Об авторах

на одном и том же вероятностном пространстве {Ω,F,P} и рассматриваемых

совместно называется системой двух случайных величин или случайным вектором или двумерной случайной величиной.
(аналогично определяется система трех и более случайных величин)

вероятность совместного выполнения двух событий: (X

F(x,y) = P((X
Геометрически F(x,y) характеризует вероятность попадания точки (X,Y) в область, закрашенную на рисунке в зелёный цвет (исключая границу, окрашенную красным цветом)

значения только из заранее известной таблицы – конечной или бесконечной.
Двумерная

случайная величина называется непрерывной, если она принимает любое значение из некоторой области DєR2 и существует функция p(x,y)≥0 такая, что выполнены два условия:

и

Функция p(x,y) называется функцией плотности распределения. Равносильным определением функции плотности является
где производные понимаются как обобщенные .

дискретная случайная величина.
ССВ – система случайных величин.
НССВ – система непрерывных

случайных величин.
ДССВ - система дискретных случайных величин.
ФР – функция распределения.
ПР – плотность распределения.

распределенных по показательному закону:

распределенных непрерывных случайных величин :

распределения. В таблице указаны вероятности событий, заключающихся в том, что

случайный вектор примет соответствующее значение.






Сумма вероятностей в таблице точно равна единице.

систему случайных величин.
Для систем непрерывных случайных величин определяются частные (маргинальные)

функции плотности:

Условными функциями распределения называются функции:
Fy(x)=P((XДля систем непрерывных случайных величин определяются условные плотности распределения:

величин.
Две случайные величины, входящие в систему случайных величин называются независимыми,

если условная функция распределения одной из них не зависит от значения, принимаемого другой случайной величиной.
Теорема: Для того, чтобы две случайных величины были независимыми необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы случайных величин могла быть представлена в виде произведения двух частных функций распределения:

величин (продолжение)
Теорема: Для того, чтобы две непрерывные случайные величины были

независимыми необходимо и достаточно, чтобы плотность распределения системы непрерывных случайных величин могла быть представлена в виде произведения двух частных плотностей распределения:


В этом случае:

(или Kxy) двух случайных величин называется их центральный смешанный момент:

Для

систем непрерывных случайных величин имеют место формулы:

по всем «клеткам» таблицы распределения. Индекс I – номер значения

ДСВ X, а индекс j - номер значения ДСВ Y.
Вспомните задачу номер 8 из контрольной работы по теории вероятностей!

нулю, то X и Y называются некоррелированными.
Если две случайные величины

независимы, то они и некоррелированные. Обратное утверждение, в общем случае, неверно.
Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости.

математическое ожидание, вычисленное по условному закону распределения, при условии, что

случайная величина X приняла значение x. Например, для систем непрерывных случайных величин X,Y имеет место формула:

заданном значении x называется регрессией Y на x.
График зависимости ExY

от величины x называется линией регрессии, или кривой регрессии Y на x.
Регрессия X на y определяется аналогично.
Для независимых случайных величин линии регрессии параллельны координатным осям. Обратное утверждение неверно.
Если случайная величина Y есть неслучайная функция СВ X, то линия регрессии Y на x будет просто графиком этой неслучайной функции.

Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. М. Наука,

1988.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:Высш.шк.,2001
4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.:Высш.шк.,2001
5. Вентцель Е.С. Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей М.:Высш. шк.,2002
6. Курзенев В.А. Основы матеметической статистики для управленцев. СпБ, СЗАГС 2002.