Лекция Тема: Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка ( однородные с

порядка
(однородные с постоянными коэффициентами)

независимых решений.

Пример

Найти фундаментальную систему решений
фундаментальная система решений
Уравнение имеет

и другие фундаментальные решения, например

Решение

линейным однородным уравнением
n–го порядка с постоянными коэффициентами.
Решения уравнения

(1) будем искать в виде
y = e x , где  – постоянная

Левая уравнения (1) называется 
линейным дифференциальным оператором 
и обозначается

Оператор от суммы двух функций равен сумме операторов от этих

функций

3. Если решение однородного линейного уравнения

то

- тоже решение, т.е

y(n) = n  e x .
Подставляем y , y  , y  ,  … , y(n) в уравнение (1) и получаем:
n  e x + a1  n – 1  e x + … + an – 1    e x +  an  e x = 0 ,


n  + a1  n – 1  + … + an – 1    +  an  = 0 .

характеристическое уравнение

А его корни - характеристические числа

решение линейного ДУ

- фундаментальная система решений уравнения
то
- общее решение
Замечание Всякое

частное решение однородного линейного уравнения – линейная комбинация частных решений, составляющих фундаментальную систему решений.

Замечание Уравнение (1) не может иметь более чем

линейно независимых частных решений.

(1)

(1)

частное решение
Пример

частные решения
однородное уравнение, соответствующее неоднородному
общее решение неоднородного уравнения

общее решение однородного уравнения
Алгоритм
Составляем характеристическое уравнение

Находим корни характеристического

уравнения

По характеру корней выписываем
частные линейно независимые решения
(частных решений будет ровно столько, каков порядок
линейного дифференциального уравнения)

(1) заменой производных искомой функции на соответствующие степени , а

самой функции – на 0 = 1 .
уравнение n-й степени  оно имеет n корней, но

1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность;

2)корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены).

если  – простой корень уравнения , то решением является

функция
e x;
2) если  – корень кратности k уравнения (1) , то решениями уравнения (1) являются функции
e x, x  e x, x2  e x,  …,  xk – 1  e x;
3) если  = a + biℂ и  – простой комплексный корень уравнения (1), то ̄ = a – bi тоже является простым корнем уравнения (1), а решениями уравнения (1) являются функции
ea x  cosbx , ea x  sinbx ;

4) если  = a + bi и  – комплексный корень кратности k уравнения (1), то ̄ = a – bi тоже является корнем кратности k уравнения (1), а решениями являются функции

ea x  cosbx, xea x  cosbx, x2ea x  cosbx, …, xk – 1ea x  cosbx 
ea x  sinbx, xea x  sinbx, x2ea x  sinbx, …, xk – 1ea x  sinbx .

общее решение соответствующего ЛОДУ

y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  +  an(x)  y = 0 ,

Тогда его общее

решение будет иметь вид
y = C1  y1 + C2  y2 + … + Cn  yn ,
где C1 , C2 , … , Cn  – произвольные постоянные.
Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ, т.е. имеет вид
y = C1(x)  y1 + C2(x)  y2 + … + Cn(x)  yn ,
где C1(x) , C2(x) , … , Cn(x)  – некоторые функции.

порядка равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и

любого частного решения ỹ(x) неоднородного уравнения, т.е. имеет вид

y(x) = C1  y1 + C2  y2 + … + Cn  yn +  ỹ(x) ,

где y1 , y2 , … , yn –решения, соответствующего ЛОДУ

различных действительных корня
один корень
комплексно сопряженные корни

вещественные и различные
общее решение однородного уравнения
2. Если корни характеристического

уравнения

корни комплексные

общее решение однородного уравнения

вещественные и кратные
общее решение однородного уравнения
4. Если корни характеристического

уравнения

корни комплексные

общее решение однородного уравнения

кратный корень

кратный корень

неоднородного
уравнения

корнем характеристического уравнения
вид общего решения неоднородного уравнения
корень кратности
вид

общего решения неоднородного уравнения

Правая часть

- не является корнем характеристического уравнения

вид общего решения неоднородного уравнения

решения неоднородного уравнения