Постановка задач для дифференциальных уравнений

для обыкновенных ДУ
Постановка задач для ДУ в частных производных

(ДУЧП)
Как получают дифференциальные уравнения
Подобие физических явлений, безразмерные переменные

производных
Порядок системы ДУ = сумме порядков входящих ДУ
Эквивалентность системы и

одного ДУ
Два класса: обыкновенные ДУ (ОДУ), которые описывают процессы, зависящие от одной независимой переменной , и ДУ в частных производных (ДУЧП)

или коротко




Система ОДУ второго порядка

семейство решений

набор произвольных параметров

их количество равно порядку системы m.
Это семейство решений описывает многообразие реализаций физического процесса, математической моделью которого являются системы ОДУ.
Для выделения одной искомой реализации среди этого многообразия необходимо наложить дополнительные условия конкретизирующие искомое решение
Количество этих условий равно порядку m системы ОДУ.
В зависимости от способа постановки дополнительных условий можно выделить два основных типа задач для ОДУ
Задача Коши и Краевая задача

x=a).
Эта задача чаще всего ставится для системы




в

виде





Или коротко

обычно ставится для ДУ второго порядка




В общем случае

или

Проинтегрируем



Обозначим с2=u(0)
Получаем решение ДУ

условий
Из

используя


Получим


Из используя


Получим


Имеем систему двух ур-й относительно с1 и с2

физических полей описывается ДУЧП второго порядка, или системами таких ДУЧП.
Если

процессы не слишком интенсивны, то можно ограничиться линейными дифференциальными уравнениями второго порядка



Свойства решений существенно зависят от коэффициентов, стоящих при старших производных. С помощью соответствующей замены независимых переменных уравнение может быть приведено к одному из трех типов
Параболические
Гиперболические
Эллиптические

частных производных обычно требуется найти распределение , удовлетворяющее ДУ в

некоторой области пространства Ω с границей Г.

является


Начальные условия


Граничные условия
первого рода второго рода третьего рода
Дирихле Неймана Ньютона

применения интегральных теорем
Например, Французский математик и физик Жан Батист Жозеф

Фурье в 1822 г. установил закон теплопроводности (закон Фурье): количество тепла, проходящее через единицу площади в единицу времени, пропорционально проекции градиента температуры на нормаль к поверхности. Математически этот закон выражается следующим простым соотношением

n

dS

∇T

объем ΔV= Δx Δy
в центре которого находится точка x,y

.


Допустим, что в таком кубике в единицу времени выделяется количество теплоты, равное

Δ→0

единицу времени
через поверхность S
охватывающую объем V
Количество тепла, выделяемое

в единицу времени в объеме V

Составляем баланс энергии и используем теорему Гаусса-Остроградского:

Получаем общее уравнение теплопроводности

одного геометрического подобия недостаточно.
Важно знать, как результаты одного варианта расчета

можно использовать для получения данных об исследуемой конструкции в широком диапазоне параметров и обратно, как выбрать модель для расчета, имеющую наименьшее, но достаточное количество параметров.
Подобными называются физические явления, протекающие в подобных системах, если у них во всех сходных точках в сходственные моменты времени отношения одноименных, т.е. имеющих одинаковый физический смысл величин, есть постоянные числа. Эти постоянные числа называются константами подобия