об объекте проектирования, о состоянии знаний в рассматриваемой области, опыте проектирования объектов аналогичного назначения в выходную информацию в виде архитектурной, проектно-конструкторской и технологической документации, выполненной в определенной форме и содержащей описание объекта для его материальной реализации.

подход к описанию процесса проектирования, при котором задачи большой размерности

разбивается на последовательно решаемые группы задач малой размерности, причем внутри групп разные задачи могут решаться параллельно. На каждом уровне имеются свои представления о системе и элементах. То, что на более высоком i-том уровне считалось элементом, на следующем i–1 уровне становится системой.
Для описания объекта используют различные аспекты: функциональный, конструкторский и технологический.
Функциональный аспект отображает основные принципы функционирования, характера физических и информационных процессов, протекающих в объекте, и отражается в принципиальных, функциональных, структурных схемах и сопровождающих их документах.

(параметры) объектов и их взаимное расположение в пространстве.
Технологический аспект –

связан с реализацией конструкторского проектирования, т.е. с описанием методов и средств изготовления (возведения) объекта.
Возможно более дифференцированное описание свойств объекта с выделением в нем подсистем и соответствующего числа аспектов. Например, если объектом проектирования является здание, то функциональный аспект можно разделить по физическим основам описываемых явлений на: композиционный (сортировка, компоновка, размещение), динамический (расчеты, нагрузки), геометрический (параметры объекта, его форма) и т.п. При этом внутри каждого аспекта возможно специфическое выделение иерархических уровней.

включает в себя следующие операции
Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению

в модели. Этот выбор основан на анализе возможных применений модели и определяет степень ее универсальности. Степень универсальности – требование к математической модели, которое характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.
2) Сбор исходной информации о выбранных свойствах объекта.
3) Синтез структуры математической модели. Структура математической модели – общий вид математических соотношений модели без конкретных числовых значений параметров.

рассчитанный прототип) или экспериментальная апробация модели на контрольном примере.
5) Оценка

точности и адекватности математической модели. Точность модели оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью разработанной математической модели. Адекватность математической модели – это способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной.

решений основаны на применении в творческом процессе семантических (описательных) свойств

понятий путем использования аналогии их вторичных смысловых оттенков. Основными источниками для генерирования новых идей служат ассоциации, метафоры и случайно выбранные понятия.
Ассоциация – связь, возникающая при определенных условиях между двумя или более психическими образованиями (ощущениями, восприятиями, идеями и т.п.). Метафора – перенесение свойств одного предмета (явления) на другой на основании общего для обоих признака. К ассоциативным методам относятся методы фокальных объектов, а также метод гирлянд случайностей и ассоциаций.

и устройств. Сущность этого метода состоит в перенесении признаков случайно

выбранных объектов на исследуемый объект.
Целью метода контрольных вопросов является подведение проектировщика на решение задачи с помощью наводящих вопросов. Этот метод может применяться либо в форме монолога проектировщика, обращенного к самому себе, либо в форме диалога, например, в виде вопросов системного аналитика, обращенных к группе проектировщиков. Суть этого метода заключается в том, чтобы рассматривать вопросы, содержащиеся в списке, и в связи с этим решать свою задачу.
Метод мозгового штурма состоит в последовательном решении задачи двумя группами людей (генераторами и экспертами)

приемов психологической настройки, в том числе активным применением аналогий.
Метод

морфологического анализа. Цель – систематическое использование всех мыслимых вариантов, вытекающих из закономерностей строения (т.е. морфологии) совершенствуемой системы.
Метод функционально-стоимостного анализа (экспертных оценок) – применяется с целью поиска более экономичного решения. Поскольку в группе участвуют специалисты различных профессий, то проблема рассматривается с различных точек зрения, при этом получают наиболее приемлемый вариант решения.

построения алгоритмов нахождения максимума (минимума) функции и точек, в которых

они достигаются при наличии ограничений или без них.
Целевая функция - математическое выражение критерия оптимальности.
Критерий оптимальности – показатель или система показателей качества системы, значения которого должны быть максимизированы или минимизированы.
При минимизации одного параметра задача называется однокритериальной, если несколько – многокритериальной

по всей допустимой области и локального экстремума – в произвольно

малой окрестности точки этой области.
Если область значений переменных не ограничена, т.е. отсутствуют ограничения на значения переменных, то имеет место безусловный глобальный экстремум. При наличии ограничений имеет место экстремум условный (при данных ограничениях).
При отсутствии ограничений, как правило, применяют методы спуска. Они состоят в последовательности приближений к точке минимума (максимума), начиная от произвольного значения функции. Существует много разновидностей этого метода в зависимости от шага и направления спуска.

решаются методами линейного программирования.
Линейное программирование – раздел математического программирования,

включающий теорию и вычислительные методы максимизации и минимизации линейных функций, переменные которых связаны рядом линейных ограничений (уравнений и неравенств).

1,2,…,
где F(x) – целевая функция;
ci – коэффициенты при переменных

целевой функции;
xi – переменные задачи;
bi – правые части ограничений;
aij – коэффициенты при переменных в ограничениях.

каждом шаге градиентного метода осуществляется сдвиг от текущей точки в

направлении градиента, вычисленного в этой точке (градиент – вектор, координатами которого являются частные производные функции). Длина шага может быть фиксирована или убывать к нулю.
Симплекс метод, основанный на том факте, что среди оптимальных точек (если они существуют) обязательно находится вершина выпуклого многогранника, представляющего область допустимых решений. Метод состоит в движении по соседним вершинам многогранного множества задачи, определяемого ее ограничениями, и складывается из конечного множества операций, которые проводятся до получения оптимального решения, либо до выяснения неразрешимости задачи.

функцией и/или нелинейными ограничениями в виде равенств или неравенств решают

методами нелинейного программирования. Не существует эффективных методов решения этих задач. Используемые в САПР программные средства реализуют частные задачи, не обеспечивая получения глобального минимума, либо стараются свести эти задачи с помощью преобразований к линейной форме.
Например, задача поиска оптимального проектного рельефа имеет целевую функцию:

уравнений и/или неравенств, удовлетворяющих условию целочисленности. Условие целочисленности переменных формально

отражает физическую неделимость объектов (например, количество остановок транспорта, выбор вариантов перемещений); а также конечность множества допустимых вариантов, на которых проводится оптимизация (например, множество перестановок в задаче сортировки).
Общий вид задачи: минимизировать функцию
при ограничениях ; , i = 1,2,..., M;
xj ≥ 0, j = 1,…,N; xj – целые для j = 1,…,p; p ≤ N,
где aij, bi, cj – заданные целые числа; xj – переменные.

программирования. Он заключается в упорядочении перебора вариантов. Множество решений разбивается

на подмножества, каждое из которых еще разбивается. Таким образом, получается нечто вроде иерархического графа множества решений. Для каждого из подмножеств вычисляется целевая функция – рекордная. Если получаемые по этому подмножеству решения больше рекордного, то эта ветвь далее не рассматривается как неперспективная. Если на подмножестве найдено всего одно решение, то оно является оптимальным (например, этот метод применен в задаче компоновки этажей здания).