Разделы презентаций


Нестационарная теплопроводность

Содержание

Условия однозначности процесса задаются в виде: – физических параметров – коэффициента теплопроводности, удельной теплоемкости, плотности, формы и геометрических размеров объекта;– начальных условий – температуры тела в начальный момент времени – граничных

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Нестационарная теплопроводность
Процесс теплопроводности, когда поле температур в теле изменяется

не только в пространстве, но и во времени называется нестационарным


.
На практике процессы нестационарной теплопроводности подразделяются на два класса:
– нагреваемое или охлаждаемое тело стремится к тепловому равновесию;
– температура тела претерпевает периодические изменения.
К первому классу относятся процессы нагрева или охлаждения твердых тел, которые помещаются в среду с заданным тепловым состоянием.
Ко второму классу – процессы в периодически действующих подогревателях, например, регенераторах.
Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид:

Нестационарная теплопроводность Процесс теплопроводности, когда поле температур в теле изменяется не только в пространстве, но и во

Слайд 2Условия однозначности процесса задаются в виде:
– физических параметров –

коэффициента теплопроводности, удельной теплоемкости, плотности, формы и геометрических размеров объекта;

начальных условий – температуры тела в начальный момент времени

– граничных условий в виде:

– значение соответствующей координаты.

Иногда начальные и граничные условия объединяются под названием «краевые условия».

Условия однозначности процесса задаются в виде: – физических параметров – коэффициента теплопроводности, удельной теплоемкости, плотности, формы и

Слайд 3Охлаждение неограниченной пластины
Рассмотрим неограниченную пластину (толщина пластины значительно меньше ее

длины и ширины) толщиной
Примем одинаковыми условия теплоотдачи во всех

точках пластины. Тогда изменение температуры происходит только в направлении

Таким образом, задача может рассматриваться как одномерная.

К охлаждению плоской неограниченной пластины

Будем считать, что охлаждение пластины происходит в среде с постоянной температурой

(граничные условия второго рода). Начальное распределение температуры в пластине запишем в виде:

Введем обозначение

Уравнение теплопроводности примет вид:

Охлаждение неограниченной пластиныРассмотрим неограниченную пластину (толщина пластины значительно меньше ее длины и ширины) толщиной Примем одинаковыми условия

Слайд 4При начальных условиях
Поскольку на обеих сторонах пластины отвод теплоты

одинаковый, то задача становится симметричной и начало координат можно поместить

в центре пластины. Тогда граничные условия примут вид:

при

при

Для решения уравнения теплопроводности используем метод разделения переменных Фурье, т.е. ищем решение в виде произведения двух функций, одна из которых является функцией только времени, а вторая – только координаты:

Тогда:

Или

Или

При начальных условиях Поскольку на обеих сторонах пластины отвод теплоты одинаковый, то задача становится симметричной и начало

Слайд 5Постоянную
выбираем из граничных условий, а знак «-» выбираем

из физических соображений, т.к. это очевидно для тепловых процессов, стремящихся

к равновесному состоянию. Таким образом, проводим ряд преобразований системы

Или

Или

При

Принимая

Или

Или

И окончательно:

Тогда:

Полученное решение принадлежит дифференциальному уравнению теплопроводности при любых

Постоянную выбираем из граничных условий, а знак «-» выбираем из физических соображений, т.к. это очевидно для тепловых

Слайд 6Учитывая граничные условия, имеем:
При
Или
Это возможно только при
, т.е.

при
Таким образом, частное решение
должно быть отброшено, как не

удовлетворяющее заданным граничным условиям. Если обозначить

, тогда решение будет иметь вид:

Далее рассмотрим граничное условие при

Тогда

Умножая числитель и знаменатель на

, получаем:

Принимая во внимание, что

(число Био), и обозначая

Учитывая граничные условия, имеем:При ИлиЭто возможно только при , т.е. при Таким образом, частное решение должно быть

Слайд 7Получаем трансцендентное уравнение:
При каждом значении
существует бесконечное множество

решений. Для поиска решения используется графоаналитический метод (рис.). Обозначим
Пересечение

графиков этих функций дает значение корней характеристического уравнения

Из рисунка видно, что существует бесконечное множество решений, причем каждое последующее больше предыдущего и каждому значению


соответствует свой набор значений

Если

возрастает, то прямая

стремится к оси абсцисс; если

то прямая

совпадает с осью абсцисс. При

прямая

совпадает с осью ординат. Таким образом, любому значению

Получаем трансцендентное уравнение: При каждом значении существует бесконечное множество решений. Для поиска решения используется графоаналитический метод (рис.).

Слайд 8будет соответствовать свое распределение температуры:
. . . . . .

. . . . . . . . . .

. .

Несмотря на то, что полученные решения удовлетворяют, но ни одно не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени. Одновременно при наложении бесконечного числа таких распределений можно воспроизвести любую температурную зависимость в начальный момент времени. Иначе говоря, решение можно представить суммой бесконечного ряда:

будет соответствовать свое распределение температуры:. . . . . . . . . . . . .

Слайд 9Откуда определим начальное распределение температуры, учитывая начальные условия
Уравнение есть

не что иное, как разложение четной функции в ряд Фурье,

откуда:

Умножим (1) на

(1)

и проинтегрируем по

от

до

или

Откуда определим начальное распределение температуры, учитывая начальные условия Уравнение есть не что иное, как разложение четной функции

Слайд 10Тогда выражение для
примет вид:
После преобразований:
Уравнение определяет температурное

поле для любого момента времени при любом начальном распределении температуры.

Если при

температура

, то:

Тогда выражение для примет вид: После преобразований: Уравнение определяет температурное поле для любого момента времени при любом

Слайд 11Отсюда
Распределение температуры может быть записано:
Переходя к безразмерным координатам
(критерий

или число Фурье – безразмерное время), получим:

Анализируя, видим, что
представляет

собой ряд возрастающих чисел. Чем больше
Отсюда Распределение температуры может быть записано:Переходя к безразмерным координатам (критерий или число Фурье – безразмерное время), получим:Анализируя,

Слайд 12тем быстрее убывают члены ряда. При
ряд становится быстросходящимся и

с достаточной степенью точности распределение температуры можно описать только первым

членом ряда:

Или, введя обозначение

Учитывая, что

то величина

является функцией только

и может быть определена для различных значений

.

Рассмотрим характер изменения температуры при заданных значениях

(рис.). Если

, то температура на поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, т.е. когда

(рис.а), то на поверхности пластины

тем быстрее убывают члены ряда. При ряд становится быстросходящимся и с достаточной степенью точности распределение температуры можно

Слайд 13Зависимость распределения температуры от

При малых
(рис.б) температура пластины незначительно

отличается от температуры на оси, т.е. кривые температур параллельны и

практически параллельны оси абсцисс.

Количество теплоты, передаваемой пластиной за время от

до

равняется изменению ее внутренней энергии за период полного охлаждения до

-масса, удельная теплоемкость, плотность, площадь поперечного сечения пластины.

Зависимость распределения температуры от При малых (рис.б) температура пластины незначительно отличается от температуры на оси, т.е. кривые

Слайд 14Тогда за любой промежуток времени внутренняя энергия изменится:
или, заменяя среднюю

безразмерную температуру по толщине пластины в
момент времени
на
Получим:

Тогда за любой промежуток времени внутренняя энергия изменится:или, заменяя среднюю безразмерную температуру по толщине пластины в момент

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.


Для правообладателей

Яндекс.Метрика