Лекция №4 Механические колебания. Волны. Акустика МЕХАНИЧЕСКИЕ

и потенциальная энергия колебаний
Вынужденные колебания
Волны в упругой среде. Уравнение волны.

Характеристики.
Физические основы биологической акустики
Звуковые методы исследования в клинике
Ультразвуковые колебания. Воздействия ультразвука на биологические ткани
Эффект Доплера и его применение в медицине.

двух аспектах:
1. Организм как колебательная система:

а) cердце;
б) биоритмы;
в) пульсирующий ток крови;
г) синтез звуковых колебаний (гортань);
д) дыхательный процесс.

2. Воздействие колебаний (волн) на организм:
а) особенности слухового восприятия;
б) вибрации;
в) ультразвуковые колебания;
г) инфразвуковые колебания.

система - тело или несколько тел, которые совершают колебания.

Условия возникновения

колебаний:
1.На систему должна подействовать внешняя сила, которая изменяет ее координату относительно положения равновесия. В результате система получает запас потенциальной или кинетической энергии.
2.В системе должна возникать упругая или квазиупругая сила, которая всегда направлена к положению равновесия и прямо пропорциональна смещению тела от положения равновесия.
3 Сила трения в системе должна быть малой по величине

Квазиупругая сила - неупругая по природе, но имеет такие же свойства, как и упругая сила.

второму закону Ньютона
, где -

собственная частота колебаний

Тогда дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний имеет вид:

Решения этого уравнения:

Обозначим

измерения [] – рад/с

Период (Т) – время одного полного колебания.

Единица измерения [T] – c (секунда)

Частота () – число колебаний за единицу времени. Единица измерения [] – Гц (герц).

x – смещение тела от положения равновесия в любой момент времени,
А=xмакс – амплитуда смещения

Фаза колебаний () определяет состояние колебательной системы в произвольный момент времени. Единица измерения
[] – рад (радиан).

, где - начальная фаза колебаний
(при t=0)

упругости пружины F=-kx (k — коэффициент упругости, x —

смещение тела относительно положения равновесия, знак “минус” означает, что упругая сила направлена противоположно направлению смещения x) согласно 2-му закону Ньютона запишем:

Решением является:

Частота 0 называется собственной частотой данного гармонического осциллятора.

уравнение гармонического осциллятора

Обозначим:

или

производными по времени:
- Скорость изменяется по гармоническому закону, но ее

амплитуда больше амплитуды х в  раз и опережает х на /2
Ускорение изменяется по гармоническому закону, но его амплитуда больше в 2 раз и опережает х на 
(т.е. в противофазе с х)

вся энергия переходит в кинетическую (потенциальная =0) и, наоборот, в

крайнем положении вся энергия переходит в потенциальную.

Сравнивая графики sin2 и sin можно видеть, что T и U изменяются с частотой 20 . Т.е. энергия от T к U и наоборот в процессе колебаний перекачивается в два раза быстрее.

вокруг горизонтальной оси (возможно только при условии, что центр масс

тела не лежит на этой оси). Т.е. нужен ненулевой момент сил. Движение такого маятника можно описать основным уравнением динамики для вращательного движения тела:

где I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси вращения через точку О. Внешних сил здесь две: сила F упругого происхождения (изгибает ось), действующая на маятник со стороны оси в точке 0 и сила тяжести P , приложенная в центре масс. Величина и направление силы F нам неизвестны, но это неважно, так как она проходит через ось вращения и поэтому ее момент равен нулю (плечо равно нулю).

= - Rmgsinα = –Pв
где в = Rsinα -

плечо силы тяжести. Знак «минус» означает, что при α >0, то есть при отклонении против часовой стрелки момент силы вызывает вращение по часовой стрелке (в направлении противоположном первоначальному отклонению). Т.е момент силы тяжести действует аналогично квазиупругой силе –kx . Итак, получаем:
I  = –mgRsinα

При малых  (при α <<1 в радианной мере) sinα ≈ α и
 + ω2α = 0 , где 2 =

R- расстояние от оси вращения до центра масс

как нам уже известно является функция:

α (t) = Asin(ωt+φ)


где циклическая

частота



а период колебаний

на оси, проходящей через его край.
По теореме Штейнера момент

инерции стержня относительно оси 0 равен: I =I0+md2= 1/12 ml2+m(l/2)2 = ⅓ml2.

сосредоточенной в одной точке, подвешенное на невесомой, нерастяжимой нити. Он

оказывается частным случаем физического маятника.
Момент инерции материальной точки I = ml2

Т.е. из- за разного характера распределения массы есть отличие в частоте колебаний математического маятника и стержня той же длины и массы.

в данном месте.
Математический и физический маятники
Приведённая длина — это условная

характеристика физического маятника. Она численно равна длине математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника.
Приведённая длина вычисляется следующим образом: где I — момент инерции относительно точки подвеса, m — масса, a — расстояние от точки подвеса до центра масс.

Период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от массы груза.

Частота собственных колебаний зависит только от свойств системы
(ω02 = k/m для математического и ω02 = mgR/I для физического маятников),

2-го закона Ньютона для движения тела под действием упругой силы,

то его надо дополнить некоторой функцией, отражающей свойства сил сопротивления (сил трения).
Например, если тело все время движется в жидкости с малыми скоростями, то сила трения пропорциональна скорости и второй закон Ньютона записывается так:

или в стандартном для дифференциальных уравнений виде :

(как и ранее) и
дифференциальное уравнение

затухающих колебаний:

Решение уравнений такого типа в математике хорошо известно и в нашем случае выглядит так:

Заметим, что здесь фигурирует не собственная частота колебаний ω0 , а частота ω , которая зависит от коэффициента затухания β:

Частота свободных колебаний зависит как от свойств системы (ω0), так и от величины потерь энергии (β )

затухания или с помощью логарифмического декремента затухания. Декрементом затухания Δ

называют отношение двух последовательных амплитуд:

Логарифмическим декрементом затухания δ называют натуральный логарифм обычного декремента затухания:
δ = lnΔ = βT
если величина β фиксирована, то величина δ прямо пропорциональна периоду колебаний. Например, если δ=0.01 то амплитуда уменьшится в e раз после 100 колебаний. Быстроту затухания колебаний определяется β= δ/T.
Добротность системы Q. При больших добротностях δ/Q

, где
- внешняя (вынуждающая) сила, изменяющаяся по гармоническому закону

Решения этого уравнения:
где амплитуда колебаний ,

а (частота вынужденных колебаний равна частоте вынуждающей силы)

-дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

собственной частоты колебаний системы с частотой вынуждающей силы:
Резонансная частота
Резонансные кривые

при разных значениях коэффициента затухания :

С уменьшением коэффициента затухания (1> 2> 3) увеличивается резонансная частота.
Если =0 (в системе без трения), амплитуда вынужденных колебаний бесконечно велика (А).

под действием внешней силы, частоту которой задает сама

колебательная система.

Автоколебания очень широко применяются в технике, особенно в электронике. В биологических объектах практически все колебания носят автоколебательный характер.
Всем автоколебаниям присуща одна характерная особенность: наличие механизма обратной связи

Так как система обладает собственной частотой , то и автоколебания будут происходить с частотой близкой к ней, т. е. автоколебательная система будет находится в состоянии близком к резонансу.
Такие колебания требуют минимальных затрат энергии.

Регулятор поступления энергии

(твёрдых телах, жидкостях, газах).
Источник волны – колебательная система.
Частицы упругой среды

совершают вынужденные колебания около положения равновесия.
Волна не переносит вещество, но переносит энергию.
Если уравнение колебаний источника ,
то уравнение волны имеет вид:

колебания частиц среды;
 – частота вынужденных колебаний (равна частоте

колебаний источника);
l – расстояние от источника волны до данной точки среды;
v – скорость волны;


- время, за которое волна дошла до данной точки

, где

частиц среды совершаются перпендикулярно направлению распространения волны.
Поперечные волны распространяются в

твёрдых телах и на поверхности жидкости.

В продольной волне колебания частиц среды совершаются вдоль направления распространения волны.
Продольные волны распространяются во всех упругих средах.

Виды механических волн

однородной среде волны распространяются с постоянной скоростью. Скорость волны зависит

от свойств среды – упругости и плотности. Чем больше плотность и упругость среды, тем больше скорость волны. Скорость механических волн в твёрдых средах больше, чем в жидких, а в жидких средах – больше, чем в газах.
Длина волны (λ) – расстояние (вдоль направления распространения волны) между точками, фазы которых одинаковы или расстояние, которое прошла волна за время, равное периоду колебаний (Т).

Характеристики волн

При переходе волны из одной среды в другую изменяется скорость волны, так как изменяются свойства среды. Значит изменяется и длина волны. Частота колебаний при этом не изменяется.

тот же момент времени в одной фазе.
Волна называется плоской, если

фронтом волны является плоскость, перпендикулярная направлению её распространения.

Энергетические характеристики:

Поток энергии () – энергия, переносимая волной через любую поверхность за единицу времени.
Единица измерения [] – Дж/с = Вт

Интенсивность (I) – поток энергии волны через единицу площади – плотность потока энергии
Единица измерения [I] – Вт/м2


- энергия, переносимая волной за единицу времени через единицу площади, перпендикулярной к направлению распространения волны.

модулю интенсивности волны и совпадающий с направлением вектора скорости)
Интерференция –

сложение волн, в результате которого интенсивность результирующей волны в разных точках пространства принимает значение от минимального до максимального.

Дифракция – отклонение волны от прямолинейного распространения на резких неоднородностях среды. Дифракция возникает, если длина волны сравнима с размерами препятствия (меньше его).

Условия отражения и преломления волн на границах среды определяются волновым сопротивлением среды (v, где  - плотность среды, v – скорость волны).

продольных волн, воспринимаемые ухом человека, т.е. лежащие в диапазоне

частот от 16 Гц до 20000 Гц.

ЗВУК. АКУСТИКА

1. Простой тон – гармонические колебания определенной частоты

2. Сложный тон – колебание, являющееся суммой нескольких гармонических колебаний

Виды звуков:

времени колебаний, среди которых невозможно выделить определенные частоты

4. Удар –

не повторяющееся во времени колебание, которое происходит за очень малое время. Например, хлопок, взрыв и т.п.

Гц до 20 кГц.

Интенсивность звука (I) изменяется в широком диапазоне.
Минимальная

интенсивность, которая вызывает слуховое ощущение, называется порогом слышимости (I0).
Интенсивность звука, который вызывает чувство боли, называется порогом болевого ощущения (Iмакс).
Для частоты в 1000 Гц:





Скорость звука (v) различна в разных средах. Например, в воздухе v330 м/с, в воде v1457 м/с, в железе v5000 м/с.

звуковых волн

, где  - плотность среды, v – скорость

звука,
I – интенсивность звука.

Акустический спектр – набор частот, которые входят в сложный тон, с указанием их амплитуд.

единицу

времени
Интенсивность
Звуковое давление
Акустический или гармонический спектр

объективными (физическими) характеристиками.
Субъективные характеристики звука:
Высота тона определяется частотой звуковой волны.

Чем больше частота, тем выше тон.

Тембр – звуковая окраска основного тона. Определяется акустическим спектром. Основной тон – звук минимальной частоты в акустическом спектре. Остальные тоны называют обертонами. Чем больше тонов в акустическом спектре, тем богаче тембр звука.

Громкость звука характеризует уровень слухового ощущения, зависит от интенсивности звука и частоты.

частоте возрастание интенсивности звука в геометрической прогрессии (I, I2, I3

…), воспринимается ухом в арифметической прогрессии (Е, 2Е, 3Е…)


, где E – уровень громкости (измеряется в фонах),
k – коэффициент пропорциональности, зависящий от частоты и интенсивности,
I0 – порог слышимости,
I – интенсивность звука.


- уровень интенсивности звука. Единица измерения – бел. 1 децибел = 0,1 бел.
I0 = 10-12 Вт/м2 интенсивность на пороге слышимости на частоте 1 кГц

K=1
Ф(фон)

громкости децибелы называют фонами.
При частоте звука в 1000 Гц шкалы

интенсивности и громкости совпадают.

Кривые равной громкости позволяют найти соответствие между громкостью и интенсивностью звука на разных частотах




Аудиометрия – метод измерения остроты слуха

фонендоскопа
1 – полая капсула
2 – передающая звук мембрана
3 – резиновые

трубки

при их простукивании
Фонокардиография (ФКГ) – графическая

регистрация тонов и шумов сердца

приборе (аудиометре) определяют порог слухового ощущения на разных частотах.

есть это спектральная характеристика уха на пороге слышимости.

превышает 20 кГц.
Скорость УЗ и звука определяется плотностью среды. Зависимость

прямая.
Верхний предел частоты УЗ ограничен свойствами среды, в которой распространяется волна, т.к.длина волны УЗ не может быть менее межатомного расстояния в структуре. В кристаллах получены колебания с частотой 20 МГц.
В медицине обычно используются УЗ волны с частотой порядка 800 кГц.

веществами определяются длиной УЗ волны, которая меньше, чем у звуковой волны.

Основные

свойства УЗ волн:
1. Распространяются узким пучком.
2. Легко фокусируются.
3. Несут высокую энергию ( до 104 вт/м2).
4. Хорошо отражаются от твёрдых тел, жидкостей.
5. Сильно поглощаются газами.

процессов, микромассаж
Ультразвук. Взаимодействие с веществом
Ультразвук большой интенсивности:
Разрыв тканей за счет

кавитации
Разрушение злокачественных образований
Дробление камней в мочевом пузыре
Распиливание костей

эффекта (высокочастотный УЗ)
Основанные на явлении магнитострикции (низкочастотный УЗ)

гранях
Пьезокристалл

(ослабление интенсивности при прохождении через вещество)

сопротивление биологических сред в 3000 раз больше волнового сопротивления воздуха,

то отражение УЗ на границе воздух-кожа составляет 99,99%.
Деформация, кавитация (возникает при интенсивностях, больших 0,8∙104 Вт/м2 )
Выделение тепла
Химические реакции

уровне,
разрушение биомакромолекул,
перестройка и повреждение биологических мембран, изменение проницаемости мембран,
тепловое действие,
разрушение

клеток и микроорганизмов

наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.

сравнения частот
приемник
УЗ волна
Отраженная УЗ - волна
кровеносный

сосуд

Сигнал доплеровского сдвига

движущиеся эритроциты

υ0 – скорость движения эритроцитов
υ – скорость УЗ
νГ – частота генератора
νД – доплеровский сдвиг частот

головного мозга
Ультразвуковая кардиография – измерение размеров сердца в динамике
Ультразвуковая локация

для определения размеров глазных сред

определяют скорость кровотока
По скорости ультразвука определяют место повреждения кости
Ультразвуковая

голография

Фонофорез - введение с помощью ультразвука в ткани через поры

кожи некоторых лекарственных веществ (гидрокортизона, тетрациклина и др.).

тканей
Удаление опухолей в мозговой ткани без вскрытия черепной коробки
Дробление

почечных камней

хирургии - стерилизация медицинских инструментов
Для ориентировки слепых в пространстве

плечевых суставов
повреждении мениско-связочного комплекса коленных суставов
повреждении сухожильно-связочного аппарата

всех суставов
наличии дисковых патологий (грыжи, протрузии, стеноз позвоночного канала)
наличии остеофитов, хондромных тел в суставах
заболеваниях сосудов верхних и нижних конечностей, сосудов шейного отдела
заболеваниях внутренних органов

На снимке представлены взаимоперпендикулярные сечения образования левой миндалины, которое характеризуется

нечеткими контурами и гипоэхогенным внутренним содержимым с "плавающими" эхогенными включениями. За образованием слабое акустическое усиление.

лет
На левой половине снимка представлен участок неизмененной ткани

правой подчелюстной железы (1), анэхогенное образование (2) с четкими контурами и эффектом дистального псевдоусиления. На правой половине снимка - неизмененная левая подчелюстная слюнная железа (3).

волна с частотой менее 16 Гц
Действие на человека: раздражение,

угнетающее настроение, головная боль, усталость.

примера такой волны;
Звук как физическая реальность и психофизическое явление
Звуковые методы

исследования в клинике
Ультразвуковые колебания. Воздействия ультразвука на биологические ткани и применение УЗ методов в медицине.

Гц
25000 Гц
30000 Гц.

2007.-
Дополнительная:
Федорова В.Н. Краткий курс медицинской и биологической физики с элементами

реабилитологии: учебное пособие. -М.: Физматлит, 2005.-
Антонов В.Ф. Физика и биофизика. Курс лекций: учебное пособие.-М.: ГЭОТАР-Медиа, 2006.-
Богомолов В.М. Общая физиотерапия: учебник. -М.: Медицина, 2003.-
Самойлов В.О. Медицинская биофизика: учебник. -СПб.: Спецлит, 2004.-
Руководство к лабораторным работам по медицинской и биологической физике для самост. работы студентов /сост. О.Д. Барцева и др. -Красноярск: Литера-принт, 2009.-
Сборник задач по медицинской и биологической физике: учебное пособие для самост. работы студентов / сост. О.П.Квашнина и др. -Красноярск: тип.КрасГМА, 2007.-
Физика. Физические методы исследования в биологии и медицине: метод. указания к внеаудит. работе студентов по спец. – педиатрия / сост. О.П.Квашнина и др. -Красноярск: тип.КрасГМУ, 2009.-
Электронные ресурсы:
ЭБС КрасГМУ
Ресурсы интернет
Электронная медицинская библиотека. Т.4. Физика и биофизика.- М.: Русский врач, 2004.