Математический анализ

РФ
Треногин Владилен Александрович

Непрерывность функций одной переменной.

Раздел 3. Дифференциальное исчисление функций одной

переменной.

Раздел 4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

2003.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.:

Наука, 1969. – Т. 1.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Высшая школа, 1981. – Т. 1.
Сборник задач по математике для втузов. Под редакцией А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. Часть 1. Линейная алгебра и основы математического анализа.
Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике.

математических моделей.
Математическая символика.
Числовые множества.
Ограниченные и неограниченные множества. Точные

грани числового множества. Теорема существования точной грани ограниченного множества.
Числовые функции

функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно

связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что математический анализ изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых.
В природе и технике всюду встречаются движения, процессы, которые описываются функциями; законы явлений природы также обычно описываются функциями. Отсюда объективная важность математического анализа как средства изучения функций.
Основы математического анализа включают в себя теорию действительного числа, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисление и их приложения, теорию рядов.

Начиная с математиков Древней Греции и вплоть до

Начиная с трудов математиков Древней Греции

и вплоть до 17 века математический анализ представлял собой совокупность решений разрозненных частных задач; например, в интегральном исчислении проводилось вычисление площадей различных фигур и объемов тел с кривыми границами, вычисление работы переменной силы и т. д. Каждая такая задача решалась сложным и громоздким методом исчерпывания. Математический анализ как единое и систематическое целое сложился в трудах И.Ньютона (I.Newton), Г.Лейбница (G.Leibniz), Л.Эйлера (L.Euler), Ж.Лагранжа (J.Lagrange) и других ученых 17-18 века, а его современная база – теория пределов – была разработана О.Коши (A.Cauchy) лишь в начале 19 века.

астроном и физик, президент Лондонского королевского общества с 1703 г.
Разработал

(независимо от Г. Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисления.

. Основатель и президент Берлинского научного общества.
По просьбе Петра I

разработал проекты развития образования и государственного управления в России.
Создатель теории нестандартного дифференциального и интегрального исчисления.

немецкий математик, механик, физик и астроном. Не найдя в Швейцарии

условий для научной деятельности, переехал в 1727 году в Россию. С 1766 академик Петербургской АН. В период политической неустойчивости России, когда наукой пренебрегали перешел на работу в Германию. Вернулся в Россию по приглашению Екатерины Второй.
Автор свыше 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям, небесной механике и гидромеханике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др., оказавших решающее влияние на развитие всех этих и многих других областей науки.

АН, иностранный почетный член Петербургской АН.
Основополагающие труды по математическому анализу,

теории чисел, алгебре,
дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению, .

иностранный почетный член Петербургской АН (1831).
Разработал базу математического анализа

– теорию пределов.
Один из создателей теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.

2, 3, …} – множество натуральных чисел,

Z = {0, ±1,

±2, …} – множество целых чисел,

Q ={p/q, p∈ Z, q∈ N} – множество рациональных чисел,
(состоит из бесконечных периодических десятичных дробей)

J – множество иррациональных чисел (состоит из бесконечных непериодических десятичных дробей),

R = Q ∪ J – множество действительных (вещественных) чисел.

Интервал (a, b) = {x: a < x < b}

Полуинтервалы
[a, b) = {x: a ≤ x < b}, (a, b] = {x: a < x ≤ b}

Бесконечные интервалы (открытые полуоси)
(a, + ∞) = {x: x > a}, (- ∞, b) = {x: x < b}

Бесконечные полуинтервалы (полуоси)
[a, + ∞) = {x: x ≥ a}, (- ∞, b] = {x: x ≤ b}

Промежутки на числовой оси

(выколотая)
ε-окрестность точки а ;
- правая ε-полуокрестность точки

а ;

- левая ε-полуокрестность точки а ;

Пусть ε > 0 – произвольное действительное число.
Введем следующие обозначения:

a

a - ε

a + ε

a

a

a

a - ε

a - ε

a + ε

a + ε

- ε

- ε

+ ε

+ ε

0

0

0

ε-окрестности бесконечно удаленной точки.

называется абсолютной величиной числа а или модулем.

Неравенство ⎜а ⎜≤ δ

эквивалентно неравенствам –δ ≤ а ≤ δ .

Неравенство ⎜а ⎜> δ эквивалентно совокупности неравенств


Перечислим без доказательства основные свойства модуля:
⎜– а ⎜= ⎜а ⎜;
⎜аb ⎜= ⎜а ⎜⋅ ⎜b ⎜;
⎜а ± b ⎜≤ ⎜а ⎜+⎜b ⎜;
⎜⎜а ⎜– ⎜ b ⎜⎜≤ ⎜а – b ⎜.

существует число С1∈R такое, что для всех х∈Х выполняется неравенство

С1≤ x. Число С1 называется нижней гранью множества Х.

Множество Х⊂ R называется ограниченным сверху, если существует число С2∈R, такое что для всех х∈Х выполняется неравенство x ≤ С2. Число С2 называется верхней гранью множества Х.

Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным множеством.

Последнее определение эквивалентно следующему:

Множество Х⊂ R ограничено ⇔ ∃С > 0 : ∀х∈Х → ⎢х ⎢≤ С.

Определение неограниченного множества можно сформулировать как отрицание последнего:

Множество Х⊂ R неограничено, если ∀ С > 0 ∃х∈Х: ⎢х ⎢ > С.

Х⊂ R называется его точной верхней гранью и обозначается через

supX или
(читается «супремум»).
Определение 1. Число М = supX, если:
1) ∀х ∈ Х → x ≤ М;
2) ∀ε >0 ∃ хε∈ Х : М - ε < хε < М.


Наибольшая из нижних граней множества Х⊂ R называется его точной нижней гранью и обозначается через inf X или
(читается «инфимум»).
Определение 2. Число m = inf X, если:
1) ∀х ∈ Х → x ≥ m;
2) ∀ ε >0 ∃ хε ∈ Х : m < хε < m + ε.

М

М - ε

ε

хε

X

хε

X

ε

m + ε

m

(т.е. М – верхняя грань Х)

(т.е. М – наименьшая их верхних граней Х)

х

х

(т.е. m – нижняя грань Х)

(т.е. m – наибольшая их нижних граней Х)

1∉ Х, inf X = 0 ∉ Х;

2) Х =

(0, 1]
supX = 1∈ Х, inf X = 0 ∉ Х;

3) Х = (0, 1)∪{2}
supX = 2 ∈ Х.

АКСИОМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ТОЧНОЙ ВЕРХНЕЙ ГРАНИ.
К известным из школы свойствам вещественных чисел добавим следующее: У всякого непустого, ограниченного сверху множества существует его точная верхняя грань.
Отсюда имеем: У всякого непустого, ограниченного снизу множества существует его точная нижняя грань.

х

х

х

1

1

1

2

0

0

0

X

X

X

⊂ R поставлено в соответствие по некоторому правилу единственное y

∈Y ⊂ R, то говорят, что на множестве Х определена числовая функция действительной переменной х.
Правило, устанавливающее соответствие, обозначают некоторым символом, например f, и пишут
y = f(x), х ∈ Х.
Множество X называют областью определения функции и обозначают D(f). Множество Y называют множеством значений функции и обозначают Е(f).
Для обозначения функции используют также запись вида
f: X→Y.

координат называется множество всех точек плоскости с координатами (х, f(x)).

ПРИМЕР

y = signx =



График функции иногда можно получить преобразованием известного графика другой функции f(x), как показано в таблице:

четной, если для любого x ∈ X выполняются условия:
-

x ∈ X и f(- x) = f(x),
нечетной, если для любого x ∈ X выполняются условия:
- x ∈ X и f(- x) = - f(x).
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

с периодом Т > 0 , если для любого x

∈ X выполняются условия:
x + T∈ X, x - T∈ X и f(x +T) = f(x-T) = f(x).







Ограниченные и неограниченные функции
Функция f(x), называется ограниченной на множестве X, если множество ее значений ограничено, т.е. существует такое число C>0, что для любого x∈ X выполняется неравенство:
⎢f(x) ⎢≤ C.
Функция f(x) не ограничена на множестве X, если последнее условие не выполняется, т.е.
∀С > 0 ∃ xc∈ X: ⎢f(xc) ⎢> C.

Т

х

х+Т

х - Т

если для всех х1, х2 ∈ X, таких что х1

< х2, выполняется неравенство:
f(x1) ≤ f(x2) ( f(x1) < f(x2) ).

Функция f(x) называется убывающей (строго убывающей) на множестве X, если для всех х1, х2 ∈ X, таких что х1 < х2 , выполняется неравенство:
f(x1) ≥ f(x2) (f(x1) > f(x2) ).






Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

х1

х1

х2

х2

f(х2)

f(х2)

f(х1)

f(х1)

Е(f) = [c, d] – область значений функции f(x).
Если

f(x) такова, что для любого уо∈ Е(f), уравнение
f(x) = уо
имеет единственное решение, то эту функцию называют обратимой.
В этом случае, выразив х из формулы у = f(x) и поменяв затем х и у
местами, получим обратную функцию, обозначаемую символом f -1или g:
у = f -1(x) = g(x), x∈ D(g).

y0

x1

x2

a

b

c

d

y = f(x)

x

y

0

y

x

a

b

c

d

y = f(x)

y0

x0

0

к ней:
1. Если g – функция, обратная к f,

то f – функция, обратная к g; при этом
D(g) = Е(f), Е (g) = D (f).
2. g(f(x)) = x ,∀x∈ D (f); f (g (x)) = x, ∀x∈ E(f).
3. Если f – строго монотонная функция, то она обратима.
4. График обратной функции у = g(x), симметричен графику функции
y = f(x) относительно прямой у = х.

y = f(x)

y = g(x)

y

x

y0

y0

x0

x0

y = x

(x0, y0)

(y0, x0)

0