Нестационарная теплопроводность

не только в пространстве, но и во времени называется нестационарным

.
На практике процессы нестационарной теплопроводности подразделяются на два класса:
– нагреваемое или охлаждаемое тело стремится к тепловому равновесию;
– температура тела претерпевает периодические изменения.
К первому классу относятся процессы нагрева или охлаждения твердых тел, которые помещаются в среду с заданным тепловым состоянием.
Ко второму классу – процессы в периодически действующих подогревателях, например, регенераторах.
Дифференциальное уравнение теплопроводности при отсутствии внутренних источников теплоты имеет вид:

коэффициента теплопроводности, удельной теплоемкости, плотности, формы и геометрических размеров объекта;
–

– граничных условий в виде:

– значение соответствующей координаты.

Иногда начальные и граничные условия объединяются под названием «краевые условия».

длины и ширины) толщиной
Примем одинаковыми условия теплоотдачи во всех

Таким образом, задача может рассматриваться как одномерная.

К охлаждению плоской неограниченной пластины

Будем считать, что охлаждение пластины происходит в среде с постоянной температурой

(граничные условия второго рода). Начальное распределение температуры в пластине запишем в виде:

Введем обозначение

Уравнение теплопроводности примет вид:

одинаковый, то задача становится симметричной и начало координат можно поместить

при

при

Для решения уравнения теплопроводности используем метод разделения переменных Фурье, т.е. ищем решение в виде произведения двух функций, одна из которых является функцией только времени, а вторая – только координаты:

Тогда:

Или

Или

из физических соображений, т.к. это очевидно для тепловых процессов, стремящихся

Или

Или

При

Принимая

Или

Или

И окончательно:

Тогда:

Полученное решение принадлежит дифференциальному уравнению теплопроводности при любых

при
Таким образом, частное решение
должно быть отброшено, как не

, тогда решение будет иметь вид:

Далее рассмотрим граничное условие при

Тогда

Умножая числитель и знаменатель на

, получаем:

Принимая во внимание, что

(число Био), и обозначая

решений. Для поиска решения используется графоаналитический метод (рис.). Обозначим
Пересечение

Из рисунка видно, что существует бесконечное множество решений, причем каждое последующее больше предыдущего и каждому значению

соответствует свой набор значений

Если

возрастает, то прямая

стремится к оси абсцисс; если

то прямая

совпадает с осью абсцисс. При

прямая

совпадает с осью ординат. Таким образом, любому значению

. . . . . . . . . .

Несмотря на то, что полученные решения удовлетворяют, но ни одно не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени. Одновременно при наложении бесконечного числа таких распределений можно воспроизвести любую температурную зависимость в начальный момент времени. Иначе говоря, решение можно представить суммой бесконечного ряда:

не что иное, как разложение четной функции в ряд Фурье,

Умножим (1) на

(1)

и проинтегрируем по

от

до

или

поле для любого момента времени при любом начальном распределении температуры.

температура

, то:

или число Фурье – безразмерное время), получим:

Анализируя, видим, что
представляет

с достаточной степенью точности распределение температуры можно описать только первым

Или, введя обозначение

Учитывая, что

то величина

является функцией только

и может быть определена для различных значений

.

Рассмотрим характер изменения температуры при заданных значениях

(рис.). Если

, то температура на поверхности пластины сразу становится равной температуре окружающей среды, т.е. когда

(рис.а), то на поверхности пластины

отличается от температуры на оси, т.е. кривые температур параллельны и

Количество теплоты, передаваемой пластиной за время от

до

равняется изменению ее внутренней энергии за период полного охлаждения до

-масса, удельная теплоемкость, плотность, площадь поперечного сечения пластины.

безразмерную температуру по толщине пластины в
момент времени
на
Получим: