Множество и его элементы

собранием каких-либо объектов, которые называются элементами этого множества и обладают общим для

всех их характеристическим свойством.
Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. 

Основы теории конечных и бесконечных множеств были заложены Бернардом Больцано, который сформулировал некоторые из её принципов.

значений функции.

основных понятий математики и поэтому не определяется через другие.
Множества принято

обозначать прописными буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z.

Множество, не содержащее ни одного объекта, называется пустым и обозначается так: Ø

Объекты, из которых образованно множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …

Множества бывают конечными (множество дней в неделе, месяцев в году) и бесконечными (множество натуральных чисел, точек на прямой)

множество всех целых чисел
Q – множество всех рациональных чисел
R –

множество всех действительных чисел

А состоит из чисел 1,3,5,7 и 9, то мы зададим

это множество, т.к. все его элементы оказались перечисленными. При этом используется следующая запись: {1,3,5,7,9}

Такая форма задания множеств применяется в том случае, когда оно имеет небольшое количество элементов.

свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает

ни один элемент, который ему не принадлежит.
Например, множество А={1,3,5,7,9} можно задать через характеристическое свойство – множество однозначных, нечетных натуральных чисел.

Так множества обычно задают в том случае, когда множество содержит большое количество элементов или множество бесконечно.

больших 3 и меньших 10 можно записать таким образом:

А =

{ х|х Є N , 3 < x < 10}

А

это

множество

всех

натуральных
чисел

больших

меньших

e}

B={b, d, k, m}

Эти множества имеют общие элементы. В этом

случае говорят, что множества пересекаются.

Множества А и В называются пересекающимися, если они имеют общие элементы.

Отношения между множествами наглядно представляют с помощью особых чертежей, называемых кругами Эллера.

А

В

a c
e

k m

b d

e}

B={k, m, n, f}

Множества не имеют общих элементов. В

этом случае говорят, что множества не пересекаются.

Множества А и В называются непересекающимися, если они не имеют общих элементов

А

В

a b c
d e

k m
n
f

d}
Эти множества называются пересекающимися, и, кроме того, каждый элемент множества

В являются элементом множества А.

В этом случае говорят, что множество В является подмножеством множества А и пишут: В ⊂ А

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
Пустое множество является подмножеством любого множества. Ø ⊂ А
Любое множество является подмножеством самого
себя. А ⊂ А

b c dИ

А

В

a e

d, a, b, e}

Эти множества пересекаются, причем каждый элемент

множества А является элементом множества В (А ⊂ В), и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А (В ⊂ А).

В этом случае говорят, что множества равны и пишут:
А = В.

Множества А и В называются равными, если А ⊂ В и В ⊂ А

А

В

a b
c
d e

множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству

А и множеству В.

А={2,4,6,8}
В={5,6,7,8,9}

С=А∩В
С={6,8}

2
4

6
8 7 5
9

А

В

те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или

множеству В.

А={2,4,6,8}
В={5,6,7,8,9}

С=А∪В
С={2,4,5,6,7,8,9}

2
4 6 8

5
7
9

А

В

те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и

не принадлежат множеству В.

А\В={х|х Є А и х ∉ В}







Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее те и только те элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

a
d

А

В

b
c

{0 , -2,2}
4 и -12

{4, -12}
14/3 и 1,2 {14/3, 1,2}
0 и -2,2 {0, -2,2}
Нет корней Ø
1 и 4 множества равны, т.к. состоят из одинаковых элементов.

Следует обратить внимание на разницу в записях (a; b) и {a, b}.
Запись (a; b) представляет собой упорядоченную пару, в которой важно, на каком месте находится каждый из элементов,
а запись {a, b} — множество, в котором порядок записи элементов не имеет значения.