Слайд 1Подобие треугольников
Два треугольника называются подобными, если углы одного соответственно равны
углам другого и соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом
подобия.
Таким образом, треугольник АВС подобен треугольнику A1В1С1, если A = A1, B = B1, C = C1 и
где k – коэффициент подобия.
Слайд 2Первый признак подобия
Теорема. (Первый признак подобия.) Если два угла одного
треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Слайд 3Вопрос 1
Какие треугольники называются подобными?
Ответ: Два треугольника называются подобными, если
углы одного соответственно равны углам другого и соответствующие стороны пропорциональны.
Слайд 4Вопрос 2
Сформулируйте первый признак подобия треугольников.
Ответ: Если два угла одного
треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Слайд 5Вопрос 3
Подобны ли любые два: а) равносторонних треугольника; б) равнобедренных
треугольника; в) равнобедренных прямоугольных треугольника?
Ответ: а) Да;
б) нет;
в)
да.
Слайд 6Упражнение 1
Выясните, подобны ли треугольники, изображенные на рисунке?
Ответ: Да.
Слайд 7Упражнение 2
Выясните, подобны ли треугольники, изображенные на рисунке?
Ответ: Да.
Слайд 8Упражнение 3
Изобразите треугольник A’B’C’, подобный данному треугольнику ABC, с коэффициентом
подобия 2.
Слайд 9Упражнение 4
Изобразите треугольник A’B’C’, подобный данному треугольнику ABC, с коэффициентом
подобия 0,5.
Слайд 10Упражнение 5
Стороны треугольника равны 5 см, 8 см и 10
см. Найдите стороны подобного ему треугольника, если коэффициент подобия равен:
а) 0,5; б) 2.
Ответ: а) 2,5 см, 4 см и 5 см;
б) 10 см, 16 см и 20 см.
Слайд 11Упражнение 6
Подобны ли прямоугольные треугольники, если у одного из них
есть угол 40о, а у другого 50о?
Ответ: Да.
Слайд 12Упражнение 7
Два треугольника подобны. Два угла одного треугольника равны 55о
и 80о. Найдите наименьший угол второго треугольника.
Ответ: 45о.
Слайд 13Упражнение 8
В подобных треугольниках АВС и А1В1С1 АВ = 8
см, ВС = 10 см, А1В1 = 5,6 см, А1С1
= 10,5 см. Найдите АС и В1С1.
Ответ: AC = 15 см, B1C1 = 7 см.
Слайд 14Упражнение 9
Ответ: AC = 4 м, B1C1 = 14 м.
У треугольников АВС и А1В1С1 A = A1,
B = B1, АВ = 5 м, ВС = 7 м, А1В1 = 10 м, А1С1 = 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
Слайд 15Упражнение 10
Стороны треугольника относятся как 5:3:7. Найдите стороны подобного ему
треугольника, у которого: а) периметр равен 45 см; б) меньшая
сторона равна 5 см; в) большая сторона равна 7 см; г) разность большей и меньшей сторон составляет 2 см.
Ответ: а) 15 см, 9 см, 21 см;
в) 5 см, 3 см, 7 см;
г) 2,5 см, 1,5 см, 3,5 см.
Слайд 16Упражнение 11
На рисунке укажите все подобные треугольники.
Ответ: а) ABC, FEC,
DBE;
б) ABC, GFC, AGD, FBE;
в) ABC, CDA, AEB,
BEC;
г) AOB, COD;
д) ABC и FGC; ADC и FEC; DBC и EGC.
Слайд 17Упражнение 12
У двух равнобедренных треугольников углы между боковыми сторонами равны.
Боковая сторона и основание одного треугольника равны соответственно 17 см
и 10 см, основание другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
Ответ: 13,6 см.
Слайд 18Упражнение 13
В треугольник со стороной а и высотой h, опущенной
на нее, вписан квадрат так, что две его вершины лежат
на этой стороне треугольника, а другие две – на двух других сторонах треугольника. Найдите сторону квадрата.
Слайд 19Упражнение 14
В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол
А у них общий, а вершина Е находится на стороне
ВС. Найдите сторону ромба, если АВ = с и АС = b.
Слайд 20Упражнение 15
Можно ли треугольник пересечь прямой, непараллельной основанию, так, чтобы
отсечь от него подобный треугольник? В каком случае это невозможно?
Ответ:
Можно, если треугольник неравносторонний.
Слайд 21Упражнение 16
Пусть AC и BD – хорды окружности, пересекающиеся в
точке E. Докажите, что треугольники ABE и CDE подобны.
Слайд 22Упражнение 17
На рисунке AE = 3, BE = 6, CE
= 2. Найдите DE.
Ответ: 4.
Слайд 23Упражнение 18
На рисунке AB = 8, BE = 6, DE
= 4. Найдите CD.
Слайд 24Упражнение 19
На рисунке CE = 2, DE = 5, AE
= 4. Найдите BE.
Ответ: 10.
Слайд 25Упражнение 20
На рисунке CE = 4, CD = 10, AE
= 6. Найдите AB.
Ответ: 15.
Слайд 26Упражнение 21
Ответ: DEK и DLF, DEK и ELK, DLF и
ELK, DFK и DLE, DFK и FLK, DLE и FLK.
На рисунке DL – биссектриса треугольника DEF, вписанного в окружность. DL пересекает окружность в точке K, которая соединена отрезками с вершинами E и F треугольника. Найдите подобные треугольники.
Слайд 27Упражнение 22
Ответ: ABH и ADC, ACH и ADB, ABM и
CDM, BMD и AMC.
В окружность вписан остроугольный треугольник ABC,
AH – его высота, AD – диаметр окружности, который пересекает сторону BC в точке M. Точка D соединена с вершинами B и C треугольника. Найдите подобные треугольники.
Слайд 28Упражнение 23
Докажите, что произведение отрезков любой хорды, проведенной через внутреннюю
точку круга, равно произведению отрезков диаметра, проведенного через ту же
точку.
Слайд 29Упражнение 24
Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая
окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите,
что треугольники ADE и BCE подобны.
Доказательство: Угол D треугольника ADE равен углу C треугольника BCE, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности. Угол E этих треугольников общий.
Следовательно, треугольники ADE и BCE подобны по первому признаку.
Слайд 30Упражнение 25
Через внешнюю точку E окружности проведены две прямые, пересекающая
окружность соответственно в точках A, C и B, D. Докажите,
что AE·CE = BE·DE.
Слайд 31Упражнение 26
На рисунке AE = 9, BE = 8, CE
= 24. Найдите DE.
Ответ: 27.
Слайд 32Упражнение 27
Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность
в точках A и B, и касательная EС (C –
точка касания). Докажите, что треугольники EAC и ECB подобны.
Доказательство. У треугольников EAC и ECB угол E общий. Углы ACE и CBE равны, как углы, опирающиеся на одну хорду. Следовательно, треугольники EAC и ECB подобны.
Слайд 33Упражнение 28
Через внешнюю точку E окружности проведены прямая, пересекающая окружность
в точках A и B, и касательная EС (C –
точка касания). Докажите, что произведение отрезков AE и BE секущей равно квадрату отрезка CE касательной.
Доказательство. Треугольники EAC и ECB подобны. Следовательно, AE:CE = CE:BE, значит, AE·BE = CE2.
Слайд 34Упражнение 29
На рисунке AE = 6, BE = 24. Найдите
CE.
Ответ: 12.
Слайд 35Упражнение 30
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Докажите,
что треугольники A1AC и B1BC подобны.
Доказательство. Треугольники A1AC и B1BC
прямоугольные и имеют общий угол C. Следовательно, они подобны по двум углам.
Слайд 36Упражнение 31
Докажите, что в прямоугольном треугольнике перпендикуляр, опущенный из прямого
угла на гипотенузу, есть среднее геометрическое проекций катетов на гипотенузу.
(Средним
геометрическим двух положительных чисел a и b называется положительное число c, квадрат которого равен ab, т.е. c = ).
Слайд 37Упражнение 32
В треугольнике ABC точка H – точка пересечения высот,
точка O – центр описанной окружности. Докажите, что длина отрезка
CH в два раза больше расстояния от точки O до прямой AB.
