Основы комбинаторики. Размещения, перестановки, сочетания

- погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и

комбинаторные формулы
уметь:
отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения»

образующие множество, называются элементами множества.
Множество будем записывать, располагая его элементы

говорят, что множество А является подмножеством множества В.

В
А
Множество {a, b} является

Обозначается

Пример:

Задача

Перечислите возможные варианты подмножества множества {3, 4, 5, 7, 9}.

сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить

Комбинаторика является важным разделом математики, который исследует закономерности расположения, упорядочения, выбора и распределения элементов с фиксированного множества.

k и m способами, тогда какое-то одно из этих действий

Пример №1
Из города А в город В можно добраться 12 поездами, 3 самолетами, 23 автобусами. Сколькими способами можно добраться из города А в город В?
Решение

N=12+13+23=38

образом вынимаем один шарик. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Конечно, n способами.

Теперь

Решение. 
Из первого ящика шарик можно вытянуть m различными способами, из второго k различными способами, всего  N = m + k способами.

осуществлены в соответствии   k и m способами Тогда обе они

Пример № 3
 В турнире принимают участие 8 хоккейных команд. Сколько существует способов распределить первое, второе и третье места?
Решение

N=8∙7∙6=336

счисления?
Решение. Поскольку число двузначное, то число десятков (m) может принимать одно

Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов

Решение. По правилу умножения двух девушек можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет
N =182 + 30 = 212.

из n элементов по m (m 

n элементов.
Иными словами, это такое множество, для которого указано, какой

ПЕРЕСТАНОВКИ

Перестановки – это такие соединения по n элементам из данных элементов, которые отличаются одно от другого порядком элементов.

Число перестановок из n элементов обозначают Рn.

Рn = n · (n - 1) · (n – 2) · … · 2 · 1 = n!

равное произведению всех натуральных чисел 1 от до n:
n! = 1

ФАКТОРИАЛ

№ 7
Чему равно
а)Р5 ;
б) Р3.

Пример № 8
Упростите
а) 7! · 8
б)

на восьми беговых дорожках?

Решение. 
n =8
Р8=8! = 8·7·6·5 · 4

m элементов, состоящее из элементов n элементного множества.
Число размещений из m  элементов

вычисляют по формуле:

расписании учебных занятий на один день можно поставить 4 различных

Имеем 9-элементное множество, элементы которого учебные предметы. При составлении расписания мы будем выбирать 4-элементное подмножество (уроков) и устанавливать в нем порядок. Число таких способов равно числу размещений из девяти по четыре (m=9, n=4) то есть A94:

можно выбрать старосту и помощника старосты?
Решение. 
Имеем 24-элементное множество, элементы которого

-называется любое m элементное подмножество n -элементного множества
Число сочетаний из n элементов

и вычисляют по формуле:

можно выбрать два дежурных ?
Решение. 
n =24, m=2

входят в соединение?
СОЧЕТАНИЯ
РАЗМЕЩЕНИЯ
ПЕРЕСТАНОВКИ
Рn =  n!
Д А
НЕТ

можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
2.

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

( да)

Все ли элементы входят в соединение?

( да)

Вывод: перестановка

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Все ли элементы входят в соединение?

(нет)

(на этот вопрос ответ не нужен)

Вывод: сочетания

цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в

Учитывается ли порядок следования элементов в соединении?

Все ли элементы входят в соединение?

(нет)

( да)

Вывод: размещение

- погодите!
Как музыке идти?
Ведь вы не так сидите…
И так, и

Сколько различных вариантов расположения музыкантов возможно?

входят в соединение?
(да)
Вывод: перестановка
Рn =  n! =n · (n - 1) · (n –

n =4

Р4 =  4! = 4 · 3 · 2 ·1=24

том или ином деле»?
Кто автор высказывания?