Лекция 6 Контурные интегралы ФКП

Содержание

1. Лекция 6 Контурные интегралы ФКП
2. «…très souvent les lois particulières déduites par
3. Т. (Коши для односвязной области).Пусть в замыкании
4. Применим формулу Грина:
5. Получим C учетом условий КРЭД теорема доказана.
6. Обобщения теоремы КошиТ. (вторая ф-ка т. Коши)
7. Следствие. (аналог ф-лы Ньютона-Лейбница для АФ).Если:кривая интегрирования
8. Т. (Коши для многосвязной области). Пусть f(z)
9. Следствие. Если функция аналитична в замыкании многосвязной
10. П. Вычислить интегралгде C0 – некоторый контур, внутри которого находится точка z = 0.
11. По следствию контур C0 можно заменить окружностью
12. Тогда
13. П. Вычислить интеграл где АВ – отрезок
14. П. Вычислить интегралгде интегрирование может совершаться по
15. Случай 1. Вдоль пути, не окружающего нулевую точку:Первообразной является многозначная ф-ция
16. Для применения формулы НЛ необходимо выбрать какую-либо
17. Эту кривую нельзя поместить в односвязную область, где подынтегральная функция аналитична. Ф-ла Ньютона – Лейбница неприменима.
18. Если путь интегрирования делает k оборотов в
19. Т. (формула Коши, интеграл Коши). Пусть функция
20. Формальное доказательство.Пусть ε – произвольное достаточно малое
21. Переходя к пределу при ε→0, получимч.т.д.
22. Следствие. При выполнении условий теоремы Коши АФ
23. Обобщенный вариант формулы Коши: П. Вычислить
24. Слайд 24
25. a) Перепишем интеграл в виде:
26. Слайд 26
27. Разложим функцию на сумму простых дробей
28. Слайд 28
29. П. Вычислить
30. Слайд 30
31. Скачать презентанцию

«…très souvent les lois particulières déduites par les physiciens d'un grand nombre d'observations ne sont pas rigoureuses, mais approchées.»«… very often the laws derived by physicists from a large number of

Главная
Разное
Лекция 6 Контурные интегралы ФКП

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция 6

Контурные интегралы ФКП

Слайд 2

«…très souvent les lois particulières déduites par les physiciens d'un

grand nombre d'observations ne sont pas rigoureuses, mais approchées.»

«… very

often the laws derived by physicists from a large number of observations are not rigorous, but approximate.»

Augustin Louis Cauchy (1789-1857)

«…très souvent les lois particulières déduites par les physiciens d'un grand nombre d'observations ne sont pas rigoureuses,

Слайд 3Т. (Коши для односвязной области).
Пусть в замыкании односвязной области D

задана однозначная аналитическая функция f(z). Тогда для любого замкнутого контура

∂ΩD

Доказательство.

Т. (Коши для односвязной области).Пусть в замыкании односвязной области D задана однозначная аналитическая функция f(z). Тогда для

Слайд 4Применим формулу Грина:

Слайд 5Получим
C учетом условий КРЭД

теорема доказана.

Слайд 6Обобщения теоремы Коши
Т. (вторая ф-ка т. Коши) Если функция f(z)

является АФ в односвязной области Ω, ограниченной кусочно-гладким контуром ∂Ω

и непрерывна на замыкании Ω, то

Следствие. Если f(z) – АФ в односвязной области, то интеграл от неё вдоль любой дуги не зависит от формы дуги, а зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования.

Обобщения теоремы КошиТ. (вторая ф-ка т. Коши) Если функция f(z) является АФ в односвязной области Ω, ограниченной

Слайд 7Следствие. (аналог ф-лы Ньютона-Лейбница для АФ).
Если:
кривая интегрирования AB находится в

односвязной области, в которой подынтегральная функция аналитична;
первообразная Ф(z) подынтегральной

функции однозначна в этой области, то

Следствие. (аналог ф-лы Ньютона-Лейбница для АФ).Если:кривая интегрирования AB находится в односвязной области, в которой подынтегральная функция аналитична;

Слайд 8Т. (Коши для многосвязной области).
Пусть f(z) является аналитической функцией

в многосвязной области Ω, ограниченной извне контуром C0, а изнутри

контурами C1, C2, … ,Cn, и f(z) непрерывна на замыкании Ω. Тогда

где С+ – полная граница области, ориентированная так, что область остается слева.

Т. (Коши для многосвязной области). Пусть f(z) является аналитической функцией в многосвязной области Ω, ограниченной извне контуром

Слайд 9Следствие. Если функция аналитична в замыкании многосвязной области, то интеграл

по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (при

этом все интегралы вычисляются CW, либо CCW).

Следствие. Если функция аналитична в замыкании многосвязной области, то интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по

Слайд 10
П. Вычислить интеграл

где C0 – некоторый контур, внутри которого находится

точка z = 0.

Слайд 11По следствию контур C0 можно заменить окружностью С1: |z| = r достаточно

малого радиуса r, чтобы она целиком содержалась в области ограниченной

исходным контуром:

По следствию контур C0 можно заменить окружностью С1: |z| = r достаточно малого радиуса r, чтобы она целиком содержалась

Слайд 12Тогда

Слайд 13П. Вычислить интеграл

где АВ – отрезок прямой, соединяющий точки

z=0 и z=1+i.

Так как

то

Слайд 14
П. Вычислить интеграл

где интегрирование может совершаться по любой линии, соединяющей

точку ζ = 1 с точкой ζ = z, не проходящей через т. ζ = 0.

П. Вычислить интегралгде интегрирование может совершаться по любой линии, соединяющей точку ζ = 1 с точкой ζ = z, не проходящей

Слайд 15Случай 1. Вдоль пути, не окружающего нулевую точку:

Первообразной является многозначная

ф-ция

Слайд 16Для применения формулы НЛ необходимо выбрать какую-либо ветвь этой функции,

например, главную (k=0):

Случай 2. Путь интегрирования окружает один раз нулевую

точку.

Для применения формулы НЛ необходимо выбрать какую-либо ветвь этой функции, например, главную (k=0):Случай 2. Путь интегрирования окружает

Слайд 17Эту кривую нельзя поместить в односвязную область, где подынтегральная функция

аналитична. Ф-ла Ньютона – Лейбница неприменима.

Слайд 18Если путь интегрирования делает k оборотов в положительном направлении, то
Формула

дает интегральное представление функции Lnz и объясняет многозначность этой функции.

Если путь интегрирования делает k оборотов в положительном направлении, тоФормула дает интегральное представление функции Lnz и объясняет

Слайд 19Т. (формула Коши, интеграл Коши).
Пусть функция f(z) аналитична в

замыкании области Ω и z0Ω – произвольная точка. Тогда имеет место

формула Коши

где C – произвольный замкнутый контур, целиком лежащий в замыкании Ω и содержащий точку z0 внутри себя.

Слайд 20Формальное доказательство.
Пусть ε – произвольное достаточно малое число, такое, что

окружность этого радиуса с центром в точке z0 целиком лежит

внутри контура C.
Подынтегральная функция аналитична в области |z – z0| > ε. Поэтому

Формальное доказательство.Пусть ε – произвольное достаточно малое число, такое, что окружность этого радиуса с центром в точке

Слайд 21Переходя к пределу при ε→0, получим
ч.т.д.

Слайд 22Следствие. При выполнении условий теоремы Коши АФ имеет производные любого

порядка и
Замечание. Если т. z0 лежит на контуре, то

Следствие. При выполнении условий теоремы Коши АФ имеет производные любого порядка и Замечание. Если т. z0 лежит

Слайд 23Обобщенный вариант формулы Коши:
П. Вычислить

Слайд 24

Слайд 25a) Перепишем интеграл в виде:

Слайд 26

Слайд 27Разложим функцию на сумму простых дробей

Слайд 28

Слайд 29П. Вычислить

Слайд 30

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Лекция 6 Контурные интегралы ФКП

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция 6Контурные интегралы ФКП

Слайд 2«…très souvent les lois particulières déduites par les physiciens d'un

grand nombre d'observations ne sont pas rigoureuses, mais approchées.»«… very

Слайд 3Т. (Коши для односвязной области).Пусть в замыкании односвязной области D