Маховое колесо

вращается с частотой ν = 20 об/c. Через время t

Дано:
I = 245 кг·м2
= 20 об/c
t = 1 мин

Mтр - ?
N - ?

Решение

Запишем уравнение основного закона динамики вращательного движения:

В проекциях на ось OX:

Отсюда проекция вектора углового ускорения на ось OX:

Величина углового ускорения постоянна, векторы углового ускорения и угловой скорости направлены противоположно. Проекция угловой скорости колеса на ось OX:

колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с

Для модулей векторов:

уравнений движения получаем систему уравнений:

Величину углового ускорения ε получим из

1. Маховое колесо, момент инерции которого I = 245 кг·м2, вращается с частотой ν = 20 об/c. Через время t = 1 мин после того, как на колесо перестал действовать момент сил М, оно остановилось. Найти момент сил трения Мтр и число оборотов N, которое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия сил. Колесо считать однородным диском.

вращается с частотой ν = 20 об/c. Через время t

Решение (продолжение)

Величину углового перемещения φ выразим через число оборотов, сделанных до остановки, а начальную угловую скорость – через начальную частоту вращения:

После подстановки получим:

Отсюда полное число оборотов колеса до остановки:

Ответ: Мтр = 513 H·м, N = 600.

вращается с частотой ν = 20 об/с. После того как

Дано:
I = 245 кг·м2
= 20 об/c
N = 1000

Mтр - ?
t - ?

Решение

Запишем уравнение основного закона динамики вращательного движения:

В проекциях на ось OX:

Отсюда проекция вектора углового ускорения на ось OX:

Величина углового ускорения постоянна, векторы углового ускорения и угловой скорости направлены противоположно. Угловое перемещение колеса

вращается с частотой ν = 20 об/с. После того как

Величина угловой скорости колеса изменяется как

Колесо остановится, поэтому

Решение (продолжение)

Из двух кинематических уравнений движения получаем систему уравнений:

Величину углового ускорения ε получим из второго уравнения и подставим в первое:

вращается с частотой ν = 20 об/с. После того как

Величину углового перемещения φ выразим через число оборотов, сделанных до остановки, а начальную угловую скорость – через начальную частоту вращения:

Решение (продолжение)

После подстановки получим:

Откуда время движения до остановки:

вращается с частотой ν = 20 об/с. После того как

Решение (продолжение)

Теперь вернёмся к динамическому уравнению движения и найдём величину момента сил трения. Для проекций на ось OX:

Величина момента сил трения

Или, для краткости,

Как было получено ранее,

Теперь

вращается с частотой ν = 20 об/с. После того как

Решение (продолжение)

Ответ: t = 100 c; Мтр = 308 H·м.

которого I = 0,1 кг⋅м2, намотан шнур, к концу которого

Дано:
m = 0,5 кг
I = 0,1 кг·м2
R = 20 cм
h0 = 1 м

t - ?
Ек - ?
Т - ?

Решение

Прежде всего, запишем динамическое уравнение движения груза. Из второго закона Ньютона:

Для проекций на ось OY:

Если учесть, что груз опускается, то

где a - величина (модуль) проекции ускорения на ось OY.

a = const., начальная скорость груза равна нулю, следовательно кинематическое уравнение движения можно записать так:

которого I = 0,1 кг⋅м2, намотан шнур, к концу которого

Решение (продолжение)

Через время t груз окажется на земле (y = 0), поэтому

Величину ускорения можно определить из уравнения второго закона Ньютона

но для этого нужно знать величину силы натяжения нити T.

Запишем уравнение основного закона динамики вращательного движения для барабана:

В проекциях на ось OZ, перпендикулярную плоскости рисунка:

Из третьего закона Ньютона

которого I = 0,1 кг⋅м2, намотан шнур, к концу которого

Решение (продолжение)

Величину углового ускорения ε можно выразить через величину линейного ускорения a:

Теперь можно записать систему уравнений, из которой можно определить a и T:

которого I = 0,1 кг⋅м2, намотан шнур, к концу которого

Решение (продолжение)

Найдём величину линейного ускорения a:

Подставим выражение для a в формулу для времени движения груза:

которого I = 0,1 кг⋅м2, намотан шнур, к концу которого

Ответ: t = 1,1 c; Ek = 0,82 Дж; Т = 4,1 H.

Решение (продолжение)

Кинетическая энергия груза

Скорость груза

где

блок, момент инерции которого I = 50 кг⋅м2 и радиус

Дано:
Mтр = 98,1 Н·м
I = 50 кг·м2
R = 20 cм
ε = 2,36 рад/c2

Т2 – Т1 - ?

Решение

Вращательное движение блока описывается основным законом динамики вращательного движения.

Запишем для блока:

Для проекций на ось OZ, направленную перпендикулярно плоскости рисунка.

Согласно третьему закону Ньютона

блок, момент инерции которого I = 50 кг⋅м2 и радиус

Решение (продолжение)

Из этого уравнения получаем:

Ответ: T2 – T21 =1,08 кН.

блок, момент инерции которого I = 50 кг⋅м2 и радиус

Дано:
Mтр = 98,1 Н·м
I = 50 кг·м2
R = 20 cм
m1 = 1 кг
m2 = 1,5 кг

Т2 – Т1 - ?

Решение

Поступательное движение гирь описывается вторым законом Ньютона, а вращательное движение блока – основным законом динамики вращательного движения.

Запишем для гирь и блока:

Перепишем систему уравнений. Для этого первое и второе уравнения запишем для проекций на вертикальную ось OY, а третье – для проекций на ось OZ, направленную перпендикулярно плоскости рисунка.

можно выразить через величину линейного ускорения a:
Нить нерастяжима, поэтому
3А.

первое и выполним элементарные преобразования в третьем:

3А. Две гири

перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг⋅м2

Разделим первое уравнение на второе:

перекинутой через блок, момент инерции которого I = 50 кг⋅м2

обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости

Решение

Дано:
h = 0,5 м
υ0 = 0

v - ?

Задачу решим с помощью закона сохранения энергии. Любое из трёх перечисленных в условии тел участвует в двух движениях – поступательном с скоростью v и вращательном вокруг своего центра масс. Поэтому кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения.

В системе действуют только консервативные силы (трения нет), поэтому изменение полной механической энергии равно нулю.

обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости

Решение (продолжение)

потенциальная энергия тела в поле силы тяжести уменьшилась.

кинетическая энергия поступательного движения тела увеличилась.

кинетическая энергия вращательного движения тела увеличилась. Здесь ω - угловая скорость вращения тела.

обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости

Решение (продолжение)

Любое из тел катится без проскальзывания, поэтому

По этой общей формуле можно найти скорость любого из трёх тел, для этого достаточно подставить выражение для момента инерции соответствующего тела.

обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости

Решение (продолжение)

1. Шар:

2. Диск:

обруча, скатывающихся без проскальзывания с наклонной плоскости. Высота наклонной плоскости

Ответ: υ1 = 2,65 м/c, υ2 = 2,56 м/c, υ3 = 2,21 м/c; υ = 3,13 м/c.

Решение (продолжение)

3. Обруч:

4. Для тела, соскальзывающего без вращения по наклонной плоскости

0,5 рад/c2 и через время t1 = 15 с после

Решение

Дано:
ε = 0,5 рад/c2
ω0 = 0
t1 = 15 с
t2 = 20 с
L1 = 73,5 кг⋅м2/c

Т - ?

Кинетическую энергию вращающегося колеса можно найти как

где I – момент инерции колеса, ω2 – угловая скорость колеса в момент времени t2.

Колесо вращается равноускоренно, начальная угловая скорость вращения равна нулю.

Величина (модуль) момента импульса колеса

Отсюда

0,5 рад/c2 и через время t1 = 15 с после

Ответ: T=490 Дж.

Решение (продолжение)

Подставим в формулу для кинетической энергии полученные выражения для момента инерции и угловой скорости.

касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию T

Решение

Дано:
m = 5 кг
ω0 = 0
t = 5 с
F = 19,6 Н

Т - ?

Кинетическую энергию вращающегося диска можно найти как

где I – момент инерции диска, ω – угловая скорость колеса в момент времени t.

Сила F создаёт постоянный вращающий момент, что приводит к равноускоренному вращению диска. Основной закон динамики вращательного движения можно записать так:

Для проекций на ось OX (см. рисунок):

Диск вращается равноускоренно, начальная угловая скорость вращения равна нулю,

касательная сила F = 19,6 Н. Какую кинетическую энергию T

Ответ: T=1,92 кДж.

Решение (продолжение)

Момент инерции диска относительно данной оси вращения

горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую минимальную скорость

Дано:
l = 85 см

v - ?

Решение

Если мы сообщим нижнему концу стержня некоторую скорость, он сможет совершить полный оборот вокруг оси, проходящей через точку О.

Если эта скорость минимальная из всех возможных, при которых стержень совершит оборот, то в верхней точке скорость стержня будет очень близка к нулю (рис. 2).

Для определения минимальной скорости, при которой возможен полный оборот стержня применим закон сохранения энергии. Трение в системе отсутствует, поэтому можно считать, что все силы, действующие в системе консервативны.

Изменение потенциальной энергии в поле сил тяжести определим по изменению положения центра тяжести стержня, который совпадает с его геометрическим центром.

горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую минимальную скорость

Решение (продолжение)

Потенциальная энергия стержня в поле сил тяжести увеличилась.

Кинетическая энергия стержня уменьшилась, так как в верхней точке он практически остановился.

Здесь ω - начальная угловая скорость стержня.

Момент инерции стержня относительно точки O

горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую минимальную скорость

Ответ: υ=7,1 м/c.

Решение (продолжение)

вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой ν1 =

Решение

Дано:
m = 100 кг
m0 = 60 кг
ν1 = 10 об/мин

ν2 - ?

На рассматриваемую систему не действуют внешние моменты сил, следовательно её момент импульса сохраняется.

Направлены моменты импульса системы одинаково. Для проекций на вертикальную ось OZ:

В случае, когда человек стоит на краю платформы, момент инерции системы

вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой ν1 =

В случае, когда человек стоит в центре платформы, его момент инерции относительно рассматриваемой оси равен нулю, а момент инерции системы

Решение (продолжение)

Подставим выражения для моментов инерции в закон сохранения момента импульса:

Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением:

вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой ν1 =

Ответ: ν2 = 22 об/мин.

Решение (продолжение)

R = 1 м вращается с частотой ν1 = 20

Решение

Дано:
m = 80 кг
R = 1 м
ν 1 = 20 об/мин
I1=2,94 кгм2
I2=0,98 кг⋅м2

ν2 - ?

На рассматриваемую систему не действуют внешние моменты сил, следовательно её момент импульса сохраняется.

Направлены моменты импульса системы одинаково. Для проекций на вертикальную ось OZ:

Угловая скорость связана с частотой вращения соотношением:

вращается с частотой ν1=20 об/мин. В центре платформы стоит человек

Решение (продолжение)

Частота вращения после изменения момента инерции

Момент инерции системы

Момент инерции диска

R = 1 м вращается с частотой ν1 = 20

Ответ: ν2=21 об/мин.

Решение (продолжение)

платформе массой m = 100 кг. С какой частотой ν

Решение

Дано:
m0 = 60 кг
m = 100 кг
υ0 = 4 км/ч
R = 10 м

ν - ?

На рассматриваемую систему не действуют внешние моменты сил, следовательно её момент импульса сохраняется.

В лабораторной системе отсчёта

- момент импульса системы до начала движения человека;

- момент импульса системы после начала движения человека.

В лабораторной системе отсчёта

- момент импульса платформы;

- момент импульса человека.

платформы в противоположные стороны. Для проекций на вертикальную ось OZ:

В уравнение входит величина проекции скорости человека в лабораторной системе отсчёта, а в условии дана скорость относительно платформы. Найдём величину скорости в лабораторноё системе отсчёта.

Как только человек начнёт движение, платформа начнёт вращаться в противоположном направлении (см. рисунок). Поэтому по закону сложения скоростей

Величина линейной скорости края платформы

11. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой ν будет вращаться платформа, если человек начнет движение по краю платформы вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека − точечной массой. Трения нет.

выражение для величины линейной скорости человека в лабораторной системе отсчёта

Теперь осталось определить угловую скорость вращения платформы из последнего уравнения.

11. Человек массой m0 = 60 кг находится на неподвижной платформе массой m = 100 кг. С какой частотой ν будет вращаться платформа, если человек начнет движение по краю платформы вокруг оси вращения? Скорость движения человека относительно платформы υ0 = 4 км/ч. Радиус платформы R = 10 м. Считать платформу однородным диском, а человека − точечной массой. Трения нет.

имеет форму диска.
11. Человек массой m0 = 60 кг находится

связана с частотой вращения соотношением:
11. Человек массой m0 =