Основные функции и их графики

и истории.
Понятие функции. Способы задания функций.
Свойства функций: четность, переодичность, монотонность.
Основные

виды функций.
Домашнее задание.

впервые ввел немецкий ученый Г. Лейбниц.
Переменной называется величина, принимающая различные

числовые значения
Величина, числовые значения которой не меняются, называется постоянной (константой).

определенное значение другой переменной у, то у есть функция от

x. y=f(x). Здесь x – аргумент функции.
Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у, называются областью определения, а соответствующие значения у образуют область значений (область изменения функции)

любого значения x, взятого из области определения функции, значение –x

также принадлежит области определения и выполняется равенство f(-x) = f(x).
Примеры четных функций:
y = x2; y = x2 + 5; y = -3x2 + 1; y = 3.
(y = x2; y(1) = 12 = 1; y(-1) = (-1)2 = 1; y(1) = y(-1)).
  Согласно определению, четная функция определена на множестве, симметричном относительно начала координат.
График четной функции симметричен относительно оси ординат:

x

0

x0

- x0

x, взятого из области определения функции, значение –x также принадлежит

области определения и выполняется равенство f(-x) = -f(x).

Примеры нечетных функций:
y = x3; y = x3 + x.
(y = x3; y(1) = 13 = 1; y(-1) = (-1)3 = -1; y(-1) = -y(1)).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:

только правую ветвь графика для положительных значений аргумента.
Левая ветвь

достраивается симметрично относительно начала координат для нечетной функции и относительно оси ординат для четной функции.
Произведение двух четных или двух нечетных функций представляет собой четную функцию, а произведение четной и нечетной функций – нечетную функцию.
Большинство функций не являются ни четными, ни нечетными.
Пример:
y = x3 + x2
y(-1) = (-1)3 + (-1)2 = -1 + 1 = 0
y(1) = (1)3 + (1)2 = 1 + 1 = 2

T≠ 0, что для любого значения x, взятого из области

определения, значения x + T и
x – T также принадлежат области определения и выполняется равенство
f(x) = f(x + T) = f(x – T):

бесконечное число периодов. Числа вида nT при любом целом n

также являются периодом функции f(x).
Иногда периодом называют наименьшее их всех чисел T > 0, удовлетворяющее данному выше определению.
Примеры периодических функций:
y = sin x; y = ctg x; y = sin3x.
Периодической является и всякая постоянная функция, причем ее периодом служит любое ненулевое число. Например: y = 2; y = 10.

значение функции равно нулю.
Для того, чтобы найти нули функции,

следует решить уравнение f(x) = 0. Действительные корни этого уравнения являются нулями функции y = f(x). Нули функции представляют собой абсциссы точек, в которых график этой функции либо пересекает ось абсцисс, либо касается ее, либо имеет общую точку с этой осью.

х1, х2, х3 – нули функции у = f(x).

и не обращается в нуль, называются промежутками знакопостоянства.
Над этими

промежутками график функции лежит выше оси абсцисс, если
f(x) > 0, и ниже оси абсцисс, если f(x) < 0.

увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением аргумента значение функции

уменьшается.

y = f(x)

(a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому

интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). Функция y = f(x) называется монотонно убывающей на интервале (a, b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому интервалу, из неравенства x2 > x1 следует неравенство f(x2) < f(x1). Интервал (a, b) предполагает взятым из области определения функции.

точке области определения, называется обратимой. Таким образом, при k≠0 функция

f(x) = kx + b обратима, а функция f(x) = x2 не является обратимой.
Если между величинами х и у существует функциональная зависимость, то, вообще говоря, безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую – функцией.
Пусть задана функция y = f(x), где y является зависимой переменной, x – аргументом. Очевидно, в этом случае x и y можно поменять ролями, т. е. x будет функцией, а y – аргументом. Тогда рассматриваемая функциональная зависимость между x и y запишется так: x = Y(y). Функция x = Y(y) называется обратной по отношению к функции y = f(x).

точкой максимума (точкой минимума) для функции f(x), если значение в

этой точке больше (меньше), чем значение функции в ближайших соседних точках.
Для обозначения максимума и минимума существует общий термин «экстремум» (от латинского «крайний»).

что функция имеет максимум в точке x0Î [a; b], если

существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) < f(x0).

Под окрестностью точки x0 понимают интервал длины 2e с центром в точке x0, т. е. (x0 – e ; x0 + e), где e – произвольное положительное число.

Говорят, что функция имеет минимум в точке x0Î[a; b], если

существует окрестность точки x0, целиком содержащаяся в [a; b] и такая, что для любого x, принадлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(x) > f(x0).

Максимумы и минимумы функции не являются обязательно наибольшими и наименьшими значениями этой функции во всей области определения. Например, функция y = f(x) определена на отрезке [a; b], имеет четыре экстремума: два минимума (x = C1 и x = C3) и два максимума (x = C2 и x = C4). Вместе с тем, функция достигает наибольшего значения при x = a и наименьшего при x = b.
Признак максимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
меняет знак с плюса на минус,
то x0 есть точка максимума.
Признак минимума функции:
Если функция непрерывна в точке x0
и ее производная, переходя через нее,
меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка
минимума.

она определена на этом промежутке и непрерывна в каждой точке

промежутка.

Геометрическая непрерывность функции на промежутке означает, что график этой функции на данном промежутке изображен сплошной линией без скачков и разрывов. При этом малому изменению аргумента соответствует малое изменение функции.
Если при x = a функция y = f(x) существует в окрестности этой точки, но в самой точке x = a не выполняется условие непрерывности, говорят, что точка
x = a есть точка разрыва функции. В самой точке x = a функция может существовать, а может и не существовать.

и b некоторые числа, называется линейной.

1. Если k =

0, тогда y = b.
Эта функция определена на множестве R и для каждого X принимает одно и то же значение, равное b.
Графиком является прямая, параллельная оси Оx, если b = 0, то прямая совпадает с осью Ox.

функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью. Она определена

на множестве R.

Функция является монотонно возрастающей, если k > 0, и монотонно убывающей, если k < 0. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат. При k > 0 точки графика принадлежат I и III координатным четвертям. При k < 0 точки графика принадлежат II и IV координатным четвертям.

0

y

x

y = kx
k < 0

y = kx + b

kx + b, имеют наглядное геометрическое толкование.

Значение коэффициента b

определяет отрезок, отсекаемый графиком линейной функции на оси ординат, а коэффициент k определяет тангенс угла α, образованного осью абсцисс и прямой; угол отсчитывается от положительного направления оси абсцисс. Если k > 0, то образованный угол острый, если k < 0, то угол тупой.

. При а > 0 расположена в I и

III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Ось симметрии - прямая у = х (а > 0)
или у = - х (а < 0).

. Пример – парабола.
Парабола -

график функции квадратного трёхчлена
у = ах2 + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии. Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax2 + bx +с =0

> 0, a ≠ 1, называется показательной.
Эта функция

определена для любых действительных x, а областью значений является промежуток (0; + ∞).
График показательной функции – кривая, проходящая через точку (0; 1). Он неограниченно приближается к оси абсцисс, но не достигает ее.
При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

a ≠1, называется логарифмической.
Эта функция определена на промежутке (0;

+ ∞), а областью значений является промежуток (-∞; + ∞).
Графиком логарифмической функции является кривая, проходящая через точку (1; 0). Он неограниченно приближается к оси ординат, но не достигает ее. При a > 1 функция монотонно возрастает, а при 0 < a < 1 – монотонно убывает.

и непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена

|sin x| ≤1. Она периодическая, ее период T = 2πn, sin( x + 2πn) = sin x. Функция
y = sin x – нечетная: sin (-x) = -sin x ее график симметричен относительно начала координат.
Функция принимает нулевые значения
При х = πn.
Функция y = sin x возрастает
на промежутках
[- π /2 + 2 π n; π /2 + 2 π n], n Î Z
и убывает на промежутках
[π /2 + 2 π n; 3π/2 + 2 πn], n Î Z

непрерывна на всем множестве действительных чисел. Эта функция ограничена |cos

x| ≤1.

Она периодическая, ее период T = 2 π n: cos(x + 2 πn) = cos x, n Î Z. Функция y = cos x – четная: cos (-x) = cos x ее график симметричен относительно оси ординат.
Функция принимает нулевые значения
при х = π /2 + π n, n Î Z.
Функция y = cos x возрастает
на промежутках
[-π + 2πn; 2 πn], n Î Z
и убывает на промежутках
[2πn; π + 2πn], n Î Z

y

x

0

1

-1

-p

p

p/2

-p/2

y = cos x

5p/2

T = 2p

3p/2

2p

≠ π /2 + πn, nÎ Z. Ее областью значений

является интервал (-∞; +∞)

Она периодическая, ее период T = π n, n Î Z: tg( x + π n) = tg x, n Î Z. Функция y = tg x – нечетная: tg (-x) = -tg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = π /2 + π n, n Î Z функция y = tg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной.
Функция принимает нулевые значения при х = πn, n Î Z.
Функция y = tg x возрастает на всех интервалах определения
(- π /2 + πn; π /2 + πn), n Î Z.

≠ πn, nÎ Z. Ее областью значений является интервал (-∞;

+∞) .

Она периодическая, ее период T = πn, n ÎZ: ctg(x + πn) = ctg x, n Î Z. Функция y = ctg x – нечетная: ctg (-x) = -ctg x и ее график симметричен относительно начала координат. В точках x = πn, n Î Z функция y = ctg x не существует, и говорят, что в этих точках функция терпит разрыв, т. е. она не является непрерывной.
Функция принимает нулевые значения при х = π /2 + πn, n Î Z . Функция y = ctg x убывает на всех интервалах определения (2 πn; π + pn), n Î Z.

y

x

0

1

-1

p/2

-p/2

y = сtg x

p

3p/2

-p

6х+5; у = 3 + 2sinx;
y = 1 –

3cosx;

3. Исследовать на четность функции:

у = х20; у = х13;

у = х2+ 5х;

у = 2х + 2-х;

.
Найти:
1) у (-х); 2) у

(kх); 3) у (х+a); 4) у(|х|).