Математический диктант: Сколько точек характеризуют прямую? Верно ли, что через

любую точку пространства можно провести множество прямых, параллельных данной прямой?

Закончите фразу: “Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то другая эту плоскость…


Верно ли утверждение, что две не пересекающиеся прямые в
пространстве, параллельны?


5. Верно ли утверждение, что если две прямые параллельны некоторой
плоскости, то они параллельны друг другу?

31.10.13

(Две. Через одну точку проходит бесчисленное множество прямых).

(Нет. По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой, через точку пространства можно провести единственную прямую).

(Так же пересекает – по лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми).

(Нет. В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые).

(Нет, они могут так же пересекаться и быть скрещивающимися).

образования солнечных теней . Слово проекция в переводе с

латинского означает бросание вперед , вдаль.

геометрические фигуры, причем все чертежи мы по-прежнему выполняем на плоскости

(на странице тетради, на доске и т.д.). Каким образом пространственную фигуру (например, куб) можно «уложить» в плоскость?

Для этого применяется метод параллельного проектирования. Выясним его суть на примере простейшей геометрической фигуры – точки.

Итак, у нас есть геометрическая фигура в пространстве – точка А.

А

l ∩  (она определяет направление
параллельного проектирования).

l

этой прямой с плоскостью и есть проекция точки А на

плоскость . Точку А ещё называют прообразом, а точку А1 – образом. Если А, то А1 совпадает с А.

заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение

(или «проекцию») любой плоской или пространственной фигуры на плоскости.

l



Наглядным примером параллельного проектирования является отбрасываемая любым объектом в пространстве тень от солнечных лучей (направление параллельного проектирования) на Земле (плоскость проекций).

проекцией пространственной фигуры Φ называется множество Φ1 параллельных проекций всех

точек данной фигуры.

Каждой точке A пространства сопоставляется ее проекция A1 на плоскость . Это соответствие называется параллельным проектированием на плоскость  в направлении прямой l.

плоскости проекции
А
l


проектирования параллельно плоскости, которой принадлежит эта плоская фигура, т.к. получающаяся

при этом проекция не отражает свойства данной плоской фигуры.

А

l



B

C

А1

B1

C1

такое параллельное проектирование называется ортогональным(прямоугольным) проектированием.
А
l

B
C
А1
B1
C1

l, то ее проекцией в направлении этой прямой является точка.

Если прямая не параллельна и не совпадает с прямой l, то ее проекцией является прямая.

лежащих на одной прямой (или на параллельных прямых).
В частности,

при параллельном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

не параллельны прямой l, то их проекциями в направлении l

могут быть или две параллельные прямые или одна прямая.

плоскости, параллельной плоскости проекции, то ее проекция F1 на эту

плоскость равна фигуре F

параллельны (||(АВС)), то получающееся при этом изображение равно фигуре.
А
l

B
C
А1
B1
C1

=> A1 B1 ||C1 D1

одной прямой сохраняется;
параллельность прямых (отрезков, лучей) сохраняется;

l
A
D
C
B
A1
D1
C1
B1
Если, например, АВ=2CD, то

А1В1 =2C1D1 или

М

М1

величины углов) не сохраняются (исключение ортогональное проектирование).
2) длины

отрезков не сохраняются, а отношение длин отрезков, лежащих на параллельных или на одной прямой сохраняется;

β

β1

C

C1

параллельна направлению проектирования.
Сколько точек может получиться при параллельном проектировании трех

различных точек пространства?

?

СД – пересекающиеся прямые
Проекция АВ – прямая, а СД –

точка на этой прямой.

то они проектируются или в две параллельные прямые (их плоскость

не параллельна направлению проектирования) (рис. 1), или в две точки (прямые параллельны направлению проектирования) (рис.2), или в одну прямую (их плоскость параллельна направлению проектирования, но сами они не параллельны направлению проектирования) (рис. 3).

?

и ни одна из них не параллельна направлению проектирования и

не лежат в плоскостях, параллельных проектирующей прямой,, то они проектируются соответственно в пересекающиеся прямые (рис.1), если прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования, то они проектируются соответственно в прямую и не принадлежащую ей точку (рис.2), если скрещивающиеся прямые лежат в плоскостях, параллельных проектирующей прямой, то они проектируются в параллельные прямые (рис.3).

1

2

3

?

проектировании длины отрезков?
B1
?

(Если прямая параллельна направлению проектирования).

Справедливо ли утверждение:

“Параллельные прямые не параллельные направлению проектирования, проектируются в параллельные прямые”?

Справедливо ли утверждение: “Параллельные прямые проектируются в параллельные прямые или в одну прямую”?

В пространстве задана прямая. Может ли ее параллельная проекция быть параллельной этой прямой?

Можно ли по проекции точки на плоскость определить положение самой точки в пространстве?

В каких случаях положение прямой в пространстве определяется заданием ее проекции на плоскость?
(Если прямая параллельна направлению проектирования).

(Нет).

(Нет).

(Да ).

(Нет).

треугольник
Произвольный треугольник

(окружность)
Овал (эллипс)

треугольников, два смежных образуют ромб, проекцией которого является произвольный параллелограмм.

Фигура имеет центр симметрии.

Построение.
Строим параллелограмм, выполняем симметрию относительно одной из вершин, соединяем полученные вершины.

?

равнобедренных треугольника ΔFAB и ΔCDE. Построим вначале изображение прямоугольника FBCE

– произвольный параллелограмм FBCE. Осталось найти местоположение двух оставшихся вершин – точек A и D.

Вспомнив свойства правильного шестиугольника, заметим, что: 1) эти вершины лежат на прямой, проходящей через центр прямоугольника и параллельной сторонам BC и FE; 2) OK=KD и ON=NA.

K

N

Значит, 1) находим на изображении точку О и проводим через неё прямую, параллельную BC и FE, получив при этом точки N и K;

O

N

K

2) откладываем от точек N и K от центра О на прямой такие же отрезки – в итоге получаем две оставшиеся вершины правильного шестиугольника A и D.

?

равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник, а затем пользуясь свойствами свойствами

этих фигур и ,конечно же, свойствами параллельного проектирования строим пятиугольник.

A

C

D

E

B

?

отношения отрезков одной прямой сохраняются, т.е. если ВК=КС, то и

В1К1=К1С1 !

?

АВ= 5. Построить изображение С1 D1 высоты СD, опущенной на

сторону АВ.

Исходный треугольник- прямоугольный, и высота СD делит гипотенузу АВ на отрезки АD и DВ , длины которых относятся как квадраты катетов , т.е.
АD : DВ = 9:16. ( В прямоугольном треугольнике отношение проекций катетов на гипотенузу равно отношению квадратов катетов).
По свойству 3 изображение D1 точки D должно делить отрезок А1В1 в том же отношении А1 Д1 : Д1 В1 = 9:16. Поэтому надо разделить А1 В1 в этом отношении ( что делается циркулем и линейкой) и соединить С1 c D1.

?

которой она проведена, боковым сторонам.
1
2
На рис.1 ВD – биссектриса треугольника

АВС, а на рис.2 В1D1 – ее изображение.

треугольник

проекция треугольника

?

Как на параллельной проекции треугольника построить проекцию его биссектрисы?

параллельные хорды b1 и a1.Они являются изображениями параллельных хорд a

и b исходной окружности. Середины А и В соответственно хорд a и b лежат на диаметре. Следовательно, их изображения А1 и В1 лежат на изображении этого диаметра. По свойству 2 точки А1 и В1 - середины хорд a1 и b1 соответственно, их можно построить на нашем изображении. Проведя прямую А1 В1 , получим изображение диаметра d1. Середина О1 отрезка d1 по свойству 3 является искомым изображением центра окружности.

d1

Повтори:
-Диаметр окружности , проходящий через середину хорды, перпендикулярен к ней.
-Диаметр окружности, перпендикулярный к хорде, делит ее по полам.)

?

проекцию)?
Анализ.
Вспомним, что радиус вписанной окружности вдвое меньше радиуса описанной. Значит

сторона треугольника делит радиус окружности пополам и перпендикулярна ему.

Построение.
На изображении окружности строим диаметр, через середину радиуса – перпендикулярную ему хорду. Достраиваем до треугольника.

?

построить центр описанной около него окружности? Перпендикуляр, опущенный из точки

на стороне квадрата, на диагональ квадрата?
На параллельной проекции треугольника постройте биссектрису из вершины В, если треугольник-оригинал имеет размеры АВ=2 см, ВС=6 см, АС= 5 см.
Может ли проекцией трапеции с основаниями 4 см и 8 см быть трапеция с основаниями 2 см и 6 см?
Точки A1, B1 являются параллельными проекциями точек A, B.
AA1 = a, BB1 = b. Точка C делит отрезок AB в отношении m : n. Найдите расстояние между точкой C и ее проекцией C1.

§ 41 №

5, 9, 10.