Разделы презентаций

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Содержание

1. Понятие вектора2. Линейные операции над векторами3. Понятие линейной зависимости векторов 4. Понятие базиса5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве6. Прямоугольная система координат

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

Слайд 21. Понятие вектора
2. Линейные операции над векторами
3. Понятие линейной зависимости

векторов
4. Понятие базиса
5. Аффинная система координат на плоскости и

в пространстве
6. Прямоугольная система координат
1. Понятие вектора2. Линейные операции над векторами3. Понятие линейной зависимости векторов 4. Понятие базиса5. Аффинная система координат

Слайд 31. Понятие вектора

1. Понятие вектора

Слайд 41. Понятие вектора
Направленным отрезком называется

упорядоченная пара точек A и B

1. Понятие вектораНаправленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B

Слайд 51. Понятие вектора
Направленным отрезком называется

упорядоченная пара точек A и B

A - начало направленного
отрезка


A

1. Понятие вектораНаправленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B

Слайд 61. Понятие вектора
Направленным отрезком называется

упорядоченная пара точек A и B

A - начало направленного
отрезка
B – его конец
1. Понятие вектораНаправленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B

Слайд 71. Понятие вектора
Направленным отрезком называется

упорядоченная пара точек A и B

A - начало направленного
отрезка
B – его конец


Если точки A и B совпадают, то направленный отрезок называется нулевым (или вырожденным)
1. Понятие вектораНаправленным отрезком называется упорядоченная пара точек A и B

Слайд 8Два невырожденных направленных отрезка и

называются коллинеарными, если прямые AB и

CD или параллельны, или совпадают.
Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если

Слайд 9Два невырожденных направленных отрезка и

называются коллинеарными, если прямые AB и

CD или параллельны, или совпадают.
Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если

Слайд 10Два невырожденных направленных отрезка и

называются коллинеарными, если прямые AB и

CD или параллельны, или совпадают.
Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если

Слайд 11Два невырожденных направленных отрезка и

называются коллинеарными, если прямые AB и

CD или параллельны, или совпадают.
Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если

Слайд 12Два невырожденных направленных отрезка и

называются коллинеарными, если прямые AB и

CD или параллельны, или совпадают.
Два невырожденных направленных отрезка и называются коллинеарными, если

Слайд 26Два направленных отрезка и

называются равными =

если выполнены следующие условия:

Два направленных отрезка и называются равными

Слайд 27Два направленных отрезка и

называются равными =

если выполнены следующие условия:
равны длины отрезков AB и CD




Два направленных отрезка и называются равными

Слайд 28Два направленных отрезка и

называются равными =

если выполнены следующие условия:
равны длины отрезков AB и CD
направленные отрезки и коллинеарны



Два направленных отрезка и называются равными

Слайд 29Два направленных отрезка и

называются равными =

если выполнены следующие условия:
равны длины отрезков AB и CD
направленные отрезки и коллинеарны
направленные отрезки и имеют одинаковое направление




Два направленных отрезка и называются равными

Слайд 30Геометрическим вектором

Геометрическим вектором

Слайд 31Геометрическим вектором (вектором)

Геометрическим вектором (вектором)

Слайд 32Геометрическим вектором (вектором) будем называть направленый отрезок

Геометрическим вектором (вектором) будем называть направленый отрезок

Слайд 33 обозначают

обозначают

Слайд 34обозначают

обозначают

Слайд 35обозначают

обозначают

Слайд 36обозначают

а

обозначают а

Слайд 37обозначают

а

обозначают а

Слайд 38 А – точка приложения

а

А – точка приложенияа

Слайд 39Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не

имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю.

Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления и имеет длину, равную

Слайд 40Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не

имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю.
Векторы называются коллинеарными,

если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления и имеет длину, равную

Слайд 41Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не

имеет определённого направления и имеет длину, равную нулю.
Векторы называются коллинеарными,

если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых.
Два вектора называются равными, если они коллинеарные, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
Вектор называется нулевым, если начало и конец его совпадают. Не имеет определённого направления и имеет длину, равную

Слайд 43Из равенства векторов


Из равенства векторов

Слайд 44Из равенства векторов

Из равенства векторов

Слайд 45Из равенства векторов
Точка приложения данного вектора а
может быть выбрана

произвольно

Из равенства векторовТочка приложения данного вектора а может быть выбрана произвольно

Слайд 46Из равенства векторов
Точка приложения данного вектора а
может быть выбрана

произвольно.
Векторы называют свободными.

Из равенства векторовТочка приложения данного вектора а может быть выбрана произвольно.Векторы называют свободными.

Слайд 47Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков

Свободным вектором называется класс всех равных между собой направленных отрезков

Слайд 482. Линейные операции над векторами

2. Линейные операции над векторами

Слайд 492. Линейные операции над векторами
Операция сложения векторов

2. Линейные операции над векторамиОперация сложения векторов

Слайд 502. Линейные операции над векторами
Операция сложения векторов
Операция умножения векторов на

вещественные числа

2. Линейные операции над векторамиОперация сложения векторовОперация умножения векторов на вещественные числа

Слайд 51Операция сложения векторов
Суммой а+b двух векторов а и b называется

вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b

при условии, что вектор b приложен к концу вектора а
Операция сложения векторовСуммой а+b двух векторов а и b называется вектор, идущий из начала вектора а в

Слайд 52Операция сложения векторов
Суммой а+b двух векторов а и b называется

вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b

при условии, что вектор b приложен к концу вектора а
(правило треугольника).
Операция сложения векторовСуммой а+b двух векторов а и b называется вектор, идущий из начала вектора а в

Слайд 63Правило сложения обладает свойствами:

Правило сложения обладает свойствами:

Слайд 64Правило сложения обладает свойствами:
a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)

Правило сложения обладает свойствами:a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)

Слайд 65Правило сложения обладает свойствами:
a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)
(a+b)+c

= a+(b+c)(сочетательное свойство - ассоциотивность)

Правило сложения обладает свойствами:a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)(a+b)+c = a+(b+c)(сочетательное свойство - ассоциотивность)

Слайд 66Правило сложения обладает свойствами:
a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)
(a+b)+c

= a+(b+c) (сочетательное свойство - ассоциотивность)




Правило сложения обладает свойствами:a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)(a+b)+c = a+(b+c) (сочетательное свойство - ассоциотивность)

Слайд 67Правило сложения обладает свойствами:
a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)
(a+b)+c

= a+(b+c) (сочетательное свойство - ассоциотивность)

вектор противоположный вектору а


Правило сложения обладает свойствами:a+b = b+a (переместительное свойство - коммутативность)(a+b)+c = a+(b+c) (сочетательное свойство - ассоциотивность)

Слайд 68↓ 3) по определению суммы

↓ 3) по определению суммы

Слайд 69↓ 3) по определению суммы
А
B

↓ 3) по определению суммы АB

Слайд 70↓ 3) по определению суммы
А
B

↓ 3) по определению суммы АB

Слайд 71↓ 3) по определению суммы
А
B

↓ 3) по определению суммы АB

Слайд 72↓ 3) по определению суммы
А
B

↓ 3) по определению суммы АB

Слайд 744) Вектор а’, противоположный вектору а,

4) Вектор а’, противоположный вектору а,

Слайд 754) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору

а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление

4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину

Слайд 764) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору

а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление

4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину

Слайд 774) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору

а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление

4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину

Слайд 784) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору

а, имеющий одинаковую с вектором а длину и противоположное направление


4) Вектор а’, противоположный вектору а, есть вектор коллинеарный вектору а, имеющий одинаковую с вектором а длину

Слайд 79По определению суммы двух векторов:



По определению суммы двух векторов:

Слайд 80По определению суммы двух векторов:



A

B

По определению суммы двух векторов:

Слайд 81По определению суммы двух векторов:



A


По определению суммы двух векторов:

Слайд 90
O
A
b
C
a
a+b

OAbCaa+b

Слайд 92
O
A
b
C
a
b+a

OAbCab+a

Слайд 98
c
A
B
C
a+b

cABCa+b

Слайд 103Из 1) вытекает

Из 1) вытекает

Слайд 104Из 1) вытекает
если векторы a и b приложены к общему

началу и на них построен параллелограмм, то сумма a+b (или

b+a) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала вектров a и b.
Из 1) вытекаетесли векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то

Слайд 105Из 1) вытекает
если векторы a и b приложены к общему

началу и на них построен параллелограмм, то сумма a+b (или

b+a) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала вектров a и b. ( правило параллелограмма )
Из 1) вытекаетесли векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то

Слайд 106Из 1) вытекает
если векторы a и b приложены к общему

началу и на них построен параллелограмм, то сумма a+b (или

b+a) этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала вектров a и b. ( правило параллелограмма )
Из 1) вытекаетесли векторы a и b приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то

Слайд 108Из свойств 1-4

Из свойств 1-4

Слайд 109Из свойств 1-4
Если приложить вектор a2 к концу вектора

a1, вектор a3 к концу вектора a2 …, вектор an

к концу вектора an-1, то сумма a1+a2+a3+…+an будет представлять собой вектор, идущий из начала вектора a1 в конец вектора an


Из свойств 1-4 Если приложить вектор a2 к концу вектора a1, вектор a3 к концу вектора a2

Слайд 117Из свойств 1-4

Из свойств 1-4

Слайд 118Из свойств 1-4
Разностью a-b вектора a и вектора b называется

такой вектор с, который в сумме с вектором b дает

вектор a.
Из свойств 1-4Разностью a-b вектора a и вектора b называется такой вектор с, который в сумме с

Слайд 119∃ ! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот

вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

∃ ! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный

Слайд 120! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из свойств

1-4
c+b=(a+b’)+b=
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 121! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из свойств

1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=

! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 122! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a

! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b∃

Слайд 123! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из свойств

1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
⇒ c=a-b
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 124! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
⇒ c=a-b
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 125! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
!
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 126! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 127! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П ∃ d:
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 128! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П ∃ d: d+b=a
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 129! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П ∃ d: d+b=a
Тогда , с одной стороны
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 130! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П ∃ d: d+b=a
Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c

! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 131! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П ∃ d: d+b=a
Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c
C другой,
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 132! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П ∃ d: d+b=a
Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c
C другой, (d+b)+b’=d+(b+b’)=d+0=d
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 133! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор

с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b
∃ Из

свойств 1-4
c+b=(a+b’)+b=a+(b’+b)=a+0=a
c=a-b
! П ∃ d: d+b=a
Тогда , с одной стороны (d+b)+b’=a+b’=c
C другой, (d+b)+b’=d+(b+b’)=d+0=d
⇒ c=d
! вектор с, представляющий собой разность a-b, причём этот вектор с=a+b’, где b’ – вектор, противоположный b

Слайд 134Правило построения разности

Правило построения разности

Слайд 135Правило построения разности
Разность a-b, приведенных к общему началу векторов a

и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого b

в конец уменьшаемого вектора a.
Правило построения разностиРазность a-b, приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из

Слайд 136Правило построения разности
Разность a-b, приведенных к общему началу векторов a

и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого b

в конец уменьшаемого вектора a.
Правило построения разностиРазность a-b, приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из

Слайд 137Правило построения разности
Разность a-b, приведенных к общему началу векторов a

и b представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого b

в конец уменьшаемого вектора a.
Правило построения разностиРазность a-b, приведенных к общему началу векторов a и b представляет собой вектор, идущий из

Слайд 138Операция умножения вектора на вещественное число

Операция умножения вектора на вещественное число

Слайд 139Операция умножения вектора на вещественное число
Произведение λа (или а λ)

вектора а на вещественное число λ называется вектор b, коллинеарный

вектору а и имеющий длину, равную | λ ||а| и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае λ >0 и противоположное направлению вектора а в случае λ <0.
Операция умножения вектора на вещественное числоПроизведение λа (или а λ) вектора а на вещественное число λ называется

Слайд 140Операция умножения вектора на вещественное число
Произведение λа (или аλ) вектора

а на вещественное число λ называется вектор b, коллинеарный вектору

а и имеющий длину, равную | λ |·|а| и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора а в случае λ >0 и противоположное направлению вектора а в случае λ <0.
ЗАМЕЧАНИЕ: В случае λ =0 или а=0, произведение λа=0
Операция умножения вектора на вещественное числоПроизведение λа (или аλ) вектора а на вещественное число λ называется вектор

Слайд 141Геометрический смысл : при умножении вектора а на число λ

вектор а «растягивается», в λ раз , при λ >1;

при
0< λ <1 происходит сжатие, а при λ <0 происходит, кроме растяжения или сжатия, изменение направления на противоположное.
Геометрический смысл : при умножении вектора а на число λ вектор а «растягивается», в λ раз ,

Слайд 142Свойства

Свойства

Слайд 143Свойства
λ(a+b)= λa+ λb

Свойства λ(a+b)= λa+ λb

Слайд 144Свойства
λ(a+b)= λa+ λb
(λ+μ)a=λa+μa

Свойства λ(a+b)= λa+ λb(λ+μ)a=λa+μa

Слайд 145Свойства
λ(a+b)= λa+ λb
(λ+μ)a=λa+μa
λ(μa)=(λμ)a

Свойства λ(a+b)= λa+ λb(λ+μ)a=λa+μaλ(μa)=(λμ)a

Слайд 151↓ 5)
a
b
a+b
λa
λb

↓ 5)aba+bλaλb

Слайд 1536) и 7) очевидны

6) и 7) очевидны

Слайд 1543. Понятие линейной зависимости векторов

3. Понятие линейной зависимости векторов

Слайд 155Пусть а1 а2 а3…аn – вектора, а λ1 λ2 λ3

…λn - числа, тогда λ1а1 + λ2а2+ λ3а3…+ λnаn (1)

называется линейной комбинацией n векторов а1 а2 а3…аn
Пусть а1 а2 а3…аn – вектора, а λ1 λ2 λ3 …λn - числа, тогда λ1а1 + λ2а2+

Слайд 156Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие

вещественные числа λ1 λ2 λ3 …λn, из которых хотя бы

одно отлично от нуля и при этом линейная комбинация этих векторов с указанными числами обращается в ноль

Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа λ1 λ2 λ3 …λn, из

Слайд 157Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие

вещественные числа λ1 λ2 λ3 …λn, из которых хотя бы

одно отлично от нуля и при этом линейная комбинация этих векторов с указанными числами обращается в ноль
λ1а1 + λ2а2+ λ3а3…+ λnаn=0

Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа λ1 λ2 λ3 …λn, из

Слайд 158Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно независимыми, если равенство нулю

их линейной комбинации (1) возможно в случае, когда все числа

λ1 λ2 λ3 …λn равны нулю


Векторы а1 а2 а3…аn называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно в случае,

Слайд 159Критерии линейной зависимости систем из 1,2,3 и 4 векторов

Критерии линейной зависимости систем из 1,2,3 и 4 векторов

Слайд 160Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0

Слайд 161Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
↓ ⇒)

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0↓ ⇒)

Слайд 162Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
↓ ⇒) а1 - линейно зависим,

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0↓ ⇒) а1 - линейно зависим,

Слайд 163Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
⇒) а1 - линейно зависим,

∃ λ1≠0 :

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0⇒) а1 - линейно зависим,

Слайд 164Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
⇒) а1 - линейно зависим,

∃ λ1≠0 : λ1а1 =0

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0⇒) а1 - линейно зависим,

Слайд 165Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
⇒) а1 - линейно зависим,

∃ λ1≠0 : λ1а1 =0 ⇒ а1 =0

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0⇒) а1 - линейно зависим,

Слайд 166Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
⇒) а1 - линейно зависим,

∃ λ1≠0 : λ1а1 =0 ⇒ а1 =0
⇐)

Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0⇒) а1 - линейно зависим,

Слайд 167Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
⇒) а1 - линейно зависим,

∃ λ1≠0 : λ1а1 =0 ⇒ а1 =0
⇐) а1 =0 ,


Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0⇒) а1 - линейно зависим,

Слайд 168Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔

а1 =0
⇒) а1 - линейно зависим,

∃ λ1≠0 : λ1а1 =0 ⇒ а1 =0
⇐) а1 =0 , λ1 а1 =0 ∀ λ1
↑
Теорема 1: Система из одного вектора а1 линейно зависима ⇔ а1 =0⇒) а1 - линейно зависим,

Слайд 169Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2


Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2

Слайд 170Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,





Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 171Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0



Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 172Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0
] λ2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =μа1 ⇒ а1||a2
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 173Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0
] λ2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =μа1 ⇒ а1||a2
⇐) а1||a2

Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 174Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0
] λ2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =μа1 ⇒ а1||a2
⇐) а1||a2
Если а1 =0 , то λ1а1 +0·a2 =0
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 175Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0
] λ2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =μа1 ⇒ а1||a2
⇐) а1||a2
Если а1 =0 , то λ1а1 +0·a2 =0 ∀ λ1 ≠0 ⇒ а1 ,a2 - линейно зависимы
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 176Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0
] λ2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =μа1 ⇒ а1||a2
⇐) а1||a2
Если а1 =0 , то λ1а1 +0·a2 =0 ∀ λ1 ≠0 ⇒ а1 ,a2 - линейно зависимы
Если а1 ≠ 0, то из а1||a2 ∃ λ : a2 = λа1
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 177Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0
] λ2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =μа1 ⇒ а1||a2
⇐) а1||a2
Если а1 =0 , то λ1а1 +0·a2 =0 ∀ λ1 ≠0 ⇒ а1 ,a2 - линейно зависимы
Если а1 ≠ 0, то из а1||a2 ∃ λ : a2 = λа1 или λа1 +(-1)a2=0
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 178Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно

зависима ⇔ а1 || a2
⇒) а1 ,a2 - линейно зависимы,


∃ λ1, λ2 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 =0
] λ2 ≠0 , а2 = а1, обозначим , a2 =μа1 ⇒ а1||a2
⇐) а1||a2
Если а1 =0 , то λ1а1 +0·a2 =0 ∀ λ1 ≠0 ⇒ а1 ,a2 - линейно зависимы
Если а1 ≠ 0, то из а1||a2 ∃ λ : a2 = λа1 или λа1 +(-1)a2=0
а1 ,a2 - линейно зависимы ↑
Теорема 2: Система из двух векторов а1 и a2 линейно зависима ⇔ а1 || a2⇒) а1 ,a2

Слайд 179Теорема 3: Система из трёх векторов а1 , a2 и

a3 линейно зависима ⇔ а1, a2, a3 компланарны

Теорема 3: Система из трёх векторов а1 , a2 и a3 линейно зависима ⇔ а1, a2, a3

Слайд 180Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо

в параллельных плоскостях

Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях

Слайд 181Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо

в параллельных плоскостях

Вектора называются компланарными, если они будучи отложены от

одной точки лежат в одной плоскости
Вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо в параллельных плоскостяхВектора называются компланарными, если они

Слайд 182⇒) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,

∃ λ1, λ2, λ3 (хотя бы одно ≠0

): λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3=0
] λ3 ≠0 , а3 = а1 a2 , обозначим , a3 =αа1+ βa2

⇒) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы, ∃ λ1, λ2, λ3 (хотя

Слайд 183⇒) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,

∃ λ1, λ2, λ3 (хотя бы одно ≠0

): λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3=0
] λ3 ≠0 , а3 = а1 a2 , обозначим , a3 =αа1+ βa2

⇒) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы, ∃ λ1, λ2, λ3 (хотя

Слайд 184⇒) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы,

∃ λ1, λ2, λ3 (хотя бы одно ≠0

): λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3=0
] λ3 ≠0 , а3 = а1 a2 , обозначим , a3 =αа1+ βa2











а1 ,a2, a3 - компланарны

⇒) а1 ,a2, a3 - линейно зависимы, ∃ λ1, λ2, λ3 (хотя

Слайд 185⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 186⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 187⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 188⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 189⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)





a3 =αа1+ βa2

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 190⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)





a3 =αа1+ βa2 , αа1+ βa2 +(-1)a3 =0

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 191⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)





a3 =αа1+ βa2 , αа1+ βa2 +(-1)a3 =0
а1 ,a2, a3 - линейно зависимы

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 192⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)





a3 =αа1+ βa2 , αа1+ βa2 +(-1)a3 =0
а1 ,a2, a3 - линейно зависимы
а1 ,a2 - линейно зависимы


⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 193⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)





a3 =αа1+ βa2 , αа1+ βa2 +(-1)a3 =0
а1 ,a2, a3 - линейно зависимы
а1 ,a2 - линейно зависимы
∃ αа1+ βa2 = 0 ,

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 194⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)





a3 =αа1+ βa2 , αа1+ βa2 +(-1)a3 =0
а1 ,a2, a3 - линейно зависимы
а1 ,a2 - линейно зависимы
∃ αа1+ βa2 = 0 , αа1+ βa2 +(0)a3 =0

⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 195⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны
а1 ,a2 -

линейно независимы (не лежат на одной прямой)





a3 =αа1+ βa2 , αа1+ βa2 +(-1)a3 =0
а1 ,a2, a3 - линейно зависимы
а1 ,a2 - линейно зависимы
∃ αа1+ βa2 = 0 , αа1+ βa2 +(0)a3 =0
а1 ,a2, a3 - линейно зависимы ↑
⇐) а1 ,a2, a3 - компланарны а1 ,a2 - линейно независимы (не лежат на одной прямой)

Слайд 196Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 ,

a3 и а4 линейно зависима всегда

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда

Слайд 197Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 ,

a3 и а4 линейно зависима всегда

а1 ,a2, a3 -

линейно зависимы,

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1

Слайд 198Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 ,

a3 и а4 линейно зависима всегда

а1 ,a2, a3 -

линейно зависимы,
∃ λ1, λ2, λ3 (хотя бы одно ≠0 ):
Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1

Слайд 199Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 ,

a3 и а4 линейно зависима всегда

а1 ,a2, a3 -

линейно зависимы,
∃ λ1, λ2, λ3 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3=0

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1

Слайд 200Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 ,

a3 и а4 линейно зависима всегда

а1 ,a2, a3 -

линейно зависимы,
∃ λ1, λ2, λ3 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3=0
λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3 +(0)·a4 =0

Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1

Слайд 201Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 ,

a3 и а4 линейно зависима всегда

а1 ,a2, a3 -

линейно зависимы,
∃ λ1, λ2, λ3 (хотя бы одно ≠0 ): λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3=0
λ1а1 +λ2a2 +λ3 a3 +(0)·a4 =0
⇒ а1 ,a2, a3, a4 - линейно зависимы
Теорема 4: Система из четырёх векторов а1 , a2 , a3 и а4 линейно зависима всегда а1

Слайд 202
а1 ,a2, a3 - линейно

независимы,
(по т.3) а1 ,a2, a3 - некомпланарны

а1 ,a2, a3 - линейно независимы, (по т.3) а1 ,a2, a3 -

Слайд 207a4 =αа1+ βa2+γa3

a4 =αа1+ βa2+γa3

Слайд 208a4 =αа1+ βa2+γa3 , αа1+ βa2 +γa3 +(-1)a4 =0



a4 =αа1+ βa2+γa3 , αа1+ βa2 +γa3 +(-1)a4 =0

Слайд 209a4 =αа1+ βa2+γa3 , αа1+ βa2 +γa3 +(-1)a4 =0


а1 ,a2, a3, a4 - линейно зависимы
a4 =αа1+ βa2+γa3 , αа1+ βa2 +γa3 +(-1)a4 =0

Слайд 210a4 =αа1+ βa2+γa3 , αа1+ βa2 +γa3 +(-1)a4 =0


а1 ,a2, a3, a4 - линейно зависимы ↑
a4 =αа1+ βa2+γa3 , αа1+ βa2 +γa3 +(-1)a4 =0

Слайд 211Следствия:

Следствия:

Слайд 212Следствия:
Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а1,a2 для любого вектора

a3 , лежащего в одной плоскости с а1 ,a2, найдутся

такие вещественные числа λ1, λ2, что справедливо равенство a3=λ1а1+ λ2a2

Следствия:Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а1,a2 для любого вектора a3 , лежащего в одной плоскости с

Слайд 213Следствия:
Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а1,a2 для любого вектора

a3 , лежащего в одной плоскости с а1 ,a2, найдутся

такие вещественные числа λ1, λ2, что справедливо равенство a3=λ1а1+ λ2a2
Если а1 ,a2, a3 не компланарны, то они линейно независимы.
Следствия:Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а1,a2 для любого вектора a3 , лежащего в одной плоскости с

Слайд 214Следствия:
Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а1,a2 для любого вектора

a3 , лежащего в одной плоскости с а1 ,a2, найдутся

такие вещественные числа λ1, λ2, что справедливо равенство a3=λ1а1+ λ2a2
Если а1 ,a2, a3 не компланарны, то они линейно независимы.
Среди трёх некомпланарных векторов не может быть двух коллинеарных векторов и не может быть ни одного нулевого вектора.
Следствия:Каковы бы ни были неколлинеарные векторы а1,a2 для любого вектора a3 , лежащего в одной плоскости с

Слайд 2154. Понятие базиса

4. Понятие базиса

Слайд 2164. Понятие базиса
Система векторов e1, e2, e3… en называется базисом,

если любой вектор x можно представить и причём единственным образом

в виде линейной комбинации этой системы векторов
4. Понятие базисаСистема векторов e1, e2, e3… en называется базисом, если любой вектор x можно представить и

Слайд 2174. Понятие базиса
Система векторов e1, e2, e3… en называется базисом,

если любой вектор x можно представить и причём единственным образом

в виде линейной комбинации этой системы векторов
x=λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 +… +λn en
4. Понятие базисаСистема векторов e1, e2, e3… en называется базисом, если любой вектор x можно представить и

Слайд 218Теоремы о базисе на плоскости и в пространстве

Теоремы о базисе на плоскости и в пространстве

Слайд 219Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.

Слайд 220Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
↓ по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.↓ по

Слайд 221Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
докажем ! и ∃
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 222Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 223Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 224Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 λ1 ≠ λ1’
λ2 ≠ λ2’

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 225Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 λ1 ≠ λ1’
λ2 ≠ λ2’
x-x=λ1 e1 + λ2 e2 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 )

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 226Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 λ1 ≠ λ1’
λ2 ≠ λ2’
x-x=λ1 e1 + λ2 e2 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 227Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 λ1 ≠ λ1’
λ2 ≠ λ2’
x-x=λ1 e1 + λ2 e2 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2 ⇒
e1,e2 линейно зависимые
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 228Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 λ1 ≠ λ1’
λ2 ≠ λ2’
x-x=λ1 e1 + λ2 e2 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2 ⇒
e1,e2 линейно зависимые (коллинеарные по т2 п3).
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 229Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 λ1 ≠ λ1’
λ2 ≠ λ2’
x-x=λ1 e1 + λ2 e2 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2 ⇒
e1,e2 линейно зависимые (коллинеарные по т2 п3).
Противоречие
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 230Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
∃ ) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 231Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 232Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 233Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0 λ1 e1 + λ2 e2 =0
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 234Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0 λ1 e1 + λ2 e2 =0, e1 , e2 лин. зависимы
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 235Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0 λ1 e1 + λ2 e2 =0, e1 , e2 лин. зависимы
λ3 ≠ 0
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 236Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0 λ1 e1 + λ2 e2 =0, e1 , e2 лин. зависимы
λ3 ≠ 0 x= e1 e2
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 237Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0 λ1 e1 + λ2 e2 =0, e1 , e2 лин. зависимы
λ3 ≠ 0 x= e1 e2

Обозначим
Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 238Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0 λ1 e1 + λ2 e2 =0, e1 , e2 лин. зависимы
λ3 ≠ 0 x= e1 e2

Обозначим

x=αe1 + βe2

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 239Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной

плоскости образуют базис на этой плоскости.
по определению базиса x=λ1

e1 + λ2 e2
) на плоскости x, e1 , e2 линейно зависимы (т3, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 x=0
Если λ3 =0 λ1 e1 + λ2 e2 =0, e1 , e2 лин. зависимы
λ3 ≠ 0 x= e1 e2

Обозначим

x=αe1 + βe2 (1) ↑

Теорема 1: Любые два неколлинеарных вектора e1,e2, лежащих в данной плоскости образуют базис на этой плоскости.по определению

Слайд 240Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.

Слайд 241Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 242Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
докажем ! и ∃
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 243Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! )
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 244Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 245Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 λ1 ≠ λ1’
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 λ2 ≠ λ2’
λ3 ≠ λ3’


Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 246Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 λ1 ≠ λ1’
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 λ2 ≠ λ2’
λ3 ≠ λ3’

x-x= λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 )

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 247Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 λ1 ≠ λ1’
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 λ2 ≠ λ2’
λ3 ≠ λ3’

x-x= λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2 +(λ3 - λ3’)e3 ⇒

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 248Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 λ1 ≠ λ1’
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 λ2 ≠ λ2’
λ3 ≠ λ3’

x-x= λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2 +(λ3 - λ3’)e3 ⇒
e1,e2 e3 линейно зависимые
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 249Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 λ1 ≠ λ1’
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 λ2 ≠ λ2’
λ3 ≠ λ3’

x-x= λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2 +(λ3 - λ3’)e3 ⇒
e1,e2 e3 линейно зависимые (компланарные по т3 п3).
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 250Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2 +

λ3 e3
! ) П x=λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 λ1 ≠ λ1’
x=λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 λ2 ≠ λ2’
λ3 ≠ λ3’

x-x= λ1 e1 + λ2 e2+ λ3 e3 –(λ1’ e1 + λ2 ‘e2 + λ3’ e3 )
0=(λ1 - λ1’ )e1 +(λ2 - λ2’)e2 +(λ3 - λ3’)e3 ⇒
e1,e2 e3 линейно зависимые (компланарные по т3 п3).
Противоречие
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1 +

Слайд 251Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
∃)
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 252Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
∃) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3)

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 253Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
∃) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 +λ 4 x=0
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 254Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
∃) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 +λ 4 x=0
Если λ4 =0 λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 =0,
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 255Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
∃) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 +λ 4 x=0
Если λ4 =0 λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 =0, e1 , e2 , e3 лин.зав.
Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 256Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
∃) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 +λ 4 x=0
Если λ4 =0 λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 =0, e1 , e2 , e3 лин.зав.
λ 4 ≠ 0 x= e1 e2 e3

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 257Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис

в пространстве.
по определению базиса x=λ1 e1 + λ2 e2

+ λ3 e3
∃) x, e1 , e2 , e3 линейно зависимы (т4, п3)
λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 +λ 4 x=0
Если λ4 =0 λ1 e1 + λ2 e2 + λ3 e3 =0, e1 , e2 , e3 лин.зав.
λ 4 ≠ 0 x= e1 e2 e3

Обозначим

x=αe1 + βe2 + γ e3 (2) ↑

Теорема 2: Любая тройка некомпланарных векторов e1,e2,e3 образуют базис в пространстве.по определению базиса x=λ1 e1

Слайд 258Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда ∀ x ∃

α,β
x=αe1 + βe2 (1)

Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда ∀ x ∃ α,βx=αe1 + βe2 (1)

Слайд 259Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда ∀ x ∃

α,β

x=αe1 + βe2 (1)
Разложение вектора x по базису e1 ,e2
Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда ∀ x ∃ α,β

Слайд 260Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда ∀ x ∃

α,β

x=αe1 + βe2 (1)
Разложение вектора x по базису e1 ,e2

α,β - координаты вектора x относительно базиса e1 ,e2

Пусть e1 ,e2 -базис на плоскости, тогда ∀ x ∃ α,β

Слайд 261

x=αe1 + βe2 + γ e3

x=αe1 + βe2 + γ e3 (2)

Слайд 262Теорема: Вычисление в координатах

Теорема: Вычисление в координатах

Слайд 263Теорема: Вычисление в координатах
При сложении двух векторов x1 , x2

их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются.
При умножении

вектора x1 на любое число α все его координаты умножаются на это число.
Теорема: Вычисление в координатахПри сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 )

Слайд 264Теорема: Вычисление в координатах
При сложении двух векторов x1 , x2

их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются.
При умножении

вектора x1 на любое число α все его координаты умножаются на это число.
↓ x1=α1e1 + β1e2 + γ 1e3
Теорема: Вычисление в координатахПри сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 )

Слайд 265Теорема: Вычисление в координатах
При сложении двух векторов x1 , x2

их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются.
При умножении

вектора x1 на любое число α все его координаты умножаются на это число.
x1=α1e1 + β1e2 + γ 1e3
x2=α2e1 + β2e2 + γ 2e3

Теорема: Вычисление в координатахПри сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 )

Слайд 266Теорема: Вычисление в координатах
При сложении двух векторов x1 , x2

их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются.
При умножении

вектора x1 на любое число α все его координаты умножаются на это число.
x1=α1e1 + β1e2 + γ 1e3
x2=α2e1 + β2e2 + γ 2e3
x1 +x2 =α1e1 + β1e2 + γ 1e3 +α2e1 + β2e2 + γ 2e3



Теорема: Вычисление в координатахПри сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 )

Слайд 267Теорема: Вычисление в координатах
При сложении двух векторов x1 , x2

их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются.
При умножении

вектора x1 на любое число α все его координаты умножаются на это число.
x1=α1e1 + β1e2 + γ 1e3
x2=α2e1 + β2e2 + γ 2e3
x1 +x2 =α1e1 + β1e2 + γ 1e3 +α2e1 + β2e2 + γ 2e3 =
(α1 + α2 )e1 + (β1 + β2 )e2 + (γ 1 + γ 2 )e3



Теорема: Вычисление в координатахПри сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 )

Слайд 268Теорема: Вычисление в координатах
При сложении двух векторов x1 , x2

их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются.
При умножении

вектора x1 на любое число λ все его координаты умножаются на это число.
x1=α1e1 + β1e2 + γ 1e3
x2=α2e1 + β2e2 + γ 2e3
x1 +x2 =α1e1 + β1e2 + γ 1e3 +α2e1 + β2e2 + γ 2e3 =
(α1 + α2 )e1 + (β1 + β2 )e2 + (γ 1 + γ 2 )e3
λx1= λα1e1 + λβ1e2 + λγ 1e3



Теорема: Вычисление в координатахПри сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 )

Слайд 269Теорема: Вычисление в координатах
При сложении двух векторов x1 , x2

их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 ) складываются.
При умножении

вектора x1 на любое число λ все его координаты умножаются на это число.
x1=α1e1 + β1e2 + γ 1e3
x2=α2e1 + β2e2 + γ 2e3
x1 +x2 =α1e1 + β1e2 + γ 1e3 +α2e1 + β2e2 + γ 2e3 =
(α1 + α2 )e1 + (β1 + β2 )e2 + (γ 1 + γ 2 )e3
λx1= λα1e1 + λβ1e2 + λγ 1e3
Св-ва 1-7 линейных операций п.2 ↑


Теорема: Вычисление в координатахПри сложении двух векторов x1 , x2 их координаты (относительно любого базиса e1,e2,e3 )

Слайд 2705. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве

5. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве

Слайд 2715. Аффинная система координат на плоскости и в пространстве

АСК (общей

декартовой) на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная совокупность двух (трёх,

не лежащих в одной плоскости) осей координат, пересекающихся в одной точке
5. Аффинная система координат на плоскости и в пространствеАСК (общей декартовой) на плоскости (в пространстве) называется упорядоченная

Слайд 272Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2

(e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом координат

Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2 (e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом

Слайд 273Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2

(e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом координат

Аффинными координатами

любой точки М называются координаты вектора относительно базиса
Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2 (e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом

Слайд 274Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2

(e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом координат

Аффинными координатами

любой точки М называются координаты вектора относительно базиса

радиус-вектор
Аффинные координаты на плоскости (в пространстве) определяются заданием базиса e1,e2 (e1,e2,e3) и некоторой точки О, называемой началом

Слайд 276


М
О
е1
е2

МОе1е2

Слайд 277


М
О
е1
е2
P

МОе1е2P

Слайд 288A
B
u
B’
Проекцией вектора на ось u называется

величина A’B’ направленного отрезка оси u


ABuB’Проекцией вектора на ось u называется величина A’B’ направленного отрезка

Слайд 290A
B
u
B’
v

ϕ

ABuB’vϕ

Слайд 291A
B
u
B’
v

ϕ

ABuB’vϕ

Слайд 292A
B
u
B’
v

ϕ

ABuB’vϕ

Слайд 293A
B
u
A’
B’
v

ϕ

ABuA’B’vϕ

Слайд 294Координаты вектора

Координаты вектора

Слайд 295Координаты вектора
A(x1y1z1)

Координаты вектора A(x1y1z1)

Слайд 296Координаты вектора
A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Координаты вектора A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 297 A(x1y1z1) B (x2y2z2)

A(x1y1z1) B (x2y2z2)

Слайд 298 A(x1y1z1) B (x2y2z2)
A
B

A(x1y1z1) B (x2y2z2) AB

Слайд 299 A(x1y1z1) B (x2y2z2)
A
B

O
e1
e2
e3

A(x1y1z1) B (x2y2z2) ABOe1e2e3

Слайд 300 A(x1y1z1) B (x2y2z2)
A
B

O
e1
e2
e3

A(x1y1z1) B (x2y2z2) ABOe1e2e3

Слайд 301 A(x1y1z1) B (x2y2z2)
A
B

O
e1
e2
e3

A(x1y1z1) B (x2y2z2) ABOe1e2e3

Слайд 307Деление отрезка

Деление отрезка

Слайд 312Число называется отношением,

в котором точка М делит направленный отрезок AB


Число называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок

Слайд 313A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 314A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 315A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 316A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 317A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 318A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 319A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 320A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 321A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 322A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

A(x1y1z1) B (x2y2z2) M(x y z)

Слайд 3266. Прямоугольная система координат

6. Прямоугольная система координат

Слайд 327Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei⊥ej при i≠j,

| ei |=1 i=1,2,3

Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei⊥ej при i≠j, | ei |=1 i=1,2,3

Слайд 328Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei⊥ej при i≠j,

| ei |=1 i=1,2,3
ДСК – это АСК {О,e1,e2,e3}, у которой

базис {e1,e2,e3} ортонормирован
Ортонормированный базис – это базис {e1,e2,e3}, если ei⊥ej при i≠j, | ei |=1 i=1,2,3ДСК – это АСК

Слайд 334O
Числа x,y,z называют ортогональными проекциями вектора ОА на оси координат

OЧисла x,y,z называют ортогональными проекциями вектора ОА на оси координат

Слайд 335Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси

координат

Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат

Слайд 336Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси

координат

Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат

Слайд 337Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси

координат

Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат

Слайд 338Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси

координат

Декартовы координаты вектора – это его ортогональные проекции на оси координат

Слайд 339Обозначим α,β,γ углы наклона к

осям

Обозначим α,β,γ углы наклона к осям

Слайд 340Обозначим α,β,γ углы наклона

к осям
x
y
z

A

α

Обозначим α,β,γ углы наклона к осям xyzAα

Слайд 341Обозначим α,β,γ углы наклона

к осям
x
y
z

A
β

Обозначим α,β,γ углы наклона к осям xyzAβ

Слайд 342Обозначим α,β,γ углы наклона

к осям
x
y
z

A
γ

Обозначим α,β,γ углы наклона к осям xyzAγ

Слайд 343Три числа cosα, cosβ, cosγ принято называть направляющими косинусами вектора

Три числа cosα, cosβ, cosγ принято называть направляющими косинусами вектора

Слайд 346Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его

сторон,то

Так как квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его сторон,то

Слайд 349

(**)
длина вектора через его

координаты
(**)длина

Похожие презентации

Орган слуха и равновесия Орган слуха и равновесия 300
Жители Эллады конец В оглавление Жители Эллады конец В оглавление 279
БОТАНИКА БОТАНИКА 211
Тензорная структура диэлектрической проницаемости Тензорная структура диэлектрической проницаемости 203
ПОДГОТОВИЛИ: МАСТЕР П/О ЗУБЦОВА Н.С. ПРЕПОДАВАТЕЛЬ СУЩЕНКО В.Н. Неделя ПОДГОТОВИЛИ: МАСТЕР П/О ЗУБЦОВА Н.С. ПРЕПОДАВАТЕЛЬ СУЩЕНКО В.Н. Неделя 192
Экономика и государство Экономика и государство 128
1. Бусы 640 руб Материал Стекло ; d = 8; 10 мм Длина бус 64 см 1. Бусы 640 руб Материал Стекло ; d = 8; 10 мм Длина бус 64 см 132
В здоровом теле – здоровый дух (развитие речи для детей 5-7 лет) В здоровом теле – здоровый дух (развитие речи для детей 5-7 лет) 298
Кишечные свищи Кишечные свищи 847
Геологические процессы Геологические процессы 503
Летние занятия Английский + Искусство Летние занятия Английский + Искусство 179
Человек в экономических отношениях Человек в экономических отношениях 341
Контент - план Контент - план 388
Д/И Разноцветные дорожки Д/И Разноцветные дорожки 173
социализация социализация 202
Учреждение образования Пинский государственный медицинский Учреждение образования Пинский государственный медицинский 150
Финансовая социология семинар 18.03.20 Финансовая социология семинар 18.03.20 174
Методы и средства защиты информации в КС от традиционного шпионажа и диверсий Методы и средства защиты информации в КС от традиционного шпионажа и диверсий 308
Лекция 1.ppt Лекция 1.ppt 173
Путешествие в страну Знаний Путешествие в страну Знаний 152

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть 

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно  хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей

Яндекс.Метрика