МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

изменения их значений, принятый при реализации плана эксперимента:

Для двухфакторного эксперимента

область определения представляет собой прямоугольник, рис. а, для трехфакторного — прямоугольный параллелепипед, рис. б, для k-факторного — k-мерный параллелепипед.

их определения устанавливают их уровни. Уровнем фактора называется его значение,

фиксируемое в эксперименте.
Различают верхний, нижний и нулевой уровни. Верхний и нижний уровни соответствуют границам области определения: Xi max и Xi min. Нулевой уровень соответствует середине интервала.


Интервалом варьирования называют величину, равную максимальному отклонению уровня фактора от нулевого:

переменной выбирается таким, чтобы приращение величины выходного параметра y к

базовому значению y* при реализации шага можно было выделить на фоне «шума» при небольшом числе параллельных опытов.
Если нет никаких указаний на величину шага xi, то в первом приближении можно выбрать xi = 0,15x0i, т.е. принять за шаг 15 % - ное отклонение от базового уровня x0i. Такой шаг предоставляет достаточную гарантию того, что фактор xi вызовет заметную реакцию y, если связь между ними существует.

факторами, но упрощенно можно ограничиться следующим:
если интервал составляет менее 10

% от области определения, он считается узким; если не более 30 % – средним; более 30 % – широким.
Точность фиксирования (определения) факторов определяется точностью приборов и стабильностью в ходе опыта. Упрощенно можно полагать, что если погрешность составляет:
< 1 % – высокая точность,
< 5 % – средняя точность,
>10 % – низкая точность эксперимента.

факторов

факторов

факторов

возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом.
Метод полного

факторного эксперимента дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами (x01, x02, … x0n). Перенесем начало координат факторного пространства в эту точку

– масштаб по оси xi.
Иногда величину Xi называют кодированной переменной.

Метод полного факторного эксперимента служит для получения математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора.

Следует отметить, что коэффициенты искомого уравнения определяются на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов , обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут b, подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

описание процесса в виде уравнения

Его называют уравнением регрессии, а входящие

в него коэффициенты – коэффициентами регрессии.
В планировании экспериментов используются, в основном, планы первого и второго порядков.
Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе полного факторного эксперимента варьируют на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и –1.

Опыты, приведенные в табл. соответствуют на факторной плоскости вершинам квадрата

с центром в начале координат.

— таблицы, каждая строка которой соответствует некоторому сочетанию уровней факторов,

которое реализуется в опыте.
Существует несколько приемов построения матрицы. При фиксации каждого фактора только на двух уровнях (–1 и +1), наиболее распространен прием чередования знаков.
Прием состоит в том, что для первого фактора знак меняется в каждой следующей строке, для второго — через строку, для третьего — на каждой четвертой строке и т.д. Построенные таким образом матрицы для двух, трех и четырех факторов приведены в табл.

определения свободного члена полинома b0. Значение фактора X0 всегда равно

+1.
Матрицы ПФЭ обладают рядом свойств, позволяющих проверить правильность их составления:
Свойство симметричности – каждый фактор в матрице на верхнем уровне встречается столько же раз, сколько и на нижнем (алгебраическая сумма элементов вектор – столбца каждого фактора равна нулю)


где j – номер фактора;
N – число опытов.

встречается только на уровнях –1 и +1 (сумма квадратов элементов

каждого столбца равна числу опытов)

3. Свойство ортогональности – суммы почленных произведений двух любых столбцов равны нулю


4. Свойство ротабельности – точки в матрице выбираются так, что точность предсказания параметра одинакова во всех направлениях.

движения к оптимуму нужна линейная модель типа y = b0

+ b1X1 + b2X2.
Наша задача – найти неизвестные коэффициенты, причем эксперимент, содержащий конечное число опытов, позволяет получить только выборочные оценки для коэффициентов уравнения. Их точность зависит от свойств выборки и нуждается в статистической проверке.
Оценки коэффициентов вычисляются по простой формуле

Чем больше коэффициент по абсолютной величине, тем больше влияние на

эксперимент оказывает данный фактор.
Знак плюс говорит о том, что параметр оптимизации увеличивается с увеличением фактора, минус – наоборот.
Планируя эксперимент на первом этапе, мы стремимся получить линейную модель. Однако у нас нет гарантии, что в выбранных интервалах варьирования модель линейна. Один из часто встречающихся видов нелинейности связан с тем, что эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор, то есть просматривается эффект взаимодействия двух факторов.

еще одним столбцом





Дополнительный коэффициент можно представить в виде


Модель будет

выглядеть следующим образом:
y = b0 + b1X1 + b2X2 + b12X1X2.

специальностей) / Сост. Н. Г. Бойко, О. В. Федоров –

Донецк: ДонНТУ, 2007. – 76 с.