Лекция 4 Равновесие Нэша и смешанные стратегии

кладут на стол по монете каждый, прикрывая свою монету рукой.

По команде судьи они поднимают руки. Игрок 1 выигрывает, если монеты лежат по – разному, а игрок 2 выигрывает, если они лежат одинаково.

Нэша, поскольку ни в одной из клеток не подчеркнуты одновременно

оба выигрыша. В подобной игре каждый игрок заинтересован в том, чтобы его партнер не смог угадать, какую именно стратегию он выбрал. Этого можно достичь, внеся в выбор стратегии элемент неопределенности. Те стратегии, которые мы рассматривали ранее, принято называть чистыми стратегиями.

стратегии. Под смешанной стратегией понимают распределение вероятностей на чистых стратегиях.
В

частном случае, когда множество чистых стратегий каждого игрока конечно, Xi = {x1i , . . . , xni i } (соответствующая игра называется конечной), смешанная стратегия представляется вектором вероятностей соответствующих чистых стратегий: μi = (μ1i, . . . , μni i ).

предположение теории игр состоит в том, что если выигрыш—случайная величина,

то игроки предпочитают действия, которые приносят им наибольший ожидаемый выигрыш.
Ожидаемый выигрыш i-го игрока, соответствующий набору смешанных стратегий всех игроков (μ1, . . . , μm), вычисляется по формуле:

(в статистическом смысле). Поскольку игрок максимизирует ожидаемый выигрыш, то он

будет смешивать несколько разных стратегий, только если они дают ему одинаковый выигрыш (при данных стратегиях других игроков). Смешанные стратегии можно представить как результат рандомизации игроком своих действий, т. е. как результат их случайного выбора.

μ = (μ1 , .

. . , μm) является равновесием Нэша в смешанных стратегиях, если стратегия μ*i каждого игрока i = 1, . . . , n является наилучшим для него откликом на стратегии других игроков μ*−i:

т.е. N={1,2}, интересы которых противоположны: u1(s1,s2)+u2(s1,s2)0
- нижняя цена игры
- верхняя

цена игры

когда v0=v0=v. В этом случае говорят, что игра имеет цену

v.

на множестве его чистых стратегий si. Если все множества стратегий

конечны, μi(si) является вероятностью выбора игроком i стратегии si:

i;
- вероятность выбора s при независимом выборе si;
- ожидаемый выигрыш

в исходной игре,

расширении Gm:

зависит от р и равен 2/3

q и равен 2/3

(наилучшего ответа) второго игрока на действия первого:

в игре существует РН в смешанных стратегиях.