Лекция 4

различные числа от 1 до 10. Карточки тщательно перемешаны. Наудачу

вынимается одна из них, записывается помещенное на ней число, и карточка возвращается в колоду. Затем колода вновь перемешивается, вынимается наудачу вторая карточка, записывается ее число, и карточка возвращается в колоду. Так повторяется 10 раз. Какова вероятность того, что среди десяти записанных чисел ровно четыре чётных и два нечётных, кратных трём?

из колоды – одинаковы. Поэтому поставим в соответствие каждому из

них одинаковые вероятностные пространства , где пространство элементарных исходов включает следующие элементарные события - число чётное, - число нечётное, кратное трём, - остальные числа. Так как среди десяти чисел 1; 2;...; 10 - пять чётных (2; 4; 6; 8; 10), два нечётных, кратных трём (3 и 9), то соответствующие вероятности элементарных событий равны:

по результатам двух испытаний.

Тщательное перемешивание карточек после каждого

возвращения очередной их них в колоду и вынимание следующей карточки наудачу означает независимость результатов каждого испытания. Поэтому вероятности элементарных исходов из находим как произведение соответствующих вероятностей элементарных исходов пространства :

(т.е. множество всех

упорядоченных пар ,где ). Продолжая аналогичные рассуждения, можно построить пространство элементарных исходов для последователь-ности всех десяти испытаний и вычислить вероятности элементарных исходов такого пространства. Полученные результаты позволят решить поставленную задачу. Не останавливаясь на подробностях метода вычисления вероятности, приведём лишь окончательный результат:
, где событие - среди

десяти записанных цифр ровно четыре чётных и две нечётных, кратных трём

элементарными исходами в котором являются последовательности
и вероятность определена для

каждого элементарного события формулой:
Последовательность независимых испытаний называются схемой Бернулли, если , т.е. если опыт S имеет лишь два исхода. Обычно в схеме Бернулли исход называют успехом и соответствующую вероятность обозначают , а - называют неудачей и .

Бернулли вероятностное пространство состоит из элементарных событий, причем , где

- число успехов в последовательности исходов.
Найдем вероятность того, что в серии из испытаний успех наступит раз. Так как при этом не имеет значения, когда именно в этих испытаниях будут наблюдаться успехов, то событие , состоящее в наступлении успехов, является объединением всех различных событий , в которых встречается раз. Всего таких элементарных событий в будет , а поскольку они несовместны, то искомая вероятность дается равенством (см. ниже)

, называется биномиальным распределением


Пример 1:

Пусть вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность попаданий в цель при выстрелах.
Из последней формулы находим следующие вероятности: ,
, ,
, ,
, ,

больших к очень громоздким вычислениям. Поэтому важно иметь

приближенные, но простые формулы. Найдем предельную формулу для биномиального распределения, когда число испытаний стремится к бесконечности, а вероятность успеха стремится к нулю.
Пусть произвели некоторую серию независимых испытаний, состоящую из конечного числа испытаний, затем новую серию, затем еще одну и т.д. Получим последовательность серий испытаний.

и вероятность успеха при отдельном испытании постоянна в пределах каждой

серии, но может меняться от серии к серии. В этих условиях справедлива следующая
Теорема Пуассона. Пусть дана последовательность серий независимых испытаний , состоящих соответственно из испытаний, и пусть вероятность события А при каждом испытании n-ой серии равна , где - постоянная, не зависящая от . Тогда вероятность того, что число наступлений события А в -й серии будет равно , при и фиксированном стремится к

,

, (2)
называется распределением Пуассона. Эта формула получена как предельная для последовательности серий независимых испытаний, в которой число испытаний стремится к бесконечности, а вероятность наступления события А стремится к нулю так, что
Оценка погрешности, допускаемой при замене биномиального закона на закон Пуассона, приводит к следующему результату где .

На практике использование формулы может быть оправдано при и . Это значит, что распределение Пуассона описывает вероятности в задачах с «редкими успехами».

номеров. Какова вероятность, имея 100 билетов, получить хотя бы 2

выигрыша? Здесь n=100, p=0,001, тогда .

0,0047

считая, что вероятность успеха не мала и не близка к

единице.
Локальная теорема Муавра – Пуассона. Если вероятность события А в n независимых испытаниях равна , то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит раз, удовлетворяет соотношению




где

потребует внимания оператора в течение времени Т, равна 0,2. Найти

вероятность того, что за это время пять приборов потребуют внимания оператора.
Используя последнюю формулу в приближенном виде

получаем


Расчет по точной формуле Бернулли дает т.е. относительная погрешность составляет ~9 %.

и не слишком малых вероятностях редко требуется знать вероятность наступления

события ровно раз. Чаще возникает задача оценки вероятности того, что число событий лежит в некоторых границах. Для решения этой задачи используется следующая теорема.
Интегральная предельная теорема Муавра – Лапласа. Пусть - число наступлений события А в серии из независимых испытаний, - вероятность наступления события А при каждом испытании, , и - любые фиксированные числа, , Тогда

будет рассмотрена ниже. Практическое применение интегральной теоремы Муавра-Лапласа основано на

приближённом равенстве


которое обеспечивает хорошую точность при Функция


называется функцией Лапласа или интегралом ошибок. Её основные свойства:

и в качестве примера – схему независимых

испытаний Бернулли. Здесь пространство элементарных исходов состоит из элементарных событий - последовательностей вида:
В схеме испытаний Бернулли нас интересовали события , где события составляют те последовательности, в которых успех встречается раз. Вероятность . Рассмотрим функцию , определённую на данном равенствами , , . Такая функция описывает число успехов в серии из n независимых испытаний Бернулли в том смысле, что число успехов в каждой последовательности испытаний равно по определению .

, для которых . Следовательно,

по определению и или , . Это равенство называют распределением вероятности случайной величины . Оно задаёт вероятность на алгебре всех подмножеств множества значений случайной величины .
Последнее в данном случае состоит из n+1 точек: Алгебра событий состоит из всех подмножеств .

вероятностное пространство ,

в котором пространством элементарных исходов является множество значений случайной величины, - алгебра всех подмножеств , а вероятность связана с вероятностью на исходном вероятностном пространстве формулой . Случайная величина задаёт отображение вероятностного пространства на вероятностное пространство . При этом каждой точке отвечает её прообраз в : множество .

следующим образом. Пусть - вероятностное пространство. Случайной величиной

называется однозначная действительная функция , определенная на , для которой множество элементарных событий вида является событием для каждого действительного числа х. Т.е функция является измеримой для любого значения В определении требуется, чтобы для каждого множество являлось событием, и это условие гарантирует, что для каждого x определена вероятность события . Функция ,
называется функцией распределения случайной величины .

Имеем . Из несовместности событий

в правой части равенства
следует . Отсюда и из определения функции распределения следует утверждение.
2. Функция - неубывающая.
Это следствие формулы (5) и свойства неотрицательности вероятности.
3.
Это следует из определения функции распределения.
4. Доказательства свойств (4,5) можно найти, например, в [4].
функция непрерывна слева.

6. Предел справа .

её значений конечно или счётно
Для полной характеристики дискретной случайной величины,

принимающей значения достаточно задать вероятности , . На практике соответствие между и задаётся в виде таблицы (закона) распределения:
При этом , а
обычно записываются
по возрастанию. Зная значения
и , можно записать функцию распределения дискретной случайной величины в виде:

предположим, что .

Тогда левее числа на числовой оси окажутся только те значения случайной величины, которые имеют индекс 1, 2, ..., i. Поэтому неравенство выполняется, если , . Таким образом, событие наступит, если наступит одно из событий Так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей имеем


Из свойств 1 и 6 следует, что функция распределения любой дискретной случайной величины в точках разрывна, возрастает скачками, причём величина скачка равна

n испытаний Бернулли. Тогда её функция распределения:



Пример 2: Если распределена

по закону Пуассона, то её функция распределения

если при бросании монеты выпадет «герб», и нуль очков –

в противном случае. Построить функцию распределения выигрыша игрока после трёх бросаний.
Пусть - выигрыш (число очков) игрока после трёх бросаний монеты; Значения, которые принимает случайная величина следующие:
Находим значения соответствующих вероятностей:


Тогда таблица
распределения:

распределения и её график:

такая неотрицательная, интегрируемая на числовой прямой функция

, что её функция распределения определяется


Функция , называется плотностью вероятности случайной величины .

что принимает фиксированное значение из R, равно нулю, т.е.

.
Из определения и свойства 4 функции распределения следует

с плотностью вероятности

, равная

, задаёт вероятность попадания точки в бесконечный прямоугольник .

не убывает по и

непрерывная слева по каждому аргументу
4.
5.


6.

его координата – дискретная случайная величина, и непрерывным, если существует

такая неотрицательная, интегрируемая на плоскости функция , называемая двумерной плотностью вероятности, что



Дискретная случайная
величина может быть
задана следующей
таблицей распределения