Слайд 1Механические колебания
Физический и математический маятники
Слайд 2Колебания
физического маятника
Физический маятник - произвольное массивное тело,
имеющее неподвижную
ось вращения и совершающее
малые колебания вокруг этой оси.
Слайд 3Колебания физического маятника (1)
Основной закон динамики
вращательного движения :
Момент силы тяжести
Проекция
момента силы тяжести на ось OZ:
Уравнение основного закона динамики
вращательного движения
в проекциях на OZ:
Слайд 4Колебания
физического маятника (2)
Проекцию углового ускорения можно представить как
(векторы углового
перемещения и углового ускорения направлены в противоположные стороны)
Теперь уравнение движения
маятника принимает вид:
При малых углах отклонения маятника a можно считать, что sina=a, поэтому
Слайд 5Колебания
физического маятника (3)
Уравнение аналогично дифференциальному
уравнению колебаний груза на
пружине,
следовательно, его решение можно записать в виде
Убедимся, что эта
функция является решением дифференциального
уравнения, для чего найдем ее вторую производную:
Слайд 6Колебания
физического маятника (4)
Подстановка функции и ее второй производной в
дифференциальное уравнение дает:
Период гармонических колебаний физического маятника
Гармоническая функция является решением
дифференциального уравнения, если
Слайд 7Колебания
физического маятника (5)
Физический маятник совершает гармонические колебания вблизи положения
равновесия.
Период таких колебаний равен
I - момент инерции маятника,
m
- масса маятника,
r - расстояние от оси вращения до центра масс маятника.
Слайд 8Колебания математического маятника
Математическим маятником
называется точечное тело,
подвешенное на невесомой
и
нерастяжимой нити и
совершающее малые колебания.
Очевидно, что математический
маятник является
частным
случаем физического маятника.
Момент инерции математического маятника равен
где l - длина нити (расстояние от точки подвеса до центра масс).
Слайд 9Колебания
математического маятника (2)
Так как математический маятник есть частный случай
физического, воспользуемся дифференциальным
уравнением колебаний физического маятника:
Момент инерции математического маятника
равен
следовательно,
Дифференциальное уравнение колебаний принимает вид:
Слайд 10Колебания
математического маятника (3)
Решением этого уравнения, как было показано ранее,
является функция
- максимальный угол отклонения нити,
- начальная
фаза колебаний.
Следовательно, математический маятник совершает малые гармонические колебания с циклической частотой
где a - угол отклонения маятника от вертикали,
и периодом
Слайд 11Колебания
математического маятника (4)
Формула периода колебаний математического маятника
впервые была
получена Х. Гюйгенсом и носит его имя.
Гюйгенс Христиан (1629 –
1695), нидерландский ученый. Изобрел (1657) маятниковые часы, установил законы колебаний математического и физического маятников.Создал (1678, опубликовал 1690) волновую теорию света, Совместно с Р. Гуком установил постоянные (реперные) точки термометра. Усовершенствовал телескоп. Открыл кольцо у Сатурна и его спутник Титан. Автор одного из первых трудов по теории вероятностей (1657).
Слайд 12Приведенная длина физического маятника
Период колебаний математического маятника определяется по
формуле
Если длина математического маятника
Период колебаний физического маятника равен
Пусть
, тогда
откуда
то периоды математического и физического маятников совпадают.
Слайд 13Приведенная длина физического маятника (2)
Приведенной длиной физического маятника называется длина
такого математического маятника, у которого период колебаний равен периоду колебаний
данного физического маятника.
I - момент инерции физического маятника относительно
его оси вращения, m - масса физического маятника,
r - расстояние от оси вращения до центра масс физического
маятника.
Слайд 14Электромагнитные
колебания
Незатухающие колебания
в колебательном контуре
Слайд 15Физические процессы в колебательном контуре
1. Конденсатор заряжен.
Возникает разность потенциалов.
Начинает течь
ток.
2. Ток разрядки конденсатора
нарастает. В катушке возникает
ЭДС самоиндукции.
Ток можно
представить, как разность токов
разрядки и индукционного тока.
Заряд конденсатора уменьшается.
Слайд 16Физические процессы в колебательном контуре
3. Конденсатор разрядился.
В катушке возникает
индукционный ток, приводящий к перезарядке конденсатора.
4. Конденсатор начинает заряжаться
зарядом противоположного
знака.
Индукционный ток уменьшается.
Слайд 17Физические процессы в колебательном контуре
5. Конденсатор перезарядился.
Процесс начинается в обратном
направлении.
Последовательность
процессов в колебательном контуре
за половину периода незатухающих колебаний
Слайд 18Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний в колебательном контуре
Когда конденсатор заряжен, напряжение
на нем можно выразить, используя закон Ома:
где ε - ЭДС
самоиндукции, возникающая в катушке, i - сила тока, R - сопротивление катушки. Как правило, R мало и им можно пренебречь.
Слайд 19Дифференциальное уравнение незатухающих колебаний в колебательном контуре
Напряжение на конденсаторе
Знак «-»
означает, что протекание тока в цепи связано с убыванием заряда
конденсатора (по цепи проходит тот заряд, который ушел с обкладок конденсатора)
Слайд 20Уравнение незатухающих электромагнитных колебаний
Дифференциальное уравнение можно переписать в виде
Или
где
Полученное уравнение
аналогично уравнениям колебаний пружинного маятника, физического маятника и т.д. Его
решением тоже должна быть гармоническая функция
Слайд 21Заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону, q0 - максимальный заряд
конденсатора.
Ток в цепи
Напряжение на конденсаторе
Уравнение незатухающих электромагнитных колебаний
Слайд 22Формула Томсона.
Циклическая частота всех этих гармонических колебаний одинакова. Она равна
Колебания
тока и напряжения отличаются по фазе на
Слайд 23Формула Томсона.
Период колебаний
(формула Томсона).
Джозеф Джон Томсон
Уильям Томсон
(лорд Кельвин)
Слайд 24Изменение тока и напряжения в процессе незатухающих колебаний в колебательном
контуре.
Моменты времени t1, t2, t3, t4 и t5 на графике
соответствуют рисункам 1-5.
Слайд 25Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний
в колебательном контуре.
Напряжение на конденсаторе изменяется по закону
Потенциальная энергия электрического
поля конденсатора
Слайд 26Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний
в колебательном контуре.
Сила тока в катушке изменяется по закону
Потенциальная энергия
магнитного поля катушки
Слайд 27Изменение энергии электрического и магнитного полей в процессе незатухающих колебаний
в колебательном контуре.
Так как
Слайд 28Аналогия
между механическими и
электромагнитным колебаниями