ОСНОВЫ ЛОГИКИ

операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными

математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и так далее).
Объектами алгебры логики являются высказывания.

один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает

возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

= {Аристотель – основоположник логики}
В = {На яблонях растут

бананы}

Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0.
Таким образом, А = 1, В = 0.

в алгебре высказываний заменяются на логические операции.
Логические операции задаются

таблицами истинности.

содержание

дальше

алгебре высказываний обозначается

  &

В языках программирования обозначается and

каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и

только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

делится на 2 и 5 не больше трех}
В = {10

не делится на 2 и 5 больше трех}
С = {10 делится на 2 и 5 больше трех}
D = {10 не делится на 2 и 5 не больше трех}

А = 1  0 = 0
В = 0  1 = 0
С = 1  1 = 1
D = 0  0 = 0

алгебре высказываний обозначается



В языках программирования обозначается or.

каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и

только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

делится на 2 или 5 не больше трех}
В = {10

не делится на 2 или 5 больше трех}
С = {10 делится на 2 или 5 больше трех}
D = {10 не делится на 2 или 5 не больше трех}

A = 1  0 = 1
B = 0  1 = 1
C = 1  1 = 1
D = 0  0 = 0

обозначается

А, А

В языках программирования обозначается not

истинному высказыванию ставит в соответствие ложное высказывание.

не спутник Земли}

то … .

В алгебре высказываний обозначается

 →

В языках программирования не используется

каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и

только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

{Около данного четырехугольника можно описать окружность}
Рассмотрим составное высказывание А →

В , понимаемое как «если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность».


Есть три варианта, когда
высказывание А → В истинно

– квадрат, то около него можно описать окружность;
А ложно и

В истинно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него можно описать окружность;
А ложно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него нельзя описать окружность;

Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него нельзя описать окружность.

между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается.

Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смеяться над бессмысленностью импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию.
Например, такими:
«если президент США – демократ, то в Африке водятся жирафы»
или «если арбуз ягода, то в бензоколонке есть бензин»

только тогда; в том и только в том случае

В алгебре

высказываний обозначается
  

В языках программирования не используется

каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и

только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны.

и только тогда, когда 24 делится на 3}
А = 1

 1 = 1
В = {23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3}
В = 0  0 = 1
С = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5}
С = 1  0 = 0
D = {21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3}
D = 0  1 = 0

1)В

2) А 3)А v С,
2 группа 1)А & С 2) В 3)В ,
3 группа 1)В 2) С & А 3)А & B,
4 группа 1)С 2) С 3) А v С,

 ¬C?
1) ¬A  B  ¬C
(¬A  ¬B)

 ¬C
(¬A  ¬B)  C
4) ¬A  ¬B  ¬C

Задания группы А8

Преобразование логических выражений. Формулы де Моргана.

1) ¬A  B  ¬C
(¬A  ¬B)  ¬C
(¬A  ¬B)  C
4) ¬A  ¬B  ¬C

2
2) Сравним результат с предлагаемыми ответами
1) ¬A  B

 ¬C
(¬A  ¬B)  ¬C
(¬A  ¬B)  C
4) ¬A  ¬B  ¬C

выражений от трех аргументов: X, Y, Z. Дан фрагмент таблицы

истинности выражения F:
Какое выражение
соответствует F?

1)¬X  ¬Y  ¬Z
2) X  Y  Z
3) X  Y  Z
4) ¬X  ¬Y  ¬Z

Задания группы А9

Построение таблиц истинности логических выражений.

1)¬X  ¬Y  ¬Z
2) X  Y  Z
3) X  Y  Z
4) ¬X  ¬Y  ¬Z

1)¬X  ¬Y  ¬Z
2) X  Y  Z
3) X  Y  Z
4) ¬X  ¬Y  ¬Z

2) X  Y  Z
3) X  Y 

Z
4) ¬X  ¬Y  ¬Z

истинно высказывание
¬((X > 2)→(X > 3))?

1)

1 2) 2 3) 3 4) 4

Основные понятия математической логики.

Строим таблицу истинности:
¬((X > 2)→(X > 3))?
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1

¬(ПЕРВАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ  ВТОРАЯ БУКВА СОГЛАСНАЯ)  ПОСЛЕДНЯЯ БУКВА

ГЛАСНАЯ?

1) РОМАН

3) АНДРЕЙ
4) КРИСТИНА

2) ЮНОНА

Задания группы А7

Основные понятия математической логики.

(A/\C  B)
Решение:

всех наборах входящих в него простых высказываний. Тождественно-истинные формулы называют тавтологиями.

Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний.

логики
Табличный
С помощью рассуждений

логическая формула
Определяется значения логической формулы

этом каждый сказал следующее:
Празднование Нового года с 1 января установили

во Франции в 45 году до Рождества Христова (Юлием Цезарем)
Празднование Нового года с 1 января установили римляне в 1659 году указом Карла IX
Празднование Нового года с 1 января установили во 2 веке и не французы
Оказавшийся рядом знаток истории сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предложений.
Где и в какое время было установлено празднование Нового года с 1 января?

IX в 1659
Ц – Цезарь
В –2 век

+Ф&В)=

упростим логическую формулу

воспользуемся распределительным законом

+Ф&В)=
=((Ф&неЦ+неФ&Ц)&Р&неК+(Ф&неЦ+неФ&Ц)&
&неР&К)&(неВ&неФ+Ф&В)=

=(Ф&неЦ&Р&неК+неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& &неР&К+неФ&Ц&неР&К)&(неВ&неФ+Ф&В)=
Т.к. Ф&Р=0, Ц&К=0, то получаем следующую

формулу

(неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&Ф&В=
Т.к. Ф&неФ=0, неФ&неФ=неФ, Ф&Ф=Ф
то получаем
=неФ&Ц&Р&неК&неВ+Ф&неЦ&неР&К&В=

(неФ&Ц& Р&неК+Ф&неЦ& неР&К)&Ф&В=
Т.к. Ф&неФ=0, неФ&неФ=неФ, Ф&Ф=Ф
то получаем
=неФ&Ц&Р&неК&неВ+Ф&неЦ&неР&К&В,
т.к. К&В=0,

то получаем следующую формулу:

при Ц=1, Р=1, К=0, В=0, Ф=0
Ответ:
Празднование Нового года с

1 января установили римляне в 45 году до Рождества Христова
(благодаря введению нового календаря Юлием Цезарем )

Три друга, интересующиеся историей, обсуждали историю возникновения праздника 8 Марта

как дня борьбы за права женщин, и каждый сказал следующее:
8 Марта как день борьбы за права женщин возник в 1857 году в России
8 Марта как день борьбы за права женщин возник в 1900 году в США
8 Марта как день борьбы за права женщин возник в 1920 году и не в России
Оказавшийся рядом учитель истории сказал, что каждый из них прав только в одном из двух высказанных предположений. Где и в каком году 8 Марта стали считать днём борьбы за права женщин?

в России

В – возник в 1857г.
С – возник в США
¬В – возник в 1900г.
D - возник в 1920г.

(AvB)&(¬ВvC)&(Dv¬A)=1
((A&¬B)v(A&C)v(B&¬B)v (B&C))&(Dv¬A)=1
(A&¬B&D)v(A&¬B&¬A)v(A&C&D)v(A&C&¬A)v(B&C&D)v(B&C&¬A)=1
(A&¬B&D)v0v(A&C&D)v0v(B&C&D)v(B&C&¬A)=1
A&¬B&D=0
A&C&D=0
B&C&D=0
B&C&¬A=1

Ответ: возник в 1857году в США

Справка: Возник этот праздник как день борьбы за права женщин 8 марта 1857 года в Нью-Йорке, где работницы швейных и обувных фабрик вышли на демонстрацию с требованиями об улучшении своих условий работы и предоставлении им прав наравне с мужчинами.

составленных таблиц

Алексей, выбрали себе костюмы трех богатырей: Ильи Муромца, Алеши Попович,

Добрыни Никитича.
Известно, что:
Евгений – самый высокий
Выбравший костюм Добрыни Никитича меньше ростом, чем выбравший костюм Ильи Муромца
Алексею не подошел костюм Добрыни Никитича
Ни у одного из друзей имена не совпадает с именем богатырей, выбранных костюмов
Какой костюм выбрал каждый из друзей?

– Сергей, Николай, Алексей подарили подарки следующим девушкам: Татьяне, Марине,

Алёне.

Известно, что:
Подаривший подарок Татьяне меньше ростом, чем подаривший подарок Марине.
Сергей – самый высокий.
Алексей не дарил подарка Татьяне.
Ни у одного из друзей первая буква имени не совпадает с первой буквой имени девушки, которой они сделали подарки.

Кто кому подарил подарок?

Николай – Татьяне, Алексей – Марине.

Справка: Уже

в Древнем Риме существовал женский день. В этот день матроны (свободно рожденные женщины), состоящие в браке, получали от своих мужей подарки, были окружены любовью и вниманием. Рабыни тоже получали подарки. Кроме того, хозяйка дома позволяла невольницам в этот день отдыхать.

На весенний праздник три друга – Сергей, Николай, Алексей подарили подарки следующим девушкам: Татьяне, Марине, Алёне.
Известно, что:
Подаривший подарок Татьяне меньше ростом, чем подаривший подарок Марине.
Сергей – самый высокий.
Алексей не дарил подарка Татьяне.
Ни у одного из друзей первая буква имени не совпадает с первой буквой имени девушки, которой они сделали подарки.
Кто кому подарил подарок?

логические задачи

на другой ложна.
Если надпись на первой двери - "за

этой дверью есть подарок", а на второй двери - «подарок за обоими дверьми", то:
1) подарок за обоими дверьми;
2) подарок только за второй дверью;
3) подарка нет ни за одной дверью;
4) подарок только за первой дверью;
5) определенно место подарка установить нельзя.
Выберите вариант ответа

пожилых матроны, сидя вечером на лавочке, завели разговор о празднике

8 марта. Вот, что они сказали:

В 1910 году на Международной конференции женщин в Копенгагене Клара Цеткин выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта, которое прозвучало, как призыв ко всем женщинам мира включиться в борьбу за равноправие.
В 1910 году на Международной конференции женщин в Москве или Копенгагене не Александра Коллонтай выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта, которое прозвучало, как призыв ко всем женщинам мира включиться в борьбу за равноправие.
В 1911 году на Международной конференции женщин в Москве и не Клара Цеткин выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта, которое прозвучало, как призыв ко всем женщинам мира включиться в борьбу за равноправие.

Оказалось, что две из трёх женщин были совершенно правы, а предположение третьей полностью неверное. Где, когда и кто выступил на международной конференции женщин?

верное, т.е. в 1910 году на Международной конференции женщин в

Копенгагене Клара Цеткин выступила с предложением о праздновании Международного женского дня 8 марта. Тогда, из рассуждений второй дамы, мы можем сделать вывод, что она тоже полностью права. А третья высказала полностью ложное предположение. В варианте с истинностью третьего высказывания мы получаем два ложных, а такого быть не может по условию задачи. Значит наше предположение верно.

Ответ: в 1910 году в Копенгагене Клара Цеткин.

10 класса зашли в свой кабинет. Там, на столе, стояли

две коробки. На коробках наклеены надписи: на первой –«Подарки в обеих коробках», а на второй –«В этой коробке есть подарки». Где лежат подарки, если одна надпись истинна, а другая ложна.

обратное, то мы получает два истинных высказывания, а у нас

по условию одно высказывание ложно, а другое - истинно.

поздравить своих девочек, а поэтому пораньше прийти в школу. Но

оказалось, что Митя пришел позже Сережи, Толя раньше Кости, Митя раньше Толи, Юра позже Кости. В какой последовательности ребята пришли в школу?

Толя, четвёртый – Костя,

пятый – Юра.

«А, ну-ка, девушки!» и заняли четыре первых места. Когда их

спросили о распределении мест, они ответили так:
а) Татьяна — первая, Светлана - вторая;
б) Татьяна — вторая, Ирина - третья;
в) Людмила — вторая, Ирина - четвертая.
Известно, что в каждом ответе только одно утверждение верно. Как распределились места?

В -

Светлана вторая
С - Ирина третья ¬А - Татьяна вторая
¬С - Ирина четвертая D - Людмила вторая

(AvB)&(¬АvC)&(Dv¬С)=1
((A&¬А)v(A&C)v(B&¬А)v(B&C))&(Dv¬С)=1
(A&C&D)v(A&C&¬С)v(В&¬А&D)v(В&¬А&¬С)v(B&C&D)v(B&C&¬С)=1
(A&C&D)v0v(B&¬A&D)v(B&¬А&¬С)v(B&C&D)v0=1
A&C&D=1
B&¬A&D=0
B&C&¬A=0
B&C&D=0

Ответ: Татьяна – первая, Людмила – вторая, Ирина – третья, Светлана – четвертая.