Линейная алгебра

матриц: определитель, минор, алгебраическое дополнение, след, ранг
4. Системы линейных алгебраических

уравнений: формы записи, классификация, решение систем ЛАУ

в
определенном порядке. Имя вектора – любая латинская или
греческая буква,

например а, х, у .
Обозначается a = (a1 , a2 , ….an). Числа a1 , a2 , ….an –
компоненты вектора; n - его размерность.
Единичный вектор – все его компоненты равны 1.
Обозначается 1
Нуль-вектор - все его компоненты равны 0. Обозначается 0.
Противоположный вектор – a = (-a 1, -a2 , ….-an).
Очевидно a +(– a) =0

их компонент
2. Умножение вектора на число – умножение каждой

компоненты на это число
3. Скалярное произведение двух векторов – число, равное
сумме произведений одноименных координат данных
векторов
< a,b > = a1b1 + a2b2 +…anbn
Основные свойства скалярного произведения:
< a,b >=< b ,a>;
β< a, b >= < βa, b > ;
< a+ b, с>=< a,с>+ ;
< a, a> >=0

годового выпуска продукции каждой фабрики составляет:







Вектор a = (1000,

10000, 2000,500)
Вектор b = (2500, 12000, 2000, 1000)

прямоугольной
таблицы, состоящей из m строк и n столбцов.
Обозначается

А= или А=(a I,j), i=1,2…m; j= 1,2…n


Числа a i,J – элементы матрицы, строки и столбцы – ее ряды.
Множество всех матриц размера m x n обозначается Rmxn,
А= Rmxn

В одного и того же размера равны, если
равны соответствующие

элементы, аi,j = bi,j
2. Вектор – столбец – матрица, состоящая из одного столбца
3. Вектор – строка – матрица, состоящая из одной строки
4. Нулевая матрица – все ее элементы =0; обозначатся Оmxn
5. Квадратная матрица – m=n (число строк равно числу
столбцов)
6. Главная диагональ квадратной матрицы – элементы аi,i ,
лежащие на главной диагонали
7. Треугольная матрица – квадратная матрица, такая, что все
ее элементы, расположенные по одну сторону от главной
диагонали, равны нулю.
8. Единичная матрица Е – все элементы на главной диагонали
аi,I =1, остальные элементы равны нулю.

из
исходной матрицы А заменой строк на столбцы с
сохранением

порядка.
10. Сумма двух матриц C=A+B , А= (аi,j) и В= (bi,j ) одного и
того же размера – матрица С = (сi,j ) того же размера,
элементы которой равны сумме соответствующих элементов
исходных матриц – сi,j= аi,j+ bi,j: C=A-B сi,j= аi,j – bi,j
Произведение матрицы на число – все элементы
исходной матрицы умножаются на это число. В=2А (bi,j =2ai,j ).
Очевидное следствие : общий множитель всех элементов
матрицы можно выносить за знак матрицы
12.Произведение двух матриц А и В. Произведение имеет
смысл, если число столбцов первого сомножителя (например,
А) совпадает с числом строк второго сомножителя
(например, В). Пусть А= Rmxn , В= Rnxk, тогда С = АВ = Rmxk.

(AB)C= A(BC); α(AB)= (αA)B; (A+B)C=AC+BC;
(AB)t = Bt At ;

AE=EA=A
AB ≠BA в общем случае. Если AB = BA, то матрицы A и B
называются перестановочными.
5. Квадратную матрицу А можно возвести в квадрат, куб, в к –ую
степень, получить Ак
6. А0 =Е

использует сырье двух типов S1 и S2.
Матрица А3х2 (технологическая).

Показывает, сколько единиц сырья j-
го типа расходуется на производство продукции i-го вида.
План выпуска продукции задан вектором- строкой С,
Стоимость единицы сырья каждого типа задается вектором –
столбцом В

А= С= В=


Матрица – строка затрат сырья S =CA=


Общая стоимость сырья Q = SB =


=730*30 + 980*50 = 70900 (ден. ед.)

число, которое
вычисляется по определенным правилам
Определитель обозначается det

или или .
2. Основные правила вычисления определителей:
Определитель диагональной матрицы равен
произведению диагональных элементов
Общий множитель строки можно вынести за знак
определителя
3) Если к одной из строк прибавить другую строку (к одному
из столбцов прибавить другой столбец), то определитель не
измениться
Если все элементы строки (столбца) равны нулю, то
определитель равен нулю

прибавить другую строку матрицы,
у множенную на число, то определитель

не измениться
6) Если поменять местами две строки (два столбца) матрицы,
то ее определитель поменяет знак
7) Если матрица имеет две одинаковые строки ( два
одинаковых столбца), то определитель равен нулю
8) В общем случае определитель вычисляется разложением
по элементам строки (столбца). Для этого вычисляют
соответствующие миноры и алгебраические дополнения
Запомните: Квадратная матрица, определитель которой
равен нулю называется вырожденной.
Основные числовые характеристики – след матрицы
След матрицы – сумма элементов главной диагонали.

Обозначается tr A =

такая, что АВ=Е, то говорят, что В – обратная матрица.
Обратную

матрицу обозначают А-1.
Обратная матрица перестановочна с исходной,
т.е А А-1 = А-1А = Е
Очевидно, (А А-1)-1 =А

m не равно числу
столбцов n, m≠n
2. Минор к-го порядка

матрицы Аmxn - определитель квадратной
подматрицы, полученной из основной выделением к строк и к
столбцов
3. Алгебраическое дополнение элемента ai,j квадратной
матрицы равно

Ai,j = (-1)i+j . Здесь - минор, полученный из

основной матрицы вычеркиванием i –ой строки и j-го столбца.
3. Ранг матрицы r(A) - наибольший из порядков миноров данной
матрицы, отличных от нуля. Выполняется соотношение
0≤ r(A)≤min (m,n)

Минор порядка r называется базисным

n неизвестными может
быть записана

(*)


Или в матричной форме AX = b (*)
где A=(ai,j) – матрица коэффициентов при неизвестных системы,
X – вектор неизвестных системы,
b – вектор свободных членов.
Система (*) называется однородной, если все bi равны нулю. В
противном случае система неоднородна.
Система является совместной, если она имеет решение и
несовместной (противоречивой) в противном случае.

β2, ….βn,, если при их подстановке в уравнение системы на

Место соответствующих неизвестных все уравнения обращаются в
тождества.
Решение (β1, β2, ….βn) неотрицательно, если все его компоненты
неотрицательны.
Матрица


=



называется расширенной матрицей системы.
Система линейных алгебраических уравнений совместна
только тогда, когда ранг матрицы А равен рангу матрицы
(теорема Кронекера – Капели.)

Система не имеет решения, система несовместна –

r(A)≠r( )
2). Система имеет единственное решение, система
определена r(A)=n
3). В случае r(A)решений (неопределенная система). В этом случае r
переменных (базисные переменные) выражаются через n- r
переменных (свободные переменные).

уравнений (СЛАУ) .
1. Метод Крамера. Применяется для решения невырожденных матриц

(определитель системы не равен нулю
2. Метод обратной матрицы
3. Метод Гаусса , метод исключения переменных. Является универсальным методом решения СЛАУ.
4. Метод Жордана – Гаусса. Модификация метода Гаусса. Применяется для решения задач, в которых m5. Численные методы последовательных приближений

неизвестными




с определителем , отличным от нуля.

Решение записывается в виде

уравнений, равным числу переменных, m=n.





Вычисляют определитель и обратную матрицу

системы. Тогда вектор неизвестных X равен

X = A-1B

системы

m=n, так и m≠n.
Метод заключается в последовательном исключении переменных,
к

преобразованию исходной системы к верхне-треугольному виду.
Рассмотри применение метода на примерах.
Пример 5. Рассмотрим решение примера 4 методом Гаусса

mxn (m – число
уравнений, n – число переменных)
В зависимости

от соотношения m и n возникают различные классы
задач, Рассмотрим случай m < n , число уравнений меньше числа
неизвестных.
r < m - уравнения системы зависимые
r = m - уравнения системы независимые
r(A)≠r( ) – система несовместная
r(A) = r( )= r – система совместная
r < n – система совместная, неопределенная, имеет бесконечное количество решений. Базисные и свободные (независимые) переменные
r = n – система определенная, совместная. Имеет единственное решение

совместная, r < n
Базисные (основные ) переменные - r

переменных, которые
могут быть выражены через ( n-r) свободных (неосновных)
переменных.
Базисные переменные должны входить в полный набор
разрешенных переменных. К разрешенным относят переменные,
входящие только в одно уравнение с коэффициентом 1, а в другие
уравнения – коэффициентом 0. Например, в примере ниже
разрешенными, а, следовательно, базисными, могут быть
переменные x1, x2 , x5. С другой стороны ранг системы r = 2,
Следовательно есть два набора базисных переменных (x1, x2 ) и
( x2 , x5)

x1 и x2
Тогда общее решение будет выглядеть так:



Приравняв свободные переменные

к нулю, получим базисное
решение

Приравняв свободные переменные произвольным
константам, получим одно их частных решений, например
X3 =0, X4=1, X5=2 получим

элементарных преобразований
1.Если какое-либо уравнение системы умножить на некоторое
отличное от

нуля число, а остальные уравнения оставить без
изменения, то получится система, равносильная данной.
2.Если к какому-либо уравнению системы прибавить другое, а все
остальные уравнения оставить без изменения, то получится
система, равносильная данной
3. Если к какому-либо уравнению прибавить другое, умноженное
на некоторое число, а все остальные уравнения оставить без
изменения, то получится система, равносильная данной.
4. Если система уравнений содержит тривиальное уравнение, то
его можно исключить из системы, при этом получится система
равносильная исходной.

из ряда однотипных шагов, на каждом из которых производятся действия

в следующем порядке:
1. Проверяется, не является ли система несовместной. Если система содержит противоречивое уравнение, то она несовместна.
2.Проверяется возможность сокращения числа уравнений. Если в системе содержится тривиальное уравнение, его вычеркивают.
3.Если система уравнений является разрешенной, то записывают общее решение системы и если необходимо — частные решения.
4. Если система не является разрешенной, то в уравнении, не содержащем разрешенной неизвестной, выбирают разрешающий элемент и производят преобразование Жордана с этим элементом.
5. Далее заново переходят к пункту 1

два соответствующих базисных решения




Таблица решения

и


Общее решение


Приравняв x3=0, x4=0 получим базисное решение (один из
вариантов)

Чтобы найти другое базисное решение при пересчете
исходной системы следует выбрать другой разрешающий
элемент. Число общих и соответствующих базисных решений
исходной системы равно числу сочетаний