МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ

УРАВНЕНИЙ

начальными условиями y(x0)=y0. Будем искать решение этого уравнения на отрезке

[x0; b].
Разобьем этот отрезок на n равных частей. Тогда получим систему равноотстоящих узлов
a=x0 , x1=x0+h, x2=x1+h, …, xn=b.
Здесь h=(b-a)/n – шаг интегрирования.
Численные методы дают возможность найти в некотором числе точек x1, x2, …, xn приближения y1, y2, …, yn для значений точного решения y(x1), y(x2), …, y(x0) .
Наиболее простым методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем является

условиями y(x0)=y0 .
Пусть y=y(x) – искомое точное решение. Интегральная

кривая проходит через точку (x0,y0).
Найдем приближенные значения функции в точках x1, x2, …, xn.
Построим систему равноотстоящих точек a=x0, x1=x0+h, …, xn=b.
Проведём прямые x=x0, x=x1, …, x=b.

x1

x2 b

y2

y1






y0

A

принадлежит искомой кривой – это точка А (x0,y0). Заменим дугу

искомой кривой y=y(x) на отрезке [x0,x1] касательной к ней, проведенной в точке (x0,y0). В качестве y1 возьмём ординату точки пересечения прямой x=x1 к касательной.
Очевидно y1=y0+h•tgα0. Но tgα0=y'(x0), т.е. y1=y0+h•y'(x0). Но из уравнения (1) следует, что
y'(x0)=f(x0,y0).
Итак, получаем y1=y0+h•f(x0,y0), x1=x0+h .

точке опять проведём касательную к графику функции до пересечения с

прямой x=x2 .
Тогда аналогично:
y2= y1+ h f(x1,y1); x2= x1+ h .
Продолжая и так далее, получим систему значений y1,y2,…,yn, которые и будут приближенными значениями функции y=y(x) в точках x1,x2,…xn.
Итак, расчётные формулы метода Эйлера: ym+1= ym+ h f(xm,ym)
xm+1= xm+ h

ищем на отрезке [x0,xn].

Пусть нам известны координаты некоторой точки, принадлежащей

искомому решению (xm,ym). Найдём средний тангенс угла наклона касательной для двух точек:
(xm,ym) и (xm+h, ym+hf(xm,ym) ).

Последняя точка, есть та самая, которую в методе Эйлера мы обозначаем (xm+1,ym+1), но здесь эта точка будет вспомогательной (xm+1, ỹm+1)/

xm+1
α2
A
L2
L1
L
ỹm+1



ym+1



ym

α1

прямой L1, тангенс угла наклона которой tgα1= f(xm,ym). В этой

точке снова вычисляется тангенс угла наклона касательной L2
tgα2= f(xm+h, ym+hf(xm,ym))
Затем через точку (xm,ym) проводим прямую L, тангенс угла наклона которой равен (tgα1+tgα2)/2. Точка, в которой L пересекается с прямой x=xm+1 и будет искомой (xm+1,ym+1). Таким образом, ym+1 есть искомое приближение значений функции на данном шаге интегрирования.
Расчетные формулы метода Эйлера-Коши следующие:
ỹm+1= ym+hf(xm,ym);
ym+1= ym+(h/2)·[f(xm,ym)+f(xm+1,ỹm+1)];
xm+1= xm+h.

начальными условиями у(x0)=y0.
Ищем решение на отрезке [x0,xn].
Пусть имеем точку

(xm,ym), принадлежащему искомому решению. Для того, чтобы найти следующую точку проведем касательную к кривой в точке (xm,ym) до пересечения с прямой x=xm+0.5, где xm+0.5=xm+h/2. Тогда получим координату (по формуле Эйлера)
ym+0.5=ym+h/2·f(xm,ym).

(прямая L).
Через точку А проведём прямую L'||L. Ординату точки

пересечения прямых L' и x=xm+1 возьмём в качестве ym+1.
Таким образом,
ym+0.5= ym+h/2·f(xm,ym), xm+0.5=xm+h/2
ym+1= ym+h·f(xm+0.5,ym+0.5), xm+1=xm+h

методов интегрирования дифференциальных уравнений.
Для одиночного дифференциального уравнения y'= f(x,y),

y(x0)=y0 расчётные формулы имеют следующий вид:
ym+1= ym+h/6(k1+2k2+2k3+k4),
где k1= f(xm,ym);
k2= f(xm+h/2,ym+hk1/2);
k3= f(xm+h/2,ym+hk2/2);
k4= f(xm+h,ym+hk3);
xm+1= xm+h.