Слайд 1Мультимедийные лекции по физике
Классическая и релятивистская механика
План лекции
4.1. Механическая работа.
4.2. Консервативные и неконсервативные силы.
4.3. Полная механическая энергия.
4.4. Кинетическая энергия и её связь с работой.
4.5. Потенциальная энергия и её связь с работой.
4.6. Связь потенциальной энергии с консервативной силой.
Тема 4. МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА И ЭНЕРГИЯ
Слайд 34.1. Механическая работа
Опыт показывает, что различные формы движения
материи способны к взаимным превращениям.
В тепловой машине хаотическое молекулярное
движение превращается (частично) в упорядоченное механическое.
При движении с трением механическое движение превращается в хаотическое молекулярное.
Слайд 4Установлено, что все взаимные превращения различных форм движения материи происходят
в строго определенных количественных соотношениях.
«Исчезновение» одной формы движения всегда сопровождается
«возникновением» эквивалентного количества движения другой формы.
Работа – это физическая величина, характеризующая процесс превращения одной формы движения в другую.
Слайд 5Работа силы
В механике принято говорить, что работа совершается силой, поскольку
наличие силы, наличие взаимодействия тел является необходимым признаком работы.
Работа
– скалярная величина, измеряемая в Дж (джоулях)
Слайд 6Элементарная работа dA , совершаемая силой , равна скалярному произведению
силы на элементарное перемещение
точки приложения силы
Полная работа при конечном перемещении равна алгебраической сумме элементарных работ и определяется интегралом
и – радиус-векторы начального и конечного положения точки приложения силы.
Слайд 7Выразим элементарное перемещение через мгновенную скорость :
Тогда
Интегрируя по времени,
получим работу силы за конечный промежуток времени
:
Слайд 8Распишем скалярное произведение
И учтём, что
.
Тогда элементарная работа силы запишется как
α – угол между направлением силы и направлением движения в каждой точке.
Слайд 9Обозначим проекцию силы на направление движения:
Тогда
.
В ряде случаев приведенные интегралы вычисляются просто.
Так, если в процессе перемещения сила не изменяется и движение является прямолинейным, то
Слайд 10Работа силы тяжести:
2. Работа силы реакции опоры:
3. Работа силы трения:
4.
Работа силы F:
Слайд 11Графическое изображение работы
Если FS = const , то графиком FS
будет прямая, параллельная оси S.
Работа силы на пути S12
численно равна площади заштрихованного прямоугольника: A12 = Fs S12.
Слайд 12Если FS ≠ const, то графиком FS будет некоторая кривая.
Слайд 13
Полная работа силы на пути S12 в этом случае
равна площади заштрихованной криволинейной трапеции:
Элементарная работа δA равна площади узкой
полоски.
Слайд 15Мощность
Мощность:
характеризует быстроту совершения работы;
равна работе, совершаемой за единицу времени;
- величина скалярная, измеряемая в Вт (ваттах).
Различают среднюю и
мгновенную мощность.
Слайд 16Средняя мощность за промежуток времени
равна
А12 – работа, совершаемая за время Δt.
Мгновенная
мощность равна
и учитывая, что
получим
.
Мгновенная мощность равна скалярному произведению силы на скорость.
Слайд 184.2. Консервативные и неконсервативные силы
Консервативными называются силы, работа которых:
-
не зависит от формы пути, по которому материальная точка переходит
из некоторого начального положения в конечное.
- по замкнутой траектории равна нулю.
Найдём работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения 1 в положение 2
по двум разным траекториям S1а2 и S1б2
Слайд 20
Искомые работы соответственно равны
и
Будем считать, что сила одинакова во всех точках рассматриваемой области пространства.
Вынесем за знаки интегралов.
и
Слайд 21
Получили, что , двигаясь из положения 1 в положение
2 по разным траектории 1а2 и 1б2, точка
совершает одно и то же перемещение ,
следовательно, работы одинаковы:
А1a2 = А1b2.
Таким образом, сила тяжести – консервативная сила.
Консервативной является также сила упругости.
Слайд 22Неконсервативные силы
Неконсервативной называется сила, работа которой зависит от формы пути,
по которому материальная точка переходит из начального положения в конечное.
В
механике неконсервативной силой будет являться сила трения.
Слайд 23 Найдем работу силы трения, действующей на тело при перемещении
его из точки 1 в точку 2 по горизонтальной поверхности
по двум разным путям S1a2 и S1b2 .
тр
тр
Слайд 24Искомые значения работ соответственно равны:
Направление силы трения в процессе перемещения
тела изменяется, поэтому выносить за знак интеграла
нельзя.
Слайд 25
Так как в любой точке
траектории направлена противоположно , то проекция
на
одна и та же во всех точках траектории и её можно
вынести за знак интеграла.
, то
и
Таким образом, сила трения скольжения - неконсервативная сила
Слайд 27Силовое поле, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным.
К потенциальным
полям относится гравитационное и электростатическое поле.
Силовое поле, в котором действуют
неконсервативные силы, называется вихревым.
К вихревым полям относится магнитное поле.
В этом поле действуют неконсервативные сила Ампера и Лоренца.
Слайд 284.3. Полная механическая энергия
Способность различных форм движения к
взаимным превращениям привели к мысли о том, что должна существовать
единая мера различных форм движения.
Эта мера характеризует любое движение с точки зрения возможностей превращения его в другие формы.
Полная механическая энергия – единая мера различных форм движения материи и типов взаимодействия материальных объектов.
Слайд 29Полная механическая энергия является однозначной, непрерывной, конечной, дифференцируемой функцией состояния
объекта.
Функция состояния – такая физическая характеристика объекта, изменение которой при
переходе объекта из одного состояния в другое не зависит от пути перехода и целиком определяется параметрами начального и конечного состояний.
Слайд 30Материальные объекты:
- могут участвовать в разных взаимодействиях;
могут участвовать в
различных формах движения;
могут перемещаться в пространстве;
в них могут происходить различные
процессы
(молекулярные, электромагнитные, ядерные и др.).
Обычно изменения, обусловленные участием объекта в различных типах взаимодействий и формах движения, рассматривают отдельно.
В связи с этим энергию определяют как сумму нескольких слагаемых, каждое из которых зависит только от одного или двух параметров.
Слайд 31Полная механическая энергия
Механическое состояние объекта характеризуется двумя параметрами – радиус-векторами
материальных точек, из которых он состоит, и их скоростями (импульсами).
Поэтому полная механическая энергия объекта является функцией координат и скоростей материальных точек.
Часть полной энергии, которая определяется скоростями точек объекта, принято называть кинетической энергией.
Часть полной энергии, которая зависит от их координат принято называть потенциальной энергией.
Слайд 32Полная механическая энергия равна сумме кинетической энергии взаимодействия частей тела
и потенциальной энергии взаимодействия тела с внешними телами.
Слайд 334.4. Кинетическая энергия и её связь с работой
Пусть на
материальную точку с массой m действует сила
.
Найдем работу этой силы за время, в течение которого модуль скорости точки изменяется от v1 до v2.
Элементарная работа силы равна
Слайд 34Преобразуем это выражение:
Найдем скалярное произведение вектора скорости
на его приращение
.
,
где α – угол между векторами .
Поскольку угол между векторами равен 00, то .
Тогда элементарная работа запишется как
Слайд 36Полная работа, совершаемая силой при изменении скорости
точки от v1 до v2, равна интегралу:
или
.
Получили, что работа силы:
1) не зависит от формы пути перехода материальной точки из начального состояния со скоростью v1 к конечному состоянию со скоростью v2;
Слайд 372) не зависит от способов, посредством которых было достигнуто данное
изменение скорости;
3) не зависит от того, каковы были промежуточные состояния:
а)
быстро или медленно изменялась скорость,
б) постоянная или переменная сила действовала на точку,
в) по прямолинейной или криволинейной траектории она перемещалась.
Величина есть приращение некоторой функции ЕК механического состояния точки, зависящей от скорости.
Слайд 38
Кинетическая энергия определяется формулой:
Изменение кинетической энергии равно работе силы:
Слайд 39Кинетическая энергия при поступательном движении
Кинетическая энергия:
функция механического состояния;
- зависит
от массы материальной точки и квадрата её скорости.
Изменение кинетической энергии
равно работе любых (внутренних и внешних, консервативных и неконсервативных) сил:
ЕК
ЕК
m
V
Слайд 40Кинетическая энергия при вращательном движении
Найдем работу, совершаемую внешней силой при
повороте твердого тела на некоторый угол вокруг неподвижной оси.
Слайд 41Элементарная работа силы ,
действующей на тело, равна
α – угол между векторами и .
проекция вектора силы на направление вектора .
.
Тогда .
Но Fτ ⋅ r = Mz
– момент силы относительно оси Z, совпадающей с направлением углового перемещения.
Если угол α – острый:
cosα > 0 Fτ > 0, то и Мz > 0,
Если угол α – тупой:
cosα < 0 Fτ < 0 , то и Mz < 0.
Элементарная работа силы при вращательном движении равна скалярному произведению момента этой силы относительно оси вращения на элементарное угловое перемещение тела.
Полная работа силы при повороте тела на конечный угол:
Слайд 44 Получим выражение для кинетической энергии вращательного движения твердого тела
в другом виде.
Запишем
.
Но ранее показано, что , где
Тогда
Интегрируя, получим
Слайд 45Как показано ранее, работа всех действующих на тело сил, равна
приращению кинетической энергии этого тела А = ΔΕΚ .
Поэтому
выражение
представляет собой кинетическую энергию вращательного движения твердого тела.
Эту формулу можно получить иначе.
Слайд 46Кинетическая энергия, которой обладает тело, складывается из кинетических энергий отдельных
его точек.
Разобьем вращающееся тело на элементы массой dm, отстоящие на
расстоянии r от оси вращения.
Тогда кинетическая энергия каждого элемента равна
Слайд 47Так как v = ω r ,
то
.
Кинетическая энергия всего тела найдется интегрированием:
– момент инерции тела,
то для кинетической энергии вращательного движения получаем выражение:
.
ЕК
J
ЕК
w
Слайд 49Если тело одновременно движется поступательно и вращается вокруг оси, проходящей
через центр масс и сохраняющей неизменную ориентацию в пространстве, то
кинетическая энергия такого движения равна сумме энергий поступательного и вращательного движений:
Слайд 50Свойства кинетической энергии
Кинетическая энергия – однозначная, конечная, непрерывная, дифференцируемая функция
механического состояния объекта.
2. Кинетическая энергия не может быть отрицательной.
3. Кинетическая
энергия – величина аддитивная: кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий отдельных тел.
Слайд 514. Изменение кинетической энергии равно работе всех действующих на тело
сил – и консервативных и неконсервативных.
Если работа сил положительна,
то кинетическая энергия тела возрастает, если отрицательна – уменьшается.
5. Тело, обладающее кинетической энергией, способно передать её другим телам, т.е. совершить работу.
В этом смысле говорят об энергии, как о способности тела совершать работу.
Слайд 524.6. Потенциальная энергия и её связь с работой
Вычислим работу
консервативной силы тяжести Р = mg.
Пусть материальная точка с массой
m переместилась по произвольной траектории из точки 1 в точку 2, отстоящих от поверхности Земли соответственно на расстояниях h1 и h2
Слайд 54Перемещение из точки 1 в точку 2 может происходить по
любой траектории: по пути а или по пути б.
Слайд 55Совершенная при этом работа равна
– перемещение точки.
Сделаем дальнейшие преобразования:
– проекция перемещения на направление вектора .
Проекцию выразим через приращение высоты
Так как , а , то
Слайд 57Тогда для работы силы тяжести получим выражение:
Заметим, что работа силы
тяжести:
-зависит только от модуля и от начального и
конечного положений материальной точки (от h1 и h2),
- не зависит от формы траектории, по которой происходит движение.
Слайд 58
Следовательно, разность
есть
изменение (убыль) некоторой функции состояния En , зависящей от положения материальной точки относительно Земли.
Тогда выражение для работы можно представить в виде
или кратко
Слайд 59Получили, что взаимная потенциальная энергия материальной точки и земли (
по - другому, потенциальная энергия тела, поднятого над землёй) определяется
формулой:
Потенциальная энергия гравитации, обусловленная взаимодействием тел космических масштабов, определяется по формуле:
- расстояние между центрами тяжести тел.
Слайд 60Работа силы упругости
Работа упругой силы при растяжении или сжатии пружины
равна
По закону Гука:
k - коэффициент жёсткости пружины,
– деформация пружины.
Слайд 61
Вычислим интеграл
Работа упругой силы:
- не
зависит от того
как произошло изменение длины пружины;
быстро или медленно;
равномерно или
с остановками.
- определяется только начальной и конечной деформацией пружины.
Слайд 62Работа упругой силы:
Разность величин в правой части
выражения есть изменение (убыль) некоторой функции состояния пружины Еп , зависящей от взаимного расположения частей пружины.
Тогда работа упругой силы
Потенциальная энергия деформированной пружины:
Слайд 63Чаще выражение для потенциальная энергия упруго деформированной пружины пишут в
виде (х – деформация, k – жесткость пружины):
Слайд 64
Общий вывод: какой бы ни была по своей природе консервативная
сила, её работа всегда равна убыли потенциальной энергии тех тел,
между которыми действует эта сила.
Слайд 65Свойства потенциальной энергии
1. Потенциальная энергия – однозначная, конечная, непрерывная, дифференцируемая
функция состояния механического объекта.
2. Потенциальная энергия может быть только взаимной:
она в одинаковой степени характеризует оба взаимодействующих тела или все взаимодействующие тела (если их несколько).
3. Числовое значение потенциальной энергии определяется с точностью до произвольной постоянной, значение которой зависит от выбора нулевого уровня (начала отсчета) потенциальной энергии.
Слайд 66Нулевой уровень можно выбирать где угодно.
Обычно на бесконечном расстоянии между
телами, т.е. там, где сила их взаимодействия равна нулю.
4. Практически
имеет значение только изменение потенциальной энергии, поскольку оно не зависит от выбора нулевого уровня.
Слайд 67
5. Потенциальная энергия может иметь как положительное, так и отрицательное
значение (это как раз связано с произвольностью выбора нулевого уровня).
6.
Не всякое состояние и не всякое взаимодействие можно описывать при помощи потенциальной энергии.
7. Состояние взаимодействующих тел можно охарактеризовать потенциальной энергией только в том случае, если между телами действуют консервативные силы.
Слайд 684.7. Связь потенциальной энергии с консервативной силой
Между потенциальной
энергией материальной точки и консервативной силой, действующей на точку и
обусловливающей наличие этой энергии, существует связь.
Слайд 69Если в каждой точке пространства на материальную точку действует консервативная
сила,
то говорят, что точка находится в потенциальном поле сил.
Если материальная
точка переместилась в потенциальном поле в произвольном направлении r, то консервативная сила совершит при этом работу:
где – проекция силы на направление .
Слайд 70Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии:
Приравнивая правые части, получим
Проекция консервативной силы на произвольное направление r равна по абсолютной величине и противоположна по знаку производной от потенциальной энергии по этому направлению.
Слайд 71Полученное соотношение справедливо для любого направления в пространстве, в частности,
для осей Х, У, Z декартовой системы координат.
Слайд 72Зная проекции силы, можно найти сам вектор силы:
– орты координатных осей X, Y, Z.
Слайд 73Вектор, стоящий в правой части этого выражения, называется градиентом функции
потенциальной энергии и обозначается qrad Eп.
Понятие градиента вводится для
любых векторных величин, значение модуля которых зависит от направления в пространстве.
Градиент любой функции – это вектор, направленный в сторону возрастания функции и численно равный изменению функции на единичном расстоянии.
Слайд 74
Градиент потенциальной энергии:
вектор, направленный в сторону возрастания потенциальной энергии;
численно
равен приращению потенциальной энергии, приходящейся на единицу длины этого направления.
Мы
получили, что .
Консервативная сила, действующая на материальную точку, равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии этой точки.
Слайд 75В заключение отметим, что две формулы выражают связь консервативной силы
с потенциальной энергией и наоборот.
Слайд 76Рисунок отражает указанные выше соотношения для силы тяжести и потенциальной
энергией в гравитационном силовом поле.
mg
EП = mgh
