Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Определители и их свойства
Содержание
- 1. Определители и их свойства
- 2. Понятие определителя Понятие определителя (или детерминанта ) квадратной
- 3. Определение. Минором некоторого элемента
- 4. Определение. Определителем -го
- 5. Эта формула называется разложением определителя
- 6. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ (3)
- 7. Теорема 1. Каков бы ни был номер
- 8. Теорема 2. Каков бы ни был номер
- 9. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
- 10. В качестве примера рассмотрим определитель третьего порядка(2)ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
- 11. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Свойства определителя: 1. Определитель не
- 12. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Свойства определителя:4.Определитель треугольной матрицыили равен произведению элементов главной диагонали;
- 13. ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ Свойства определителя:5. Определитель изменит знак
- 14. 7. Определитель не изменится, если в нем
- 15. 8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению
- 16. Обратная матрица Пусть
- 17. Определение. Матрица называется невырожденной, если
- 18. Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем
- 19. Обратную матрицу можно вычислить по следующей формулегде
- 20. ПримерыПример 1. Найти матрицу, обратную данной:Решение. Найдем определитель матрицы.
- 21. ПримерыНайдем алгебраические дополненияматрицы .
- 22. Составляем обратную матрицуПримеры
- 23. ПримерыПроведем проверку, умножив
- 24. Решение матричных уравненийТеорема. Если
- 25. Решение матричных уравненийТеорема. Если
- 26. Пример. Решить матричное уравнение Решение. Найдем .Примеры
- 27. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1. СИСТЕМЫ ДВУХ
- 28. где –
- 29. Теорема 1 (правило Крамера). Если определитель матрицы
- 30. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 1. СИСТЕМЫ ДВУХ
- 31. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2. СИСТЕМЫ ТРЕХ
- 32. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2. СИСТЕМЫ ТРЕХ
- 33. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2. СИСТЕМЫ ТРЕХ
- 34. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 2. СИСТЕМЫ ТРЕХ
- 35. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПримерыПример 1. Решить
- 36. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Примеры Отсюда находим:
- 37. Скачать презентанцию
Понятие определителя Понятие определителя (или детерминанта ) квадратной матрицы порядка , которое обозначается через или , введем индуктивным методом. При
Слайды и текст этой презентации
Слайд 1Определители и
их свойства
Решение линейных уравнений с помощью правила Крамера.
Обратные
матрицы.
Слайд 2Понятие определителя
Понятие определителя (или детерминанта ) квадратной матрицы порядка ,
которое обозначается через или
, введем индуктивным методом.При
Перейдем к индуктивному шагу: предположим, что нами уже введено понятие определителя порядка
, соответствующего произвольной квадратной матрице го порядка.
Слайд 3Определение. Минором некоторого элемента матрицы
порядка называется определитель
порядка, соответствующий матрице, которая получается из исходной матрицы в результате вычеркивания той строки и того столбца, на пересечении которых стоит элемент , т.е. строки и го столбца. Минор элемента обозначается .
Понятие минора элемента
Слайд 4Определение. Определителем -го порядка, соответствующим матрице
называется
число, равное
и обозначаемое
, либо Определение определителя
Слайд 5Эта формула называется разложением определителя
го порядка
по первой строке.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Слайд 7Теорема 1. Каков бы ни был номер строки
для
определителя матрицы справедлива формулаОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Эта формула называется разложением определителя
го порядка по строке.
Слайд 8Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца
для
определителя матрицы справедлива формулаОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Эта формула называется разложением определителя
го порядка по столбцу.
Слайд 9ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Определитель может быть вычислен
разложением по элементам его л ю б о й
строки или столбца.Замечание. Для определителя используют те же термины (элементы, строки, столбцы, главная и побочная диагонали), что и для соответствующей квадратной матрицы, чей определитель вычисляется.
Слайд 10В качестве примера рассмотрим определитель третьего порядка
(2)
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ КВАДРАТНОЙ
МАТРИЦЫ
Слайд 11ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Свойства определителя:
1. Определитель не меняется при замене в
нем всех строк соответствующими (по номеру) столбцами;
2. Определитель равен нулю,
если содержит нулевую строку или нулевой столбец;3. Определитель равен нулю, если содержит две одинаковые строки или два одинаковых столбца;
Слайд 12ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Свойства определителя:
4.Определитель треугольной матрицы
или
равен
произведению элементов главной диагонали;
Слайд 13ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Свойства определителя:
5. Определитель изменит знак на противоположный, если в
нем поменять местами любые две строки или столбца (то есть
применено элементарное преобразование первого типа);6. Если строку (столбец) определителя умножить на некоторое число (то есть применено элементарное преобразование третьего типа), то определитель умножится на это число.
Слайд 147. Определитель не изменится, если в нем заменить строку суммой
этой строки и некоторой другой, вспомогательной, предварительно умноженной на какое-либо
число (то есть применено элементарное преобразование второго типа);ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Свойства определителя:
Слайд 158. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей. т.е.
Определение.
Алгебраическим дополнением элемента матрицы
порядка называется число, равноеИспользуя алгебраическое дополнение, имеем
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ
Свойства определителя:
Слайд 16Обратная матрица
Пусть квадратная матрица
го,
единичная матрица того же
порядка. Определение. Матрица называется обратной для квадратной матрицы , если
Замечание. Обратная матрица такого же порядка, что и матрица .
Обратная матрица для матрицы обозначается
Слайд 17 Определение. Матрица называется невырожденной, если определитель этой матрицы
отличен от нуля:
в противном случае матрица называется вырожденной. Теорема. Если матрица имеет обратную, то эта матрица является невырожденной:
Обратная матрица
Слайд 18Теорема. Всякая невырожденная матрица имеет обратную, причем
где
алгебраическое дополнения элемента
матрицы
Обратная
матрица
Слайд 19Обратную матрицу можно вычислить по следующей формуле
где
алгебраическое дополнения элемента
в определителе
, транспонированной к матрице Обратная матрица
Слайд 24Решение матричных уравнений
Теорема. Если
и матрицы порядка,
то решение матричных
уравненийгде квадратная матрица порядка , находится по соответствующей из формул:
Слайд 25Решение матричных уравнений
Теорема. Если
и ,где
матрицы размерностью соответственно ,то решение матричного уравнениягде матрица размерности находится по формуле:
Слайд 27СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
О п
р е д е л е н и е 1.
Системой линейных алгебраических уравнений, состоящей из двух уравнений с двумя неизвестными x и y, называется система вида:
Слайд 28где –
некоторые постоянные действительные
числа .
О п р е д е л е н и е 2. Матрица
называется матрицей системы (1); вектор
называется столбцом свободных
членов системы (1),
вектор столбцом неизвестных.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Слайд 29Теорема 1 (правило Крамера). Если определитель матрицы системы (1) не
равен нулю, то система (1) имеет единственное решение, вычисляемое по
формулам:где ;
,
определители, полученные из заменой его
j-го столбца столбцом свободных членов .
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Слайд 30СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
1. СИСТЕМЫ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теорема 2. Если
у системы (1) , но хотя
бы одиниз определителей или отличен от нуля, то
система (1) не имеет решения. Если у системы (1)
, то система (1) имеет бесконечное
множество решений.
Слайд 31СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2. СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение 3.
Системой линейных алгебраических
уравнений, состоящей из трех уравнений с тремя
неизвестными x, y и z, называется система вида:где
– некоторые постоянные действительные числа.
(2)
Слайд 32СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2. СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Определение 4.
Матрицей системы (2), столбцом свободных членов системы (2) и
столбцом неизвестных системы (2) называются, соответственно, матрица A, вектор и вектор
Слайд 33СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2. СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теорема 3. (правило
Крамера). Если определитель
матрицы системы (2) не равен нулю, то
система (2)имеет единственное решение, вычисляемое по
формулам:
где
определители, полученные из заменой его j-го
столбца столбцом свободных членов .
.
.
,
,
,
Слайд 34СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2. СИСТЕМЫ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Теорема 4. Если
у системы (2)
, но хотябы один из определителей , или
отличен от нуля, то система (2) не имеет решения.
Если выполнены условия
то система (2) или имеет бесконечное множество
решений.
.
Слайд 35СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Примеры
Пример 1. Решить систему:
Решение. В данном примере имеем:
,
,
Вычислим:
