Осн.понятия т.в. Определение вероятности случайного события. Элементы комбинаторики

связи с азартными играми в Швейцарии (XVI – XVII в.в

н.э.)
Отцы-основатели: Паскаль, Ферма, Гюйгенс, Якоб Бернулли.
Русские: Чебышев П.Л., Буняковский, Хинчин, Колмогоров.

быть один или несколько взаимоисключающих исходов; эти исходы неразложимы и

взаимно исключают друг друга. В этом случае говорят, что эксперимент заканчивается одним и только одним элементарным исходом.

будем называть пространством элементарных событий Ω
Случайными событиями будем называть подмножества

пространства элементарных событий Ω .
Определение. Под случайным событием или просто событием будем понимать всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.
События будем обозначать большими латинскими буквами A, B, C, D, …

событий Ω = {w 1, w 2, w 3, w

4, w 5, w 6}, где w i- выпадение i очков.
Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, A Ω .

может не произойти в результате эксперимента, оно происходит всегда.
Пример. Бросаем

один раз игральную кость. Достоверное событие состоит в том, что выпало число очков, не меньше единицы и не больше шести, т.е. Ω = {w 1,  w  2,  w  3,  w  4,  w  5,   w  6}, где w i- выпадение i очков,Ω - достоверное событие.

не может произойти в результате эксперимента, оно не происходит никогда.
Пример.

Бросаем один раз игральную кость. Выпадение более шести очков - невозможное событие .

исключает наступление другого в одном и том же испытании.
Совместными называются

события, если они могут наступить одновременно в одном испытании

,
Пример. Бросаем один раз игральную кость. Событие

A - выпадение четного числа очков, тогда событие - выпадение нечетного числа очков. Здесь Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}, где w i- выпадение i очков, A = {w 2,w 4,w 6},
=

состоящее из всех элементарных событий, принадлежащих одному из событий A

или B. Обозначается A + B.
Пример. Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
Ω = {w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6}, Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w 5, w 6}.
Событие A + B = {w 2,w 4, w 5, w 6}

элементарных событий, принадлежащих одновременно событиям A и B. Обозначается AB.
Пример.

Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий
Ω = {w 1, w 2, w 3,w 4, w 5,w 6}. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w 2,w 4,w 6}, событие
B - выпадение числа очков, большего четырех,
B = {w 5, w 6}.
Событие A B состоит в том, что выпало четное число очков, большее четырех, т.е. произошли оба события, и событие A, и событие B, A B = {w 6}
A B Ω .

исходов Ω - конечно; т.е. состоит из конечного числа элементарных

исходов.
Элементарные исходы i равновозможные.

m благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу n

всех несовместных, равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий.

можно представить в виде совокупности элементарных исходов.
2) Даже если удастся

построить пр-во элементных исходов, зачастую нет никаких оснований считать эти исходы равновозможными.
3) Во многих случаях пр-во элементарных исходов бесконечно

статистического определения вероятности лежит понятие частоты.
Def: О т н о

с и т е л ь н о й ч а с т о т о й Ẃ(А) случайного события А - называется отношение числа m испытаний, в которых событие А наступило, к общему
числу n, фактически
проведённых испытаний.

выпадение герба, то

Ẃ(А)= =0,47

! Относительная частота – величина случайная.

производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико,

то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что:
в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.
В качестве статистической вероятности случайного события выбирают относительную частоту этого события или число, близкое к относительной частоте.

производить неограниченное число испытаний, в
каждом из которых событие А

наступает или не
наступает;

б)Устойчивость относительных частот
появления А в различных сериях достаточно большого
числа испытаний.
Недостатком статистического
определения является неоднозначность
статистической вероятности.

алгебры, занимающийся подсчётом количества комбинаций элементов, которые можно составить по

определённым правилам из элементов конечных множеств.

М – конечное множество, содержащее n различных элементов.

M={a1,a2,…,an}

состоящие из одних и тех же n различных элементов и

отличающиеся только порядком их расположения.

По определению полагаем:
0!=1

расположение трёх различных книг в
определенном порядке (на полке) представляет

собой перестановку из 3-х книг, и следовательно,
м. б. реализовано P3=3! =6 различными способами.

элементов по
m элементов, которые отличаются либо
составом элементов, либо

их порядком.

взятых по 3?

элементов по
m элементов, которые отличаются хотя бы
одним элементом.

Число сочетаний:

содержащего 10 различных деталей?

и сочетаний связаны равенством:

повторяются, то в этом случае комбинации с повторениями вычисляют по

другим формулам.
Например, если среди n элементов есть n1 элементов одного вида, n2 элементов другого вида и т.д., то число перестановок с повторениями:


где