Побудова загальної лінійної економетричної моделі

постановка задачі.
Крок 2. Специфікація моделі. Використовуючи всі ті форми функцій,

які можуть бути застосовані для вивчення взаємозв'язків, необхідно сформулювати теоретичні уявлення і прийняті гіпотези у вигляді математичних рівнянь. Ці рівняння встановлюють зв'язки між основними визначальними змінними за припущення, що всі ін­ші змінні є випадковими.
Крок 3. Формування масивів вхідної інформації згідно з метою та завданнями дослідження.

залишків дає змогу відповісти на запитання: чи не суперечить специфікація

моделі передумовам «класичної» моделі лінійної регресії?
Крок 5. Якщо деякі передумови моделі не виконуються, то для продовження аналізу треба замінювати специфікацію або застосовувати інші методи оцінювання параметрів.
Крок 6. Проведення аналізу достовірності моделі та прогнозу за побудованою моделлю.

залежною змінною Y і однією пояснюючою змінною X:
Y=a0+a1X.
Співвідношення називається

теоретичною лінійною регресійною моделлю;
a0 a1 — теоретичні параметри (теоретичні коефіцієнти) регресії.
принциповою в цьому разі є лінійність за параметрами a0 і а1

всі значення змінних X і Y генеральної сукупності ( що

практично неможливо).
Тому за вибіркою обмеженого обсягу будують так зване емпіричне рівняння регресії, у якому коефіцієнтами є оцінки теоретичних коефіцієнтів регресії:


де оцінки невідомих параметрів а1 і а0

â0 і â1 практично завжди відрізняються від дійсних значень коефіцієнтів

а0 а1, що призводить до розбіжності емпіричної та теоретичної ліній регресії.
Різні вибірки з однієї й тієї самої генеральної сукупності звичайно зумовлюють різні оцінки

статистичними даними (xi ,yi), i=1,2,..., n, для змінних X і

Y:
а) отримати найкращі оцінки â0 â1 невідомих параметрів а0 і a1,:
б) перевірити статистичні гіпотези щодо параметрів моделі;
в) перевірити, чи досить добре модель узгоджується зі статистичними даними (адекватність моделі даним спостережень).

від відповідного умовного математичного сподівання, у модель уводять випадкову складову

ui
yi=M(Y | X = xi )+ui =a0+a1xi + ui
Iндивідуальні значення уі складається з суми двох компонент — систематичної (a0+a1xi) і випадкової ui

за конкретною вибіркою (xi, yi), і = 1,2..... n, знайти

такі значення оцінок невідомих параметрів a0 і a1, щоб побудована лінія регресії була найкращою ("найближчою" до точок спостережень за їх сукупністю) серед усіх інших прямих.
Мірою якості знайдених оцінок можуть бути визначені композиції відхилень
ui, i=1, 2,..., n.

за умови мінімізації однієї з таких сум:

а через те, що існує безліч прямих (зокрема, У =

у ), для яких.

2) Метод визначення оцінок коефіцієнтів за умови мінімізації

називається методом найменших модулів (МНМ).
3) Найпоширенішим і теоретично обгрунтованим є метод визначення коефіцієнтів, при якому мінімізується


носить назву метод найменших квадратів (МНК).

(MM) і метод максимальної правдоподібності (MMП).

1,2..... n, потрібно визначити оцінки â0 і â1 емпіричного рівняння

регресії


тобто підібрати такі значення коефіцієнтів рівняння, щоб сума квадратів відхилень була мінімальною

â1, оскільки відомі дані спостережень:



квадратична функція Q неперервна, опукла та

обмежена знизу (Q ≥ 0), тобто має мінімум.

рівність нулю її частинних похідних:

формулами



â1 можна обчислити за формулою

Х

Отже, коефіцієнт регресії пропорційний коефіцієнту кореляції, а коефіцієнти пропорційності використовують

для зіставлення різних величин X і Y.

знайти коефіцієнт â1 парної регресії.
Якщо окрім рівняння регресії Y на

X


для тих самих емпіричних даних знайдено рівняння регресії X на Y



то добуток коефіцієнтів â1 та дорівнює rxy2




.

квадратів, будуть незміщеними, ефективними, і спроможними, якщо виконуються передумови методу

найменших квадратів.
Незміщенність коефіцієнтів моделі полягає в тому, що математичні сподівання коефіцієнтів моделі рівні параметрам моделі при будь-якому обсязі вибірки.
Ефективність коефіцієнтів моделі полягає в тому, що коефіцієнти мають найменші дисперсії в класі всіх лінійно-незміщенних оцінок.
Спроможність коефіцієнтів моделі полягає в тому, що зі збільшенням обсягу вибірки значення коефіцієнтів наближаються до істинних розмірів цих коефіцієнтів або параметрів моделі.

бути випадковими або детермінованими, але обов'язково змінюваними;
дисперсії залишків моделі мають

бути сталими для кожного фіксованого значення змінної;

законом;
кількість чинників у моделі має бути менше обсягу вибірки;
між залишками

і пояснювальними змінними не повинно бути зв'язку;
чинники, що включаються в модель, не повинні бути пов'язаними між собою.