Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Прямая в пространстве

A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух

различных плоскостей, содержащих прямую ℓ .
Тогда координаты любой точки прямой ℓ удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения.
ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через

точку M0(x0;y0;z0), параллельно вектору

Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

(в векторной и координатной форме соответ- ственно).
Пусть в задаче 1 вектор

не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. m  0, n  0 и p 0).
Уравнения (3)
называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ.
Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2

,z2) .
Уравнения (4)
называют уравнениями прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

ℓ задана общими уравнениями:
Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой

прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой.
а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1).
б) Направляющий вектор
где N̄1 = {A1; B1; C1} и N̄2 = {A2; B2; C2} – нормальные векторы к плоскостям 1 и 2 , уравнения которых входят в общие уравнения прямой.

могут:
а) быть параллельны, б) пересекаться,

в) скрещиваться.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы каноническими уравнениями:

1) Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 параллельны:
Получаем: прямые параллельны  их направляющие векто- ры и коллинеарные, т.е. выполняется условие:

ℓ2 пересекаются  они не параллельны и для них выполняется

условие
или, в координатной форме,

3) Если для прямых ℓ1 и ℓ2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются.

в пространстве приводит к следующим задачам:
1) параллельные прямые  расстояние между

прямыми
(т.е. расстояние от точки до прямой)?
2) пересекающиеся прямые  а) угол между прямыми?
б) точка пересечения прямых?
3) скрещивающиеся прямые  а) угол между прямыми?
б) расстояние между прямыми?
Пусть даны 2 прямые:
и
– направляющий вектор прямой ℓi ,
Mi(xi;yi;zi) ℓi (i = 1,2)

Углом между двумя скрещивающимися прямыми ℓ1 и ℓ2 называется угол

между прямой ℓ1 и проекцией прямой ℓ2 на любую плоскость, проходящую через прямую ℓ1 .

Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным.
Получаем:

где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

M1(x1;y1;z1) – точка, не принадлежащая ℓ .
ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве.
Обозначим: – направляющий вектор прямой ℓ ,
M0(x0;y0;z0) – точка на прямой ℓ ,
d – расстояние от точки M1 до ℓ .

и
– направляющий вектор прямой ℓi ,
Mi(xi;yi;zi) ℓi (i = 1,2) .
ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между ℓ1 и ℓ2 .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

где Ax + By + Cz + D = 0 – общее уравнение плоскости λ , M2(x2; y2; z2) – любая точка на прямой ℓ2 .

Следовательно:

точка пересечения прямых.
Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений

пространстве заданы плоскость λ и прямая ℓ . Они могут

1) быть параллельны;
2) прямая может лежать в плоскости;
3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке.
Пусть λ: Ax + By + Cz + D = 0 и
Тогда N̄ = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости λ,
– направляющий вектор прямой ℓ .

координатной форме
Am + Bn + Cp = 0

. (11)

Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке.
б) Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие
Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 ,
где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

перпендикулярность прямой и плоскости

φ между прямой ℓ и ее проекцией на плоскость λ

.
Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.