Определение вероятности

событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместимых событий,

Пусть k – количество бросков монеты, тогда количество всевозможных исходов: n = 2k.

Пусть k – количество бросков кубика, тогда количество всевозможных исходов: n = 6k.

что орел выпадет ровно один раз.
Решение.
Всего 4 варианта:  о; о

Ответ: 0,5.

подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля

Решение:
1000 – 5 = 995 – насосов не подтекают.
Вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает, равна
995/1000 = 0,995.

Ответ: 0,995.

и со скрытыми дефектами).
Вероятность того, что купленная сумка окажется качественной,

Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,93.

7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5

Ответ: 0,36.

Решение:
Всего участвует 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна
9/25 = 36/100 = 0,36.

первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым

Ответ: 0,16.

Решение:
В последний день конференции запланировано
(75 – 17 × 3) : 2 = 12 докладов.
Вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции, равна 12/75 = 4/25 = 0,16.

одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные

Ответ: 0,225.

Решение:
В третий день конкурса запланировано
(80 – 8) : 4 = 18 выступлений.
Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна
18/80 = 9/40 = 225/1000 = 0,225.

и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность

Ответ: 0,3.

Решение:
Всего участвует 3 + 3 + 4 = 10 ученых.
Вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России, равна 3/10 = 0,3.

игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате

Ответ: 0,36.

Решение:
Нужно учесть, что Руслан Орлов должен играть с каким-либо бадминтонистом из России. И сам Руслан Орлов тоже из России.
Вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что

Ответ: 0,2.

Решение:
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике, равна 11/55 =1/5 = 0,2.

из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что

Ответ: 0,6.

Решение:
25 – 10 = 15 – билетов не содержат вопрос по неравенствам.
Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам, равна
15/25 = 3/5 = 0,6.

них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая.

Ответ: 0,36.

Решение:
Всего участвует 25 спортсменов.
Вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая, равна 9/25 = 36/100 = 0,36.

с одной из других трех команд как "Решка". Тогда право

Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Меркурий" по очереди играет с командами "Марс", "Юпитер", "Уран". Найдите вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом выиграет команда "Меркурий"?

Ответ: 0,125.

кубике может выпасть  1, 2, 3, 4, 5 или  6

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,14.

возможно, если будут следующие комбинации:
2 и 6
6 и 2
3 и

Даша дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 2 очка.

Ответ: 0,2.

варианты:
3 и 1
3 и 2
3 и 3
3 и 4
3 и

Тоша и Гоша играют в кости. Они бросают кубик по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. Первым бросил Тоша, у него выпало 3 очка. Найдите вероятность того, что Гоша не выиграет.

Ответ: 0,5.

будут следующие комбинации:
1 и 4
4 и 1
2 и 3
3 и

Ответ: 4.

Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию «А = сумма очков равна 5»?

– 4 команды.
Итак, всего исходов получилось 20, нужных нам

В чемпионате мира участвует 20 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:     
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.
Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется в третьей группе.   

Ответ: 0,2.

Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
Ответ:

Решение:
Вероятность того, что игру должен будет начинать любой из мальчиков равна
1/4 = 0,25.
В том числе и для Пети.

вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
Ответ: 0,5.
Решение:

выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает

Ответ: 0,019.

Решение:
Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное:
р1 = 0,45 · 0,03 = 0,0135.
Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное:
р2 = 0,55 · 0,01 = 0,0055.
Поэтому по формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна
р = р1 + р2 = 0,0135 + 0,0055 = 0,019.

Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А.

Ответ: 0,156.

Решение:
Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей:
р = 0,52 · 0,3 = 0,156.

экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная

Ответ: 0,35.

Решение:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
р = 0,2 + 0,15 = 0,35.

В = кофе закончится во втором автомате.
Тогда A·B =

Ответ: 0,52.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

события «попал при первом выстреле», «попал при втором выстреле» и

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два раза промахнулся. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,02.

независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
0,05 · 0,05 = 0,0025.
Событие,

Ответ: 0,9975.

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
р1

Ответ: 0,91.

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

В = «чайник прослужит больше двух лет»,
тогда A + B = «чайник прослужит больше года».

Ответ: 0,08.

Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна

Решение
Событие А – «м. телефон прослужит больше года, но меньше двух лет».
Событие В – «м. телефон прослужит больше двух лет».
События А и В совместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения. Вероятность произведения этих событий, состоящего в том, что м. телефон выйдет из строя ровно через два года – строго в тот же день, час и секунду – равна нулю. Тогда:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = P(A) + P(B),
откуда, используя данные из условия, получаем
0,94= P(A) + 0,78.
Тем самым, для искомой вероятности имеем:
P(A) = 0,94 − 0,78 = 0,16.
Ответ: 0,16.

произведенное в первом хозяйстве.
Тогда 1 – х вероятность того,

Ответ: 0,75.

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

19

Р = = 0,3

Ответ: 0,3.
Какова вероятность того, что

равна:
0,4 · (1 − 0,9) = 0,04
Вероятность того, что Джон промахнется, если схватит

Ответ: 0,52.

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Вероятность быть выбранным равна
Р = 2/5 = 0,4.
Ответ: 0,4.
В группе

с одной из трех команд как "Орел". Тогда право владения

Ответ: 0,375.

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза.

что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во

Решение.
Всего 4 варианта:  о; о    о; р    р; р    р; о.    
Благоприятных 1:   о; р.  
Вероятность равна 1/4 = 0,25.

Ответ: 0,25.

вопрос неважно. Сколько бы их ни было, для указанных стран

Ответ: 0,33.

На рок-фестивале выступают группы – по одной от каждой из заявленных стран. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии? Результат округлите до сотых.

ряда последовательных промахов:
Р(1) = 0,6;
Р(2) = Р(1) · 0,4 = 0,24;
Р(3) = Р(2) · 0,4 = 0,096;
Р(4) = Р(3) · 0,4 = 0,0384;
Р(5) = Р(4)

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем – 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?

Ответ: 5.

играх тремя способами:
3 + 1, 1 + 3, 3

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей – 1 очко, если проигрывает – 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.

Ответ: 0,32.

девочек. Поэтому частота рождения девочек равна:
2488/5000 = 0,4976 ≈

В некотором городе из 5000 появившихся на свет младенцев 2512 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе. Результат округлите до тысячных.

Ответ: 0,498.

в самолете 300 мест. Поэтому вероятность того, что пассажиру В.

На борту самолёта 12 мест рядом с запасными выходами и 18 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.

Ответ: 0,1.

вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной

На олимпиаде в вузе участников рассаживают по трём аудиториям. В первых двух по 120 человек, оставшихся проводят в запасную аудиторию в другом корпусе. При подсчёте выяснилось, что всего было 250 участников. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

Ответ: 0,04.

с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников.

В классе 26 человек, среди них два близнеца – Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.

Ответ: 0,48.

50. Поэтому вероятность того, что на случайный вызов приедет машина

В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрные с жёлтыми надписями на бортах, остальные – жёлтые с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.

Ответ: 0,46.

вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта, равна:

В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.

Ответ: 0,2.

отличается от предсказанной вероятности на
0,051 – 0,045 = 0,006.

Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

Ответ: 0,006.

66,99 до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность

При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 66,99 мм, или больше, чем 67,01 мм.

Ответ: 0,035.

В = «учащийся решит больше 11 задач».
Их сумма –

Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.

Ответ: 0,07.

и русский, и математику как минимум на 70 баллов, а

Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов – математика, русский язык и обществознание.
Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку – 0,8, по иностранному языку – 0,7 и по обществознанию – 0,5.
Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

Ответ: 0,408.

качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: 0,9n + 0,2

На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,978.

Поэтому вероятность того, что все три продавца заняты равна:

В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).

Ответ: 0,027.

= 1 − 0,9 = 0,1.
Вероятность того, что второй магазин не доставит товар

По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

Ответ: 0,02.

В = «в автобусе от 15 до 19 пассажиров».
Их

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

Ответ: 0,38.

игру, не начинает вторую игру, начинает третью игру.
Вероятность произведения

Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

Ответ: 0,125.

4 варианта: ХХО, ХОО, ОХО, ООО (здесь Х – хорошая,

В Волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причём погода, установившись утром, держится неизменной весь день. Известно, что с вероятностью 0,8 погода завтра будет такой же, как и сегодня. Сегодня 3 июля, погода в Волшебной стране хорошая. Найдите вероятность того, что 6 июля в Волшебной стране будет отличная погода.

Ответ: 0,392.

пациент болеет гепатитом, его анализ верен;
б) пациент не болеет

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Ответ: 0,0545.

Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.
В кармане у

Ответ: 0,25.

часовых деления. Всего на циферблате 12 часовых делений.
Поэтому искомая

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1 час.

Ответ: 0,25.

событий (обе батарейки окажутся исправными) равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

Ответ: 0,8836.

320210

результате событий:
A = «батарейка действительно неисправна и забракована» или

Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

Ответ: 0,0296.

320210

0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или

На рисунке изображён лабиринт. Паук заползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться и ползти назад паук не может, поэтому на каждом разветвлении паук выбирает один из путей, по которому ещё не полз. Считая, что выбор дальнейшего пути чисто случайный, определите, с какой вероятностью паук придёт к выходу D.

Ответ: 0,15625.