Слайд 1Математическая статистика
Лекции по математике
Слайд 2И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Рекомендуемая литература
Кремер
Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Банки и
биржи, ЮНИТИ, 2001 .
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: В.Ш., 2002 .
Кропачева Н.Ю., Петросян Г.А. Элементы математической статистики. Учебное пособие по изучению курса высшей математики. – СПб.: Изд-во СПбГАСЭ, 2004. – 79 с.
Тимошина И.Р. Электронный конспект лекций по математической статистике. ВФ СПбГУСЭ, 2007.
Слайд 3И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Содержание
Задачи математической
статистики, немного истории
Основные определения
Эмпирическая функция распределения
Полигон и гистограмма
Слайд 4И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Разработка методов:
сбора, систематизации, обработки
результатов многократных наблюдений
с целью установления закономерностей, которым
подчиняются массовые случайные явления.
Предмет математической статистики
Слайд 5И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Задачи математической
статистики
Отыскание способов сбора и группировки статистических сведений.
Разработка методов анализа статистических
данных: оценки неизвестной вероятности события; оценки параметров распределения, вид которого известен; оценки зависимости одной величины от другой…
Проверка статистических гипотез о виде неизвестного распределения или величине неизвестных параметров распределения.
Слайд 6И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Цель математической
статистики.
Исследование математико-статистических моделей позволяет решать задачи прогнозирования в различных
сферах человеческой деятельности.
Эффективный прогноз даёт важную информацию для принятия управленческих решений.
Слайд 7И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Немного истории
Математическая
статистика возникла (XVII в.) и развивалась параллельно с теорией вероятностей,
её дальнейшее развитие (XVIII - XIX вв.) обязано, в первую очередь, П.Л.Чебышеву, А.А.Маркову, А.М.Ляпунову, К.Гауссу, К.Пирсону и т.д. В XX веке наиболее существенный вклад в математическую статистику внесли Е.Е.Слуцкий, А.Н.Колмогоров, Стьюдент, Р.Фишер, Ю.Нейман, Э.Пирсон и т.д.
Слайд 8И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Пример
Задача. Требуется
исследовать совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака.
К
примеру. Имеется пария деталей. Их качественным признаком может быть стандартность, а количественным – контролируемый размер детали.
Иногда проводят сплошное обследование, однако на практике чаще всего обследование бывает выборочное.
Слайд 9И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Выборочной
совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов.
Генеральной совокупностью
называют совокупность всех объектов, из которых производится выборка.
Объёмом совокупности называют число объектов выборки.
Слайд 10И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Повторной
называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) обратно
возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
Репрезентативной называют выборку, которая правильно представляет пропорции генеральной совокупности.
Слайд 11И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Пусть
исследуется некоторый количественный признак, к примеру, рост некоторой совокупности людей.
Сам этот признак является случайной величиной.
Различные значения этого признака обозначим: x1, x2,…, xn.
Слайд 12И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Значения
случайной величины x1, x2,…, xn, получаемые в ходе наблюдений (или
измерений) называют вариантами.
Пусть в ходе наблюдений случайная величина X принимала n1 раз значение x1, n2 раз значение x2 –и т.д.
Объём выборки равен n1 +n2 +…+ nk=n.
Слайд 13И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Числа
n1,n2,…, nk называют частотами вариант.
Числа wi=ni/n называют относительными частотами
или частостями.
Очевидно, что w1+w2+…+wk=1.
Слайд 14И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Пусть
X – дискретная случайная величина.
Вариационным рядом дискретной величины называют
последовательность вариант, расположенных в порядке возрастания, с указанием соответствующих каждой варианте частот или частостей.
Слайд 15И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Пример. В
цеху 50 рабочих, тарифные разряды
которых принимают значения от первого
до шестого.
Записать вариационный ряд распределения случайной
величины – номер разряда случайно выбранного
рабочего.
Слайд 16И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Решение.
На слайд
Слайд 17И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Пусть
Х – непрерывная случайная величина. Тогда множество возможных значений разбивают
на интервалы. В качестве частоты, соответствующей данному интервалу, принимают количество значений величины , которые в ходе наблюдений попали в данный интервал.
Интервальным вариационным рядом называют последовательность интервалов, расположенных в порядке возрастания, с указанием соответствующих этим интервалам частот или относительных частот.
Слайд 18И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Если
исследуемая величина является непрерывной, то множество возможных значений случайной величины
разбивают на интервалы. В качестве частоты, соответствующей данному интервалу, принимают количество значений величины , которые в ходе наблюдений попали в данный интервал.
Интервальным вариационным рядом называют последовательность интервалов, расположенных в порядке возрастания, с указанием соответствующих этим интервалам частот или относительных частот.
Слайд 19И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Основные определения
Вариационный
ряд, в котором указаны частоты или относительные частоты вариант называют
также статистическим распределением выборки.
Слайд 20И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Замечание
В теории
вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины
и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами или относительными частотами.
Слайд 21И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Пример. Получены
данные о распределении
100 работников предприятия по заработной
плате в
текущем году (Х – зар. плата в процентах по отношению к заработной плате в предыдущем году).
Минимальное значение случайной величины
равно 98%. Максимальное значение 178%.
Записать интервальный вариационный ряд,
разбив отрезок на восемь интервалов.
Слайд 22И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Решение.
Слайд 23И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Эмпирическая функция
распределения
Пусть известно статистическое распределение количественного признака X. Например…
Введём обозначения: n
- общее число наблюдений (объём выборки); nx - число наблюдений, при котором значение признака было меньше числа x.
Слайд 24И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Эмпирическая функция
распределения
Ясно, что относительная частота события (X
x изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота события (X
Слайд 25И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Эмпирическая функция
распределения
– это функция, значение которой равно относительной частоте события (XЕсли выборкой является вся генеральная совокупность, то её функцию распределения называют теоретической и обозначают F(x).
Слайд 26И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Эмпирическая функция
распределения
Различие между теоретической и эмпирической функциями распределения состоит в том,
что теоретическая функция распределения определяет вероятность события (X
Слайд 27И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Свойства эмпирической
функции распределения
0≤ ≤1;
– неубывающая функция;
.
Аналогичными свойствами обладает и функция распределения F(x), поэтому эмпирическую функцию используют для приближённого представления теоретической.
Слайд 28И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Пример. Используя
дискретный вариационный
ряд вычислить значения функции
.
Решение. Результаты вычислений
представлены в таблице
Слайд 29И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Слайд 30И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
По данным
таблицы построим график
выборочной функции распределения
Слайд 31И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Полигон
Полигоном частот
называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x1, n1); (x2,
n2);…; (xk, nk).
Полигоном относительных частот называют ломаную линию, отрезки которой соединяют точки (x1, w1); (x2, w2);…; (xk, wk).
Слайд 32И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Пример. Распределение
предприятий по
издержкам обращения (млн руб.), полученным
в отчетном периоде,
представлено в
ранжированном виде интервалами объема
издержек обращения xj и количеством nj
предприятий, издержки которых попадают
в j интервал.
Слайд 33И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Общее количество
предприятий n=20.
По данным таблицы построим график
выборочной функции распределения или
график накопленных частот.
Слайд 34И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Слайд 35И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
По данным
таблицы построим полигон частот:
Слайд 36И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Гистограмма
В случае
непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором
заключены наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиною h и находят для каждого интервала ni- сумму частот вариант, попавших в этот интервал..
Слайд 37И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Гистограмма
Гистограммой частот
называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные
интервалы длиною h, а высоты равны отношению ni/n .
Площадь под гистограммой частот равна сумме всех частот, т.е. объёму выборки.
Слайд 38И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Пример. По
данным предыдущего примера
построить гистограмму частот.
Решение.
Вычислим отношения по данным
предыдущего
примера:
Слайд 39И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Гистограмма
Слайд 40И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Гистограмма
Гистограммой относительных
частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат
частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению wi/h.
Площадь под гистограммой частот равна единице.
Слайд 41И.Р.Тимошина Электронные презентации лекций по теме
«Математическая статистика»
Полигон и
гистограмма
Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности,
полигон и гистограмму.
