Приложения формулы Тейлора к вычислению пределов

функции и исследованию поведения функции в окрестности точки.

Правило Лопиталя раскрытия

неопределенностей.

сначала случай неопределенности вида
Пусть требуется найти предел

где

Разложим по формуле Тейлора

функции f(x) и g(x) в окрестности точки x0, ограничившись лишь первыми не равными нулю членами, то есть
f(x) = a(x – x0)n + o((x – x0)n), a ≠ 0,
g(x) = b(x – x0)m + o((x – x0)m), b ≠ 0.
Тогда

готовый набор разложений элементарных функций по формуле Маклорена. Для этого

в случае, когда x0 ≠ 0, следует предварительно сделать замену переменной, положив t = x – x0. Тогда t → 0 при x → x0.

ПРИМЕР 1.

к случаю t → 0.
ПРИМЕР 2.
















положим

∞ – ∞ их следует преобразовать к неопределенности вида 0/0.
Для

раскрытия неопределенностей вида 00, ∞0, 1∞ необходимо предварительно прологарифмировать рассматриваемые функции.

ПРИМЕР 3.

качестве примера применения формулы Тейлора для исследования поведения функции в

окрестности точки приведем доказательство третьего достаточного условия экстремума, использующего производные высших порядков.
ТЕОРЕМА.
Пусть существует f (n)(x0), где n > 2, и выполняются условия:
f ´(x0) = f ´´(x0) = … = f (n-1) (x0) = 0, f (n) (x0) ≠ 0.
Тогда
Если n = 2k, то х0 – точка локального экстремума функции, а именно:
f (n) (x0) < 0 – точка строгого локального максимума.
f (n) (x0) > 0 – точка строгого локального минимума;
Если n = 2k+1, то x0 – не является точкой экстремума функции.

случае имеет вид:
f(x) = f(x0) + f (n)( x0)(x –

x0)n/n! + о((x – x0)n).
Отсюда получим
f(x) – f(x0) = f (n)( x0) /n! (1+ о(1)) (x – x0)n.

Если n = 2k, то (x – x0)n > 0 и разность f(x) – f(x0) имеет знак производной, то есть
f(x) < f(x0), если f (n) (x0) < 0, и х0 – точка локального максимума,
f(x) > f(x0), если f (n) (x0) > 0, и х0 – точка локального минимума.

Если n = 2k + 1, то (x – x0)n имеет разные знаки в левой и правой полуокрестности точки x0, то есть разность f(x) – f(x0) меняет знак при переходе через точку x0. Это означает, что эта точка не является точкой экстремума.

третьему достаточному условию экстремума, точка x0 = 0 является точкой

локального минимума функции. Значение функции в этой точке f(0) = 2.
Разложение функции по формуле Маклорена имеет вид:

маркиза (де Сен-Мэм) и графа (Антрмон). Служил капитаном кавалерии. Оставив

военную службу из-за близорукости, посвятил себя математике. Ученик Иоганна Бернулли.
В 1693г. Лопиталя избрали членом Парижской академии наук.    В 1696г. вышло из печати главное творение его жизни – «Анализ бесконечно малых для познания кривых линий». Это был первый печатный учебник по дифференциальному исчислению.
Скончался от апоплексического удара 43 лет от роду.

Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

Гиймон Франсуа Лопиталь
(1661-1704 )

на интервале (a, b),

g'(x) ≠ 0 для всех х∈

(a, b)
и существует (где А – число или бесконечность)

Тогда существует

a

b

x

y

0

f(x)

g(x)

в точке а, положив f(а) = g(а) = 0. Тогда

доопределенные таким образом функции непрерывны на отрезке [а, х] и для них выполнены условия теоремы Коши, то есть





Если х → а + 0, то ξ→ а + 0 и, по условию теоремы, существует


Поэтому существует и

x

a

ξ

> а ,

g'(x) ≠ 0 для всех х >

а
и существует (где А – число или бесконечность)

Тогда существует

a

x

y

0

f(x)

g(x)

Эта функция отображает интервал (а, +∞) на интервал (0, 1/а).







ЗАМЕЧАНИЕ

1.
Правило Лопиталя справедливо также в случае неопределенности
при х → а – 0,
при х → а,
при х → – ∞,
при х → ∞

на интервале (a, b),

g'(x) ≠ 0 для всех х∈

(a, b)
и существует (где А – число или бесконечность)

Тогда существует

a

b

x

y

0

f(x)

g(x)

→ а – 0,
при х → а,
при х →

– ∞,
при х → + ∞,
при х → ∞.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.
Чтобы применить правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0·∞ и ∞ – ∞, их следует привести к виду 0/0 или ∞/∞.
Неопределенности вида 00, ∞0, 1∞ можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующие функции.

< 0. Применяя правило Лопиталя k раз, получаем
6. Найдем

Пусть lnx = t. Тогда

7. Покажем, что

не может быть найден по правилу Лопиталя.

Заметим, что

т.е. предел существует.

Однако

не существует, так как, взяв две ЧП

получим